1、5.2等差数列5.2.1等差数列课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知等差数列an的通项公式为an=90-2n,则这个数列共有正数项()A.44项B.45项C.90项D.无穷多项答案A解析令an=90-2n0,解得n0,d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.9.(2020湖南长沙高二学业考试)已知数列an的各项都为正数,前n项和为Sn,且Sn=(an+1)2(nN+).(1)求a1,a2;(2)求证:数列an是等差数列.(1)解由已知条件得,a1=(a1+1)2.a1=1.又有a1+a2=(a2+1)2,即-2a2-3=0.解得a2=-1(舍)或a2=3.(2)证明由Sn=(an+1)2得当
2、n2时,Sn-1=(an-1+1)2,Sn-Sn-1=(an+1)2-(an-1+1)2=+2(an-an-1),即4an=+2an-2an-1,-2an-2an-1=0,(an+an-1)(an-an-1-2)=0,an-an-1-2=0,即an-an-1=2(n2).所以数列an是首项为1,公差为2的等差数列.关键能力提升练10.(2021贵州高三模拟)数列an中,a1=5,a2=9.若数列an+n2是等差数列,则an的最大项为()A.9B.11C.D.12答案B解析令bn=an+n2,又a1=5,a2=9,b1=a1+1=6,b2=a2+4=13,数列an+n2的公差为13-6=7,则a
3、n+n2=6+7(n-1)=7n-1,an=-n2+7n-1=-n-2+,又nN*,当n=3或n=4时,an有最大值为-=11,故选B.11.设an是首项为50,公差为2的等差数列,bn是首项为10,公差为4的等差数列,以ak和bk为两边的矩形内的最大圆的面积记为Sk,如果k21,那么Sk等于()A.(k+24)2B.(k+12)2C.(2k+3)2D.(2k+1)2答案C解析由题意,得ak=2k+48,bk=4k+6,bk-ak=(4k+6)-(2k+48)=2k-42.k21,2k-420,bkak,矩形内的最大圆是以bk为直径的圆.因此Sk=(2k+3)2.12.已知等差数列an的首项为
4、a,公差为b,且不等式log2(ax2-3x+6)2的解集为x|xb,则数列an的通项公式为.答案an=2n-113.(2021辽宁义县高级中学高二月考)已知数列an的首项a1=21,且满足(2n-5)an+1=(2n-3)an+4n2-16n+15,则an中最小的一项是第项.答案5解析由已知得+1,=-7,所以数列是首项为-7,公差为1的等差数列,=-7+(n-1)=n-8,则an=(2n-5)(n-8),函数y=(2n-5)(n-8)的图像的对称轴为n=5.25,所以an的最小的一项是第5项.14.已知函数f(x)=cos x,x(0,2)有两个不同的零点x1,x2,且方程f(x)=m有两
5、个不同的实根x3,x4,若把这四个数按从小到大排列,能构成等差数列,则实数m=.答案-15.(2020新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期末)等差数列an中,a3=8,a7=20.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列的前n项和Sn.解(1)设等差数列公差为d,由a7-a3=4d=12,得d=3,an=3n-1.(2)=,Sn=+=+=.16.已知数列an满足a1=2,an=2an-1+2n+1(n2,nN+).(1)设bn=,求证数列bn是等差数列,并写出其通项公式;(2)若数列cn满足cn=2n+1,且对于任意正整数n,不等式a恒成立,求正数a的取值范围.(1)证明an=2an-1+2n+
6、1,+2(n2,nN+).bn=,bn=bn-1+2(n2,nN+).又b1=1,bn是以1为首项,2为公差的等差数列.bn=1+(n-1)2=2n-1.(2)解由a,得a1+对任意正整数n恒成立,记f(n)=,则=1.又f(n)0,f(n+1)f(n),即f(n)单调递增.故f(n)min=f(1)=,0a.即a的取值范围是0,.学科素养拔高练17.数列an满足a1=1,an+1=(n2+n-)an(n=1,2,),是常数.(1)当a2=-1时,求及a3的值.(2)是否存在实数使数列an为等差数列?若存在,求出及数列an的通项公式;若不存在,请说明理由.解(1)由于an+1=(n2+n-)an(n=1,2,),且a1=1,所以当a2=-1时,得-1=2-,故=3.从而a3=(22+2-3)(-1)=-3.(2)数列an不可能为等差数列,证明如下:由a1=1,an+1=(n2+n-)an,得a2=2-,a3=(6-)(2-),a4=(12-)(6-)(2-).若存在,使an为等差数列,则a3-a2=a2-a1,即(5-)(2-)=1-,解得=3.于是a2-a1=1-=-2,a4-a3=(11-)(6-)(2-)=-24.这与an为等差数列矛盾.所以,不存在实数使数列an是等差数列.
