1、第5讲空间向量与立体几何考纲展示命题探究1空间直角坐标系(1)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系(如右图所示)(2)点的坐标表示在空间直角坐标系中，任何一个点的坐标都可以用三个实数组成的有序实数组表示，这三个实数分别是点在x轴、y轴、z轴上的坐标(3)空间两点间距离设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)为空间两点，则P1，P2两点间的距离P1P2.特殊情况，点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP.2空间向量的运算(1)共线向量定量对空间任意两个向量a，b(b0
2、)，ab的充要条件是存在唯一的实数，使ab.推论：对空间任意一点O，点P在直线AB上的充要条件是存在实数t，使(1t)t或xy(其中xy1)如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使ta，其中向量a叫做直线l的方向向量，该式称为直线方程的向量表示式(2)共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb.推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使xy；或对空间任意一点O，有xy，该式称为空间平面ABC的向量表示式(3)空间向量
3、基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是p|pxaybzc，x，y，zR这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，把a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量(4)空间向量的运算空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算都可类比平面向量空间向量的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则aab(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)(R)，aba1b1a2b2a3b3；babab(b0)a1b1，a2b2，a3b3(R)或(b1，b2，b30)，abab0a1b1a2b2a3b30，|a|，
4、cosa，b；c在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则A，B两点间的距离dAB|.3利用空间向量进行平行与垂直的证明(1)直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个平面法向量的求法一个平面的法向量是与平面垂直的向量，有无数多个，任意两个都是共线向量若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：a设平面的法向量为n(x，y，z)b找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)c根据法向量的定义建立关
5、于x，y，z的方程组d解方程组，取其中的一组解，即得法向量(2)利用空间向量表示立体几何中的平行、垂直、夹角、距离设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为u，v，则线线平行：lmabakb，kR；线面平行：lauau0；面面平行：uvukv，kR.线线垂直：lmabab0；线面垂直：lauaku，kR；面面垂直：uvuv0.注意点空间向量运算中注意的问题(1)基底的选择空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示(2)求法向量时注意事项求平面的法向量时，建立的方
6、程组有无数组解，利用赋值法，只要给x，y，z中的一个变量赋一特殊值(常赋值1,0,1)，即可确定一个法向量，赋值不同，所求法向量不同，但n(0,0,0)不能作为法向量(3)证明平行关系时注意事项证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量，但要注意说明这两条直线不共线；证明线面平行时要说明直线不在平面内.1思维辨析(1)直线的方向向量是唯一确定的()(2)两个不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，则l1和l2的位置关系是平行()(3)平面的单位法向量是唯一确定的()(4)对于非零向量b，若abbc，则ac.()(5)若ab0，则a，b是锐角()
7、(6)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2已知向量a，b(x,1,2)，其中x0.若ab，则x的值为()A8 B4C2 D0答案B解析解法一：因x8,2,0时都不满足ab.而x4时，a(8,2,4)2(4,1,2)2b，ab.解法二：ab存在0使ab(8，x)(x，2)选B.3已知A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3,7，)，若，则的值为()A13 B14C14 D13答案B解析本题主要考查空间向量垂直的概念由于(2，6，2)，(1,6，3)，由0可得2362(3)0，解得14，故选B.考法综述空间向量的基本运算及利用直线的方向向量
8、和平面的法向量证明线、面平行或垂直问题命题法利用空间向量证明平行与垂直典例(1)如图所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点求证：AF平面BCE；求证：平面BCE平面CDE.(2)如图所示，ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE3AF，BE与平面ABCD所成角为60.求证：AC平面BDE；设点M是线段BD上一个动点，试确定M的位置，使得AM平面BEF，并证明你的结论解(1)设ADDE2AB2a，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)F为
9、CD的中点，F.证明：易得，(a，a，a)，(2a,0，a)，()，AF平面BCE，AF平面BCE.证明：，(a，a,0)，(0,0，2a)，0，0，即AFCD，AFED，又CDDED，AF平面CDE.又AF平面BCE，平面BCE平面CDE.(2)证明：因为DE平面ABCD，所以DEAC.因为ABCD是正方形，所以ACBD.DEDBD，从而AC平面BDE.因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系Dxyz如图所示因为BE与平面ABCD所成角为60，即DBE60，所以.因为正方形ABCD的边长为3，所以BD3，所以DE3，AF.则A(3,0,0)，F(3,0，)，E(0,0，3)，B(
10、3,3,0)，C(0,3,0)所以(0，3，)，(3,0，2)设平面BEF的法向量为n(x，y，z)，则即，令z，则n(4,2，)点M是线段BD上一个动点，设M(t，t,0)则(t3，t,0)因为AM平面BEF，所以n0.即4(t3)2t0，解得t2.此时，点M为(2,2,0)，BMBD，符合题意【解题法】运用空间向量解决立体几何问题的步骤(1)建系：根据题中的几何图形的特征建立适当的空间直角坐标系(2)定坐标：确定点的坐标进而求出有关向量的坐标(3)向量运算：进行相关的空间向量的运算(4)翻译：将向量中的语言“翻译”成相应的立体几何中的语言，完成几何问题的求解1如图，在长方体ABCDA1B1
11、C1D1中，AB11，AD7，AA112.一质点从顶点A射向点E(4,3,12)， 遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i1次到第i次反射点之间的线段记为Li(i2,3,4)，L1AE，将线段L1，L2，L3，L4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是()答案C解析由对称性知质点经点E反射到平面ABCD的点E1(8,6,0)处在坐标平面xAy中，直线AE1的方程为yx，与直线DC的方程y7联立得F.由两点间的距离公式得E1F，tanE2E1FtanEAE1，E2FE1FtanE2E1F4.E2F11248.故选C.2已知e1，e2是空间单位向量，e1e2.若空间向量b满足be12，b
12、e2，且对于任意x，yR，|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0，y0R)，则x0_，y0_，|b|_.答案122解析e1，e2是单位向量，e1e2，cose1，e2，又0e1，e2180，e1，e260.不妨把e1，e2放到空间直角坐标系Oxyz的平面xOy中，设e1(1,0,0)，则e2，再设b(m，n，r)，由be12，be2，得m2，n，则b(2，r)而xe1ye2是平面xOy上任一向量，由|b(xe1ye2)|1知，点B(2，r)到平面xOy的距离为1，故可得r1.则b(2，1)，|b|2.又由|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1知x0e1y0e2(2，0
13、)，解得x01，y02.3如下图，已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A1A6，且A1A底面ABCD.点P，Q分别在棱DD1，BC上(1)若P是DD1的中点，证明：AB1PQ；(2)若PQ平面ABB1A1，二面角PQDA的余弦值为，求四面体ADPQ的体积解由题设知，AA1，AB，AD两两垂直以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如右图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B1(3,0,6)，D(0,6,0)，D1(0,3,6)，Q(6，m,0)，其中mBQ,0m6.(1)证明：若P是DD1的中点，则P，.
14、又(3,0,6)，于是18180，所以，即AB1PQ.(2)由题设知，(6，m6,0)，(0，3,6)是平面PQD内的两个不共线向量设n1(x，y，z)是平面PQD的一个法向量，则即取y6，得n1(6m,6,3)又平面AQD的一个法向量是n2(0,0,1)，所以cosn1，n2.而二面角PQDA的余弦值为，因此，解得m4，或m8(舍去)，此时Q(6,4,0)设(00，则(，0，a)，.因为MPAP，故0，即a20，所以a，a(舍去)，即PO.(2)由(1)知，.设平面APM的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面PMC的法向量为n2(x2，y2，z2)，由n10，n10，得故可取n1，由n20
15、，n20，得故可取n2(1，2)，从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cosn1，n2，故所求二面角APMC的正弦值为.5如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，E为PB的中点，ADAE，且PAAB，ADAE1.(1)证明：PA平面ABCD；(2)求二面角BECD的正弦值解(1)证明：PAAB，E为PB的中点，AEPB.在RtPAE中，PE1，PB2PE2.又PAAB，PA2AB2PB2，PAAB.又ADAE，ADAB，AD平面PAB，ADPA，PA平面ABCD.(2)以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题设知P(
16、0,0，)，B(，0,0)，C(，1,0)，D(0,1,0)，E，则，(，0,0)，.ADAE，ADBC，AEBC.由(1)知，AEPB，AE平面PBC.故为平面BEC的一个法向量设平面DEC的法向量为n(x，y，z)，则，即.可取n(0,1，)从而cosn，.故二面角BECD的正弦值为.1求两条异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角a与b的夹角a，b范围00a，b求法cos|cosa，b|cosa，b2求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，则sin|cosa，n|.3二面角的平面角的求法设n1，n2分
17、别是二面角l的两个面，的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图)4点到平面的距离的向量求法如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则点B到平面的距离d.注意点二面角的大小与两法向量夹角的关系求出两平面法向量的夹角后，一定要根据图形来判断二面角的大小与两法向量夹角的关系是相等还是互补.1思维辨析(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角()(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是0，()答
18、案(1)(2)(3)(4)2如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于()A. B.C. D.答案B解析本题考查空间向量的运算设正方体的棱长为2，建立如右图所示的坐标系，O(1,1,0)，E(0,2,1)，F(1,0,0)，D1(0,0,2)，(1,0,2)，(1,1,1)cos，.3已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A. B.C. D.答案A解析如图，以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系Exyz，设棱长为1，
19、则A，B1，设AB1与平面ACC1A1所成的角为，EB1为平面ACC1A1的法向量则sin|cos，|.考法综述利用空间向量计算角和距离，首先要选取适当的坐标系，然后将所求的角或距离转化为某些向量的夹角或坐标运算，尤其是直线的方向向量、和平面的法向量的相关运算命题法利用空间向量计算角和距离典例如图1，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAAB2，BC4，E是PD的中点(1)求点B到平面PCD的距离；(2)求二面角CAED的余弦值解(1)如图2，以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，则依题意可知A(0,0,0)，B(2,0,0)
20、，C(2,4,0)，D(0,4,0)，P(0,0,2)，(0,4，2)，(2,0,0)，(0,4,0)，设平面PCD的一个法向量为n(x，y,1)，则即解得所以平面PCD的单位法向量为，所以，则点B到平面PCD的距离为.(2)由(1)可得E(0,2,1)，易知平面ADE的一个法向量为n1(1,0,0)设平面ACE的一个法向量为n2(x，y，1)，又(0,2,1)，(2,4,0)，则即所以平面ACE的一个法向量为n2.设二面角CAED的大小为，则cos.结合图形可知二面角CAED的余弦值为.【解题法】向量法求空间角和距离的方法(1)向量法求异面直线所成角时应注意的问题当异面直线的方向向量的夹角为
21、锐角或直角时，那么这个锐角或直角就是该异面直线所成的角当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，那么这个钝角的补角才是异面直线所成的角(2)利用向量法求线面角的方法分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(锐角或直角时)或其补角(钝角时)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线与平面所成的角(3)向量法求二面角大小的两种方法分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这
22、两个向量的夹角的大小就是二面角的大小(4)求点到平面距离的三种方法作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离在三棱锥中用等体积法求解向量法：d(n为平面的法向量，A为平面内一点，MA为过A点的斜线段)1如图，已知ABC，D是AB的中点，沿直线CD将ACD翻折成ACD，所成二面角ACDB的平面角为，则()AADB BADBCACB DACB答案B解析若CDAB，则ADB为二面角ACDB的平面角，即ADB.若CD与AB不垂直，在ABC中，过A作CD的垂线交线段CD或CD的延长线于点O，交BC于E，连接AO，则AOE为二面角ACDB的平面角，即AOE，AOAO，AAO.又ADAD，AADADB
23、.而AAO是直线AA与平面ABC所成的角，由线面角的性质知AAOAAD，则有.故sin的取值范围是.3如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面所成角的正弦值解(1)交线围成的正方形EHGF如图：(2)作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EMAA18.因为EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，所以AH10.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxy
24、z，则A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)，(10,0,0)，(0，6，8)设n(x，y，z)是平面EHGF的法向量，则即所以可取n(0,4,3)又(10,4,8)，故|cosn，|.所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为.4如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD，且点M和N分别为B1C和D1D的中点(1)求证：MN平面ABCD；(2)求二面角D1ACB1的正弦值；(3)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长解如图，以A为原点建立空间直角坐标
25、系，依题意可得A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(2,0,0)，D(1，2,0)，A1(0,0,2)，B1(0,1,2)，C1(2,0,2)，D1(1，2,2)又因为M，N分别为B1C和D1D的中点，得M，N(1，2,1)(1)证明：依题意，可得n(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量.(0，0)由此可得n0，又因为直线MN平面ABCD，所以MN平面ABCD.(2)(1，2,2)，(2,0,0)设n1(x1，y1，z1)为平面ACD1的法向量，则即不妨设z11，可得n1(0,1,1)设n2(x2，y2，z2)为平面ACB1的法向量，则又(0,1,2)，得不妨设z21，可得n2(0，2，1
26、)因此有cosn1，n2，于是sinn1，n2，所以，二面角D1ACB1的正弦值为.(3)依题意，可设，其中0,1，则E(0，2)，从而(1，2,1)又n(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，由已知，得cos，n，整理得2430，又因为0,1，解得2.所以，线段A1E的长为2.5如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABCBAD，PAAD2，ABBC1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长解以，为正交基底建立如下图所示的空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B(
27、1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)(1)因为AD平面PAB，所以是平面PAB的一个法向量，(0,2,0)因为(1,1，2)，(0,2，2)设平面PCD的法向量为m(x，y，z)，则m0，m0，即令y1，解得z1，x1.所以m(1,1,1)是平面PCD的一个法向量从而cos，m，所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为.(2)因为(1,0,2)，设(，0,2)(01)，又(0，1,0)，则(，1,2)，又(0，2,2)，从而cos，.设12t，t1,3，则cos2，.当且仅当t，即时，|cos，|的最大值为.因为ycosx在上是减函数，此时直线CQ与DP所成
28、角取得最小值又因为BP，所以BQBP.6如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C.(1)证明：ACAB1；(2)若ACAB1，CBB160，ABBC，求二面角AA1B1C1的余弦值解(1)证明：连接BC1，交B1C于点O，连接AO，因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1，且O为B1C及BC1的中点又ABB1C，所以B1C平面ABO.由于AO平面ABO，故B1CAO.又B1OCO，故ACAB1.(2)因为ACAB1，且O为B1C的中点，所以AOCO.又因为ABBC，所以BOABOC.故OAOB，从而OA，OB，OB1两两互相垂直以O为坐标原点，的方向为x轴正方向
29、，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为CBB160，所以CBB1为等边三角形又ABBC，则A，B(1,0,0)，B1，C，.设n(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，则即所以可取n(1，)设m是平面A1B1C1的法向量，则同理可取m(1，)则cosn，m.所以二面角AA1B1C1的余弦值为.7在平面四边形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图(1)求证：ABCD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值解(1)证明：平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面
30、BCD.又CD平面BCD，ABCD.(2)过点B在平面BCD内作BEBD，如图由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，ABBE，ABBD.以B为坐标原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系依题意，得B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，M，则(1,1,0)，(0,1，1)设平面MBC的法向量n(x0，y0，z0)，则即取z01，得平面MBC的一个法向量n(1，1,1)设直线AD与平面MBC所成角为，则sin|cosn，|，即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.8如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，A
31、CBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形(1)证明：O1O底面ABCD；(2)若CBA60，求二面角C1OB1D的余弦值解(1)证明：如图1，因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1AC.同理DD1BD.因为CC1DD1，所以CC1BD.而ACBDO，因此CC1底面ABCD.由题设知，O1OC1C.故O1O底面ABCD.(2)解法一：如图1，过O1作O1HOB1于H，连接HC1.由(1)知，O1O底面ABCD，所以O1O底面A1B1C1D1，于是O1OA1C1.又因为四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形，因此A1
32、C1B1D1，从而A1C1平面BDD1B1，所以A1C1OB1，于是OB1平面O1HC1，进而OB1C1H.故C1HO1是二面角C1OB1D的平面角不妨设AB2.因为CBA60，所以OB，OC1，OB1.在RtOO1B1中，易知O1H2.而O1C11，于是C1H.故cosC1HO1.即二面角C1OB1D的余弦值为.解法二：因为四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此ACBD.又O1O底面ABCD，从而OB，OC，OO1两两垂直如图2，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.不妨设AB2.因为CBA60，
33、所以OB，OC1，于是相关各点的坐标为：O(0,0,0)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)易知，n1(0,1,0)是平面BDD1B1的一个法向量设n2(x，y，z)是平面OB1C1的一个法向量，则即取z，则x2，y2，所以n2(2,2，)设二面角C1OB1D的大小为，易知是锐角，于是cos|cosn1，n2|.故二面角C1OB1D的余弦值为.9三棱锥ABCD及其侧视图、俯视图如图所示设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MNNP.(1)证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角ANPM的余弦值解(1)证明：如图，取BD中点O，连接AO，CO.由侧视图及俯视图知，ABD，B
34、CD为正三角形，因此AOBD，OCBD.因为AO，OC平面AOC，且AOOCO，所以BD平面AOC.又因为AC平面AOC，所以BDAC.取BO的中点H，连接NH，PH.又M，N分别为线段AD，AB的中点，所以NHAO，MNBD.因为AOBD，所以NHBD.因为MNNP，所以NPBD.因为NH，NP平面NHP，且NHNPN，所以BD平面NHP.又因为HP平面NHP，所以BDHP.又OCBD，HP平面BCD，OC平面BCD，所以HPOC.因为H为BO中点，故P为BC中点(2)解法一：如图，作NQAC于Q，连接MQ.由(1)知，NPAC，所以NQNP.因为MNNP，所以MNQ为二面角ANPM的一个平
35、面角由(1)知，ABD，BCD为边长为2的正三角形，所以AOOC.由俯视图可知，AO平面BCD.因为OC平面BCD，所以AOOC，因此在等腰RtAOC中，AC.作BRAC于R，在ABC中，ABBC，所以BR.因为在平面ABC内，NQAC，BRAC，所以NQBR.又因为N为AB的中点，所以Q为AR的中点，因此NQ.同理，可得MQ.所以在等腰MNQ中，cosMNQ.故二面角ANPM的余弦值是.解法二：由俯视图及(1)可知，AO平面BCD.因为OC，OB平面BCD，所以AOOC，AOOB.又OCOB，所以直线OA，OB，OC两两垂直如图，以O为坐标原点，以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间
36、直角坐标系Oxyz.则A(0,0，)，B(1,0,0)，C(0，0)，D(1,0,0)因为M，N分别为线段AD，AB的中点，又由(1)知，P为线段BC的中点，所以M，N，P.于是(1,0，)，(1，0)，(1,0,0)，.设平面ABC的一个法向量n1(x1，y1，z1)，则即有 从而取z11，则x1，y11，所以n1(，1,1)设平面MNP的一个法向量n2(x2，y2，z2)，则即有从而取z21，所以n2(0,1,1)设二面角ANPM的大小为，则cos.故二面角ANPM的余弦值是.10如图，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD.(1)求证：ABPD；(2)若BPC90，P
37、B，PC2，问AB为何值时，四棱锥PABCD的体积最大？并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值解(1)证明：ABCD为矩形，故ABAD；又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以AB平面PAD，故ABPD.(2)过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.故PO平面ABCD，BC平面POG，BCPG，在RtBPC中，PG，GC，BG，设ABm，则OP，故四棱锥PABCD的体积为Vm.因为m，故当m，即AB时，四棱锥PABCD的体积最大此时，建立如图所示的坐标系，各点的坐标为O(0,0,0)，B，C，D，P.故，(0，0)，设平面BPC的法向量n1(x，
38、y,1)，则由n1，n1得解得x1，y0，n1(1,0,1)同理可求出平面DPC的法向量n2，从而平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为cos.11四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.(1)证明：四边形EFGH是矩形；(2)求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值解(1)证明：由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1，由题设，BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH.同理EFAD，HGAD，EFHG.四边形EFGH是平行四
39、边形又ADDC，ADBD，AD平面BDC.ADBC.EFFG.四边形EFGH是矩形(2)解法一：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，(0,0,1)，(2,2,0)，(2,0,1)设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，EFAD，FGBC，n0，n0，得取n(1,1,0)sin|cos，n|.解法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，E是AB的中点，F，G分别是BD，DC的中点，得E，F(1,0,0)，G(0,1,0)，(1,1,0)，BA
40、(2,0,1)设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，则n0，n0.得取n(1,1,0)sin|cos，n|.12.如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点(1)证明：BEDC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值解解法一：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)(1)证明：向量(0,1,1)，(2,0,0)，故0.所以BEDC.(2)向
41、量(1,2,0)，(1,0，2)设n(x，y，z)为平面PBD的法向量，则即不妨令y1，可得n(2,1,1)为平面PBD的一个法向量于是有cosn，.所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)向量(1,2,0)，(2，2,2)，(2,2,0)，(1,0,0)由点F在棱PC上，设，01.故(12，22，2)由BFAC，得0，因此，2(12)2(22)0，解得.即.设n1(x，y，z)为平面FAB的法向量，则即不妨令z1，可得n1(0，3,1)为平面FAB的一个法向量取平面ABP的法向量n2(0,1,0)则cosn1，n2.易知，二面角FABP是锐角，所以其余弦值为.解法二：(1)证明：如
42、图，取PD中点M，连接EM，AM.由于E，M分别为PC，PD的中点，故EMDC，且EMDC，又由已知，可得EMAB且EMAB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BEAM.因为PA底面ABCD，故PACD，而CDDA，从而CD平面PAD，因为AM平面PAD，于是CDAM，又BEAM，所以BECD.(2)连接BM.由(1)知CD平面PAD，得CDPD，而EMCD，故PDEM.又因为ADAP，M为PD的中点，故PDAM，可得PDBE，所以PD平面BEM，故平面BEM平面PBD.所以，直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，而BEEM，可得EBM为锐角，故EBM为直线BE与平面PBD所成的角依题意，有
43、PD2，而M为PD中点，可得AM，进而BE.故在直角三角形BEM中，tanEBM，因此sinEBM.所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)如图，在PAC中，过点F作FHPA交AC于点H.因为PA底面ABCD，故FH底面ABCD，从而FHAC.又BFAC，得AC平面FHB，因此ACBH.在底面ABCD内，可得CH3HA，从而CF3FP.在平面PDC内，作FGDC交PD于点G，于是DG3GP.由于DCAB，故GFAB，所以A，B，F，G四点共面由ABPA，ABAD，得AB平面PAD，故ABAG.所以PAG为二面角FABP的平面角在PAG中，PA2，PGPD，APG45，由余弦定理可得A
44、G，cosPAG.所以二面角FABP的余弦值为.如图，在四棱锥ABCDE中，平面ABC平面BCDE，CDEBED90，ABCD2，DEBE1，AC.(1)证明：DE平面ACD；(2)求二面角BADE的大小错解错因分析本题易出错的地方是误以为两个平面的法向量所成的角的大小等于所求二面角的大小，在计算时对两个平面的法向量所成的角和二面角的关系判断错误，导致计算结果出错正解(1)同上(2)以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.由题意知各点坐标如下：D(0,0,0)，E(1,0,0)，C(0,2,0)，A(0，2，)，B(1,1,0)设平面ADE的法向量为m(x1，y1，z1)，平面ABD
45、的法向量为n(x2，y2，z2)，可算得(0，2，)，(1，2，)，(1,1,0)由得可取m(0,1，)由得可取n(1，1，)于是|cosm，n|.由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角BADE的大小是.心得体会 时间：45分钟基础组1.2016枣强中学猜题若直线l的方向向量为a(1，1，2)，平面的法向量为u(2,2，4)，则()Al BlCl Dl与斜交答案B解析因为直线l的方向向量a(1，1,2)与平面的法向量u(2,2，4)共线，则说明了直线与平面垂直，故选B.22016衡水中学期中正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且，N为B1B的中点，则|为()A.a B.aC
46、.a D.a答案A解析()，|a.32016武邑中学期中平面的一个法向量为(1,2,0)，平面的一个法向量为(2，1,0)，则平面和平面的位置关系是()A平行 B相交但不垂直C垂直 D重合答案C解析由(1,2,0)(2，1,0)122(1)000，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直42016衡水中学期末如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A. B.C. D.答案A解析设CB1，则CACC12，故B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，则(0,2，1)，(2,2,1)，co
47、s，即直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.故选A.5.2016冀州中学猜题如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，B1C的中点，则EF和平面ABCD所成角的正切值为()A. B.C. D2答案B解析如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则点C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，F，E，(0,0,1)为底面的一个法向量，cos，所以EF和平面ABCD所成角的正弦值为sin，tan.故选B.62016武邑中学仿真过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角为()A30 B45C60 D90答
48、案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，设ABPA1，知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)由题意得，AD平面ABP，设E为PD的中点，连接AE，则AEPD，又CD平面PAD，AECD，又PDCDD，AE平面CDP.(0,1,0)，分别是平面ABP、平面CDP的法向量，而，45，平面ABP与平面CDP所成的锐二面角为45.72016衡水中学模拟若平面的一个法向量为n(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a(2，3,3)，则l与所成角的正弦值为_答案解析设l与所成角为，则sin|cosn，a|.82016冀州中学期中已知在长方体ABCDA1B1C
49、1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是_答案解析如图建立空间直角坐标系Dxyz，则A1(2,0,4)，A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，(2,0,4)，(0,2,4)，(0,0,4)，设平面AB1D1的法向量为n(x，y，z)，则即解得x2z且y2z，不妨设n(2，2,1)，设点A1到平面AB1D1的距离为d.则d.92016衡水中学仿真已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，ACBC2，AA14，D是棱AA1的中点如图所示(1)求证：DC1平面BCD；(2)求二面角ABDC的大小解(1)证明：按如图所示建立空间直角坐标系由题意
50、，可得点C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(2,0,2)，A1(2,0,4)，C1(0,0,4)于是，(2,0,2)，(2,0，2)，(2，2，2)可算得0，0.因此，DC1DC，DC1DB.又DCDBD，所以DC1平面BDC.(2)设n(x，y，z)是平面ABD的法向量，则又(2,2,0)，(0,0,2)，所以取y1，可得即平面ABD的一个法向量是n(1,1,0)由(1)知，是平面DBC的一个法向量，记n与的夹角为，则cos，.结合三棱柱可知，二面角ABDC是锐角，故所求二面角ABDC的大小是.10. 2016枣强中学预测如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，底面
51、ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1，M是线段B1D1的中点(1)求证：BM平面D1AC；(2)求证：D1O平面AB1C；(3)求二面角BAB1C的大小解(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则点O(1,1,0)，D1(0,0，)，(1，1，)，又点B(2,2,0)，M(1,1，)，(1，1，)，又OD1与BM不共线，OD1BM.又OD1平面D1AC，BM平面D1AC，BM平面D1AC.(2)证明：连接OB1，(1，1，)(1,1，)0，(1，1，)(2,2,0)0，即OD1OB1，OD1AC，又OB1ACO，D1O平面AB1C.(3)CBAB，CBBB1，CB平面AB
52、B1，(2,0,0)为平面ABB1的一个法向量，(1，1，)为平面AB1C的一个法向量cos，与的夹角为60，即二面角BAB1C的大小为60.112016冀州中学一轮检测如图1，在RtABC中，ACB30，ABC90，D为AC中点，AEBD于点E，延长AE交BC于点F，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示(1)求证：AE平面BCD；(2)求二面角ADCB的余弦值；(3)在线段AF上是否存在点M使得EM平面ADC？若存在，请指明点M的位置；若不存在，请说明理由解(1)证明：因为平面ABD平面BCD，交线为BD，又在ABD中，AEBD于点E，AE平面ABD，所以AE平面BCD.(
53、2)由(1)中AE平面BCD可得AEEF.由题意可知EFBD，又AEBD，如图，以E为坐标原点，分别以EF，ED，EA所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Exyz，不妨设ABBDDCAD2，则BEED1.由图1条件计算得AE，BC2，BF，则E(0,0,0)，D(0,1,0)，B(0，1，0)，A(0,0，)，F，C(，2,0)，(，1,0)，(0,1，)由AE平面BCD可知平面DCB的法向量为，(0,0，)，设平面ADC的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则y，x1，所以n(1，1)因为平面DCB的法向量为，所以cosn，.所以二面角ADCB的余弦值为.(3)设，其中0,1由于
54、，所以，其中0,1所以.由n0，即(1)0，解得(0,1)所以在线段AF上存在点M使EM平面ADC，且.122016武邑中学一轮检测如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动(1)求证：D1EA1D；(2)当E点为AB的中点时，求点E到平面ACD1的距离；(3)AE为何值时，二面角D1ECD的大小为？解(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1)E在棱AB上移动，设E(1，a,0)，0a2.(1，a，1)，(1,0，1)，0，
55、D1EA1D.(2)设平面ACD1的法向量为m(x，y，z)，点E到平面ACD1的距离为h.(1,2,0)，(1,0,1)，令y1，则m(2,1,2)又E(1,1,0)，(1，1,0)，CE与平面ACD1所成角的正弦值为，h|.(3)设平面D1EC的法向量为n(x1，y1，z1)，(1，a，1)，(0,2，1)，令y11，得n(2a,1,2)易知平面ECD的一个法向量为(0,0,1)，则|cosn，|，可得a2或a2(不符合，舍去)，当AE2时，二面角D1ECD的大小为.能力组132016武邑中学月考如图所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BC90，AB4
56、，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30的角求证：(1)CM平面PAD；(2)平面PAB平面PAD.证明以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面ABCD，PBC为PB与平面ABCD所成的角，PBC30，PC2，BC2，PB4，D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，(0，1,2)，(2，3,0)，.(1)设n(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，由得令y2，得n(，2,1)n2010，n.又CM平面PAD，CM平面PAD.(2)如图，取AP的中点E，连接BE，则E(，2,1)，(，
57、2,1)PBAB，BEPA.又(，2,1)(2，3,0)0，BEDA.又PADAA，BE平面PAD.又BE 平面PAB，平面PAB平面PAD.142016衡水中学热身在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB1，AA1，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO侧面ABB1A1.(1)证明：BCAB1；(2)若OCOA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值解(1)证明：由题意tanABD，tanAB1B，注意到0ABD，AB1B，所以ABDAB1B.所以ABDBAB1AB1BBAB1.所以AB1BD.又CO侧面ABB1A1，所以AB1CO.又BD与CO交于点O，所以AB1面
58、CBD.又因为BC面CBD，所以BCAB1. (2)如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x轴、y轴、z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则A，B，C，B1，D.又因为2，所以C1.所以，.设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则根据n0，n0可得n(1，)是平面ABC的一个法向量，设直线C1D与平面ABC所成角为.则sin.152016冀州中学期末如图，在几何体ABCA1B1C1中，点A1，B1，C1在平面ABC内的正投影分别为A，B，C，且ABBC，AA1BB14，ABBCCC12，E为AB1中点(1)求证：CE平面A1B1C1；(2)求二面角B1AC1C的大小解(1)证明
59、：由题知AA1平面ABC，BB1平面ABC，CC1平面ABC，AA1BB1CC1.如图，取A1B1中点F，连接EF，FC1，E为AB1中点，EF綊A1A.AA14，CC12，CC1綊A1A，EF綊CC1，四边形EFC1C为平行四边形，CEC1F.CE平面A1B1C1，C1F平面A1B1C1，CE平面A1B1C1.(2)由题知，ABBC，又BB1平面ABC，BB1AB，BB1BC，分别以BA，BC，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(0,0,4)，C1(0,2,2)，(2,2,0)，(0,0,2)，(2,0,4)，(0,2，2)
60、设平面ACC1的法向量为m(x1，y1，z1)，则m0，m0，令x11，得m(1,1,0)，设平面AB1C1的法向量为n(x2，y2，z2)，则n0，n0，令z21，得n(2,1,1)cosm，n.由图知，二面角B1AC1C是钝角，二面角B1AC1C的大小为150.16. 2016衡水中学预测在直角梯形ABCD中，ADBC，BC2AD2AB2，ABC90，如图所示，把ABD沿BD翻折，使得平面ABD平面BCD，如图所示(1)求证：CDAB；(2)若点M为线段BC的中点，求DM与平面ACD所成角的正弦值；(3)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为60？若存在，求出的值；若不存
61、在，说明理由解(1)证明：由已知条件可得，BD2，CD2，又BD2CD2BC2，CDBD.平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，CD平面ABD.AB平面ABD，CDAB.(2)以点D为原点，BD所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则各相关点的坐标为A(1,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，M(1,1,0)(0，2,0)，(1,0，1)，(1,1,0)，(1,1,0)设平面ACD的法向量为n(x，y，z)，则n，n，令x1，得平面ACD的一个法向量为n(1,0，1)若DM与平面ACD所成的角为，则DM与平面ACD所成角的正弦值为sin|cosn，|.(3)假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为60.设，01，则N(22，2，0)，(12，2，1)平面ACD的一个法向量为n(1,0，1)，且直线AN与平面ACD所成的角为60，sin60，整理得82210，或(舍去)综上所述，在线段BC上存在点N，使AN与平面ACD所成的角为60，此时.
