1、河北定州中学2015-2016学年度第二学期承智班期末考试数学试题一、选择题（共12小题，共60分）1求函数，的值域（ ）A B C D2已知函数与有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的（ ）A BC D3已知是定义在上的偶函数，在区间为增函数，且，则不等式的解集为（ ）A.（，） B. C. D.4已知集合,则的子集个数为（ ）A8 B3 C4 D75三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上,且，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为（ ）A4 B3 C D6已知球面上有四个点，球心为点，在上，若三棱锥的体积的最大值为，则该球的表面积为（ ）A B C D7若关于直线与平面，有下列四个命题
2、：若，且，则；若，且，则；若，且，则；若，且，则；其中真命题的序号（ ）A B C D8已知在三棱锥中，平面平面，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A B C D9已知四面体中，分别是的中点，若，则与所成角的度数为（ ）A B C D10若直线和直线平行，则的值为（ ）A1 B C1或 D11两圆，的公切线有且仅有（ ）A1条 B2条 C3条 D4条12直线分别交轴和轴于两点，是直线上的一点，要使最小，则点的坐标是（ ）A. B. C. D. 第II卷（非选择题）二、填空题（4小题，共20分）13已知函数，则函数的最大值为 来源:学科网ZXXK14已知，其中，若是递增的等比数
3、列，又为一完全平方数，则_.15已知是直线（）上一动点，是圆的两条切线，切点分别为，若四边形的最小面积为2，则_.16过作直线的垂线，则直线间的距离为_.三、解答题（8小题，共70分）17已知集合，若命题“”是假命题，求实数的取值范围18近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5，为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：平
4、方米）之间的函数关系是，记为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和.（1）建立关于的函数关系式；（2）当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？19已知不等式的解集是（1）若，求的取值范围；（2）若，求不等式的解集20已知命题：“xx|1x1，使等式x2xm=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（xa）（x+a2）0的解集为N，若xN是xM的必要条件，求a的取值范围21如图，在四棱锥中，平面， （1）若为的中点,求证:平面；（2）求三棱锥的体积. 22平面直角坐标系中，直线截以原点为圆心的圆所得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）若直线与圆切
5、于第一象限，且与坐标轴交于，当长最小时，求直线的方程；（3）设是圆上任意两点，点关于轴的对称点为，若直线分别交于轴于点和，问是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由.23已知曲线：.（1）若曲线是一个圆，且点在圆外，求实数的取值范围；（2）当时，曲线关于直线对称的曲线为.设为平面上的点，满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线，它们分别与曲线和曲线相交，且直线被曲线截得的弦长与直线被曲线截得的弦长总相等.（i）求所有满足条件的点的坐标；（ii）若直线被曲线截得的弦为，直线被曲线截得的弦为，设与的面积分别为与，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.24已知直线.（）证明：
6、直线过定点；（）若直线与直线平行，求的值并求此时两直线间的距离.参考答案1B【解析】试题分析：因为，又，所以，即函数的值域为，故选B考点：函数的值域2C【解析】试题分析：画出函数的图象如下图所示，由图可知，函数过，经验证可知C正确.考点：三角函数.3D【解析】试题分析：根据是定义在上的偶函数，在区间为增函数，根据图象关于轴对称可知，当或时，所以只需或，解得，故选D考点：函数的奇偶性、函数的单调性【方法点晴】本题主要考查的是函数的奇偶性性质及函数的单调性，函数零点及函数图象，属于难题解题时一定要注意分析条件，根据条件可知，函数在为增函数且有零点，又函数是偶函数，所以知其在为减函数且有零点，因此，
7、只需转化为或即可4A【解析】试题分析：由题意得，其子集为：，共个，选A考点：集合的子集5B【解析】试题分析：根据题意：半径为的球面上，且,为截面为大圆上三角形，设圆形为，的中点为，,，三棱锥的体积的最大值时，三棱锥的体积的最大值为.考点：球的内接几何体.6B【解析】试题分析：设球的半径，首先因为在上，所以为球的直径，为直角三角形，若使三角形的面积最大，则点到边的距离最大即可，因为三点共面所以最大距离为半径，三角形面积的最大值为；当点距离平面最大时为，则三棱锥的体积的最大值为，所以该球的表面积为，选B考点：1.球的表面积；2.棱锥的体积7C 【解析】试题分析：若，且，则，错误，可能平行，相交或异
8、面；，在存在与平行的直线，再由得，故正确；由得，再由得，故正确；当时，由得到，故错综上正确命题是，选C 考点：直线与平面，平面与平面的位置关系8B.【解析】试题分析：如下图所示，设球心为，则可知球心在面的投影在外心，即中点处，取中点，连，由题意得，面，在四边形中，设，半径，即球心即为中点，表面积，故选B.考点：空间几何体的外接球【名师点睛】外接球常用的结论：长方体的外接球：1.长、宽、高分别为，的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即；2.棱长为的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即；棱长为a的正四面体：外接球的半径为，内切球的半径为；9D【解析】试题分析：设为的中点，连接则分别为的中位线由
9、此可得，且 且或其补角即为与所成角又，因此，中，由正弦的定义，得，可得与所成的角的度数为故选：D考点：异面直线所成的角10C【解析】来源:学_科_网试题分析：显然，则直线和直线平行即考点：直线与直线平行11B【解析】试题分析： 圆心是（-1,-1）,半径是 圆心是（2,1）,半径是所以圆心距为， ，所以两圆相交所以两圆的公切线有且仅有2条。考点：圆与圆的位置关系.12B【解析】试题分析：由直线 交点分别为； 设直线上的一点则：，的坐标是解法2：可利用点的对称性直接发现的坐标是（0,0）.考点：两点之间的距离及函数思想.（几何法：利用点关于直线对称求最短距离。）134【解析】试题分析：由题意，得
10、，当时，；当时，所以函数的最大值为4考点：函数的单调性14【解析】试题分析：，所以.，因为为一完全平方数，所以.考点：1.对数运算；2.数列.【思路点晴】本题涉及很多知识点，一个是对数加法运算，用的是公式.然后是递增的等比数列，可得，接下来因为为一完全平方数，比小的完全平方数只有，故可以猜想，通过计算可得.有关几个知识点结合起来的题目，只需要对每个知识点逐个击破即可.15【解析】试题分析：因为可化为，所以与是两个全等的直角三角形，故四边形的面积为，当最小时，四边形的面积最小，结合图象可知：当直线时，的最小值即为点到直线的距离，由题设，即，也即，解之得，注意到，所以.考点：直线与圆的位置关系、建
11、立目标函数的建模思想及分析问题解决问题的能力. 本题考查直线与圆相切的条件及建立目标函数的解析式，以及求目标函数最大值的思想和方法.检测转化与化归的数学思想和方法及运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.【易错点晴】本题重在考查直线与圆的位置关系、建立目标函数的建模思想及分析问题解决问题的能力. 解答本题时，巧妙地利用直线与圆相切的条件及四边形的特征合理建构与建立目标函数的解析式是解答本题的关键也是较难的环节之一，当函数建立后求目标函数最大值的思想和方法也是一个重要环节，这里必须运用化归与转化的数学思想进行求解，因此检测转化与化归的数学思想和方法及运用所学知识去分析问题和解决问题的能力也是本题
12、命题之初衷.16【解析】试题分析：因直线的斜率为，故与其垂直的直线的斜率为，过两点的直线分别为,即,这两条直线之间的距离为.考点：两直线互相垂直的条件、直线的点斜式方程、两平行直线之间的距离公式.【易错点晴】解答本题的关键是先分别求出直线的斜率，然后利用直线的点斜式方程分别求出的方程为，化简整理可得，进而依据两条平行直线之间的距离公式，求出这两条直线之间的距离为.17【解析】试题分析：首先由题意得方程有负根，从而分方程无根、无负根求出的范围，进而求出当方程有负要时的范围试题解析：由题：方程有负根若方程无根，则若方程无负根，则由知，所以，当方程有负根时，考点：1、集合交集运算；2、命题真假的应用
13、18（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）运用题设和实际建立函数关系并确定定义域；（2）运用基本不等式求函数的最值和取得最值的条件.试题解析：（1），.（2）因为，当且仅当，即时取等号.所以当为55平方米时，取得最小值为57.5万元考点：阅读理解能力和数学建模能力、基本不等式及在解决实际问题中的灵活运用.19（1）（2）【解析】试题分析：（1）由2是解集中的元素可知其满足不等式，代入可得的取值范围；（2）结合三个二次关系可得到值，代入不等式可求解其解集试题解析：（1），（2），是方程的两个根，由韦达定理得 解得不等式即为：其解集为考点：一元二次不等式解法20（1）（2）或【解析】试题分析：（
14、1）利用参数分离法将m用x表示，结合二次函数的性质求出m的取值范围，从而可求集合M；（2）若xN是xM的必要条件，则MN分类讨论当a2-a即a1时，N=x|2-axa，当a2-a即a1时，N=x|ax2-a，当a=2-a即a=1时，N=三种情况进行求解试题解析：（1）由x2xm=0可得m=x2x=1x1 M=m|（2）若xN是xM的必要条件，则MN当a2a即a1时，N=x|2axa，则 ，即当a2a即a1时，N=x|ax2a，则，即当a=2a即a=1时，N=，此时不满足条件来源:Zxxk.Com综上可得： 或考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法21（1
15、）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）利用是中位线，从而，又，所以四边形为平行四边形，故，从而证平面；（2）转换三棱锥顶点可得：，易知是棱锥的高，从而求其体积试题解析：（1）如图,取PB的中点N,连接MN,CN.在PAB中,M是PA的中点,MNAB,MN=AB=3,又CDAB,CD=3,MNCD,MN=CD,来源:学。科。网四边形MNCD为平行四边形,DMCN.又DM平面PBC,CN平面PBC,DM平面PBC.（2）=SDBCPD,又SDBC=6,PD=,所以=.考点：1、线面平行；2、三棱锥体积【方法点晴】本题主要考查的是线面平行、三棱锥的体积及空间想象力，属于中档题解题时一定要注意中
16、点这个条件的暗示作用，一般要利用中位线得到直线平行，如果中位线不行，考虑构造平行四边形，利用平行四边形得线线平行，从而得线面平行，也可考虑面面平行得线面平行在求三棱锥体积时，如果高不易寻找，可考虑变换三棱锥顶点，从而易于求高22（1）；（2）；（3）定值为.【解析】试题分析：（1）运用直线与圆相交的基本关系建立方程即可得到答案；（2）运用基本不等式及题设条件即可获解；（3）通过建立方程和方程组，最后再运用所学知识进行分析推知即可.试题解析：（1）因为点到直线的距离为，所以圆的半径为，故圆的方程为.（2）设直线的方程为，即，来源:学科网ZXXK由直线与圆相切，得，即，当且仅当时取等号，此时直线的
17、方程为.（3）设，则，直线与轴交点，直线与轴交点，故为定值2.考点：圆的标准方程及直线的方程、基本不等式及灵活运用、运算求解能力和推理论证能力.【易错点晴】直线与圆是江苏高考考点中的八大级考点之一，因此直线与圆的问题也是江苏高考重点考查的必考内容之一.本题在求解时主要对运算求解能力的要求较高，无论是求直线的方程和圆的方程，还是第（3）问中的探究定值都要求计算能力特别强才能过关，如果运算能力不过关，则很难获得答案，特别是第（3）问中的定值推证的过程中，要求对含字母的代数式的运算必须相当熟练，否则很难获得定值的结果.23（1）；（2）（i）点的坐标为或；（ii）为定值16【解析】试题分析：（1）依
18、题意可得，可求的取值范围；（2）当时，：它关于对称的圆方程为，（i）由题意可得，整理讨论可得点的坐标为或； （ii） ，求出， 即可试题解析：（1）依题意，解得.（2）当时，：是以为圆心，半径为1的圆，所以它关于对称的圆方程为，.（i）因为要存在无穷多对直线与，所以必有无穷多对的斜率都存在，设的斜率为，则的斜率为，：，：，由于两圆半径都等于1，因此，若相交弦长相等，则两圆心到对应直线的距离必相等，所以或，即或对无穷多个值成立.或，解得或，所以点的坐标为或（ii）设到的距离为，则同理，又，所以为定值16.考点：直线与圆的位置关系24（1）；（2）【解析】试题分析：（1） 由题为直线过定点问题，题给出了直线方程，可对它进行必要的变形，化为点斜式，易看出所过的定点为。（2）由题知两直线平行，求的值，可利用直线平行则： （注意重合的情况），求平行线的距离，可利用平行线的距离公式解出。试题解析：（1）由，可化为点斜式：可知过定点为：（2）由两直线平行，则：，即：，可得或（两直线重合），经检验，此时两直线为：， 的距离为： 考点：（1）直线过定点问题。（2）直线平行与斜率关系及平行线的距离问题。
