1、山东省烟台市2021年高三数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据所给集合，直接求交集即可得解.【详解】由，故选：C.2. 若非零向量的夹角为，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先化简得到，即得解.【详解】化为，所以.“”是“”的充分不必要条件.故选：A3. 若，则（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】换元，可得出，利用二
2、倍角公式以及二倍角的余弦公式可求得的值.【详解】换元，则，且，则.故选：B.4. 设，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，而，即可得解.【详解】，所以，故选：D.5. 若M为的边AB上一点，且则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先用向量，表示向量，再转化为用，表示即可得答案.【详解】解：根据题意做出图形，如图，所以，所以.故选：A.6. 函数在其定义域上的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根据的奇偶性，排除CD，再根据函数值的符号进一步确定即可得解.【详解】首先求定义域，解得，所以为偶函数，图象关于
3、y轴对称，排除选项CD，当或时，排除A故选：B.7. 牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度T将满足，其中是环境温度，h称为半衰期.现有一杯85的热茶，放置在25的房间中，如果热茶降温到55，需要10分钟，则欲降温到45，大约需要多少分钟？（ ）（1g20.3010，1g30.4771）A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】C【解析】【分析】先根据条件计算的值，利用换底公式计算，即可得答案；【详解】根据题意有：，故选：C.8. 已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分
4、析】函数有两个不同的零点等价于方程有两个不同的根，即可得答案；【详解】函数有两个不同的零点等价于方程有两个不同的根，令，在递增，在递减，且令，令，则，当，在递增，在递减，且， 所以直线与有两个交点，可得取值范围为：.故选：D.【点睛】利用参变全分离，再结合导数研究函数的图象特征，从而得到参数的取值范围，是常用的方法；本题若是采用半分离，图象不好作出，容易犯错.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】AC项用作差法可判断；B
5、项根据函数的单调性可判断；D项用分析法可判断.【详解】解：因为，所以，故A正确；，是实数集上的增函数，所以，故B正确；，所以，故C错误；因为，所以，欲证，只需证明，即证显然成立，故D正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：作差法、根据函数的单调性、分析法、取特殊值验证或综合法是解决这类题的常用方法.10. 已知是定义在R上的奇函数，且满足，则下列说法正确的是（ ）A. B. 在区间上单调递增C. D. 是满足条件的一个函数【答案】ACD【解析】【分析】根据是定义在R上的奇函数和，推出，即函数的周期为8，然后再逐项验证.【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以 ,又，所以，即，所以，故A正确；无法得出
6、在区间上单调递增，故B错误；因为函数的周期为8，所以，故C正确；因为,则，故D正确；故选：ACD11. 函数，（是常数，）的部分图象如图所示，则（ ）A. B. C. 的对称轴为D. 的递减区间为【答案】AB【解析】【分析】由最低点确定，由周期的四分之一确定，把最低点代入解析式确定，再根据正弦函数的对称轴、递减区间求该函数的对称轴和递减区间即可.【详解】解：显然，设函数的周期为，则，所以，又；所以过点，所以，所以，根据，故AB正确；正弦函数的对称轴为，令，所以的对称轴为，故C错误；正弦函数的递减区间为，令，的递减区间为，故D错误.故选：AB【点睛】方法点睛：已知三角函数的图像确定解析式，一般根
7、据最高点或最低点确定振幅，根据周期确定角速度，根据函数图像经过的点确定初相，再根据正弦函数的性质用换元法确定待求函数的性质即可.12. 已知函数，则下列结论正确的有（ ）A. 在区间上单调递减B. 若，则C. 在区间上的值域为D. 若函数，且，在上单调递减【答案】ACD【解析】【分析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可，对于选项A：当时，可得，可得在区间上单调递减；当，可得，可得在区间上单调递减，最后作出判断；对于选项B：由在区间上单调递减可得，可得，进而作出判断；对于选项C：由三角函数线可知，所以，进而作出判断；对于选项D：，可得，然后利用导数研究函数在区间上的单调性，可得
8、，进而可得出函数在上的单调性，最后作出判断.【详解】， ，当时，由三角函数线可知，所以，即，所以，所以，所以在区间上单调递减，当，所以，所以在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，故选项A正确；当时，所以，即，故选项B错误；由三角函数线可知，所以，所以当时，故选项C正确；对进行求导可得：所以有，所以，所以在区间上的值域为，所以，在区间上单调递增，因为，从而，所以函数在上单调递减，故选项D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属
9、于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设为单位向量，且，则_【答案】【解析】【分析】根据，平方可得，解得 ，再对进行平方即可得解.【详解】由，平方可得：，解得： ，故答案：.14. 函数的定义域为_【答案】【解析】【分析】根据解析式可得不等式组解不等式组，即可得答案；【详解】，故答案为：.15. 已知函数是定义在R上的偶函数，其导函数为，若对任意的正实数，则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】根据条件可得函数为偶函数，且在单调递减，从而可得不等式.【详解】当时，且为偶函数，在单调递减，解得：，故答案为：.【点睛】求解的关键在于构造什么样的函数，再利用导数研究函数
10、的单调性，进而将不等式进行等价转化.16. 如图，C、D是两所学校所在地，C、D到一条公路的垂直距离分别为.为了缓解上下学的交通压力，决定在AB上找一点P，分别向C、D修建两条互相垂直的公路PC和PD，设，则当最小时，_.【答案】12【解析】【分析】由题意得：，再利用导数求函数的最小值即可；【详解】由题意得：，当时，当得：，当得：，当时，取得最小值，故答案为：12.【点睛】利用导数求函数的最值，注意不一定要把的值求出，直接利用复合函数的性质，可简化计算量.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在平面直角坐标系中，已知向量.（1）若，求的值；（2）若
11、在上的投影向量长度为，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据， 由求解.（2）根据在上的投影向量长度为，由求解.【详解】（1）因为， 所以，故，.（2）因为在上的投影向量长度为，所以，所以，所以或或或，解得或或或，因为，所以.18. 某市作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，每年都有大量的游客来参观旅游。为提高经济效益，管理部门对某一景点进行了改造升级，经市场调查，改造后旅游增加值y万元投入万元之间满足：（a，b为常数），当万元时，万元；当万元时，万元.（参考数据：）（1）写出该景点改造升级后旅游增加利润万元与投入万元的函数解析式；（利润=旅游增加值投入）（
12、2）投入多少万元时，旅游增加利润最大？最大利润是多少万元？（精确到0.1）【答案】（1）；（2）投入25万元时，旅游增加利润最大，最大利润为11.9万元.【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出，即可得答案；（2）利用导数求出函数的单调性，即可得到函数的最值；【详解】（1）由已知得：，化简得：，则该景点改造升级后旅游增加利润为：；（2）由（1）得：则，令得，当时，单调递增；当单调递减；时，取得最大值，且，当投入25万元时，旅游增加利润最大，最大利润为11.9万元.【点睛】待定系数法求函数的解析式，一般是根据条件列出方程，再求参参数值；利用导数求函数的单调性，可求得函数的最值.19. 在，这三个
13、条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：在中，它的内角A，B，C的对边分别为，若的外接圆半径为2，且，_.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案不唯一，见解析.【解析】【分析】若选：由正弦定理的边化角公式化简求出，进而得出的值，最后由余弦定理求出的值；若选：由正弦定理的边化角公式化简求出，进而得出的值，最后由余弦定理求出的值；若选：由余弦定理以及三角形面积公式化简求出，进而得出的值，最后由余弦定理求出的值.【详解】若选：因为，所以所以，因为，所以.因为的外接圆半径为2，所以，所以所以，又因为所以.若选：因为因
14、为，所以因为，所以.因为的外接圆半径为2，所以所以所以若选：因为，由余弦定理得所以，因为的外接圆半径为2，所以所以，所以又因为所以.【点睛】解决本题的关键是利用正弦定理的边化角公式以及余弦定理对题设条件进行转化，注意到的应用.20. 古希腊数学家海伦著作测地术中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积.若三角形的三边分别为，则其面积，这里，已知在中，.（1）设，试将三角形的面积s表示成的函数；（2）求s的最大值，并求三角形面积最大时的值.【答案】（1）（）；（2）s的最大值为12，.【解析】【分析】（1）按照题中所给公式直接写出结果即可；（2）先根据二次函数性质得出s的最大值，并
15、求出取得最大值时x的值，然后利用余弦定理求出的值，最后由同角三角函数的关系求出的值.【详解】（1）设，所以（）；（2）由（1）得，当即时，s取得最大值12，此时，由余弦定理得：，所以.【点睛】方法点睛：将的面积表示成关于x的函数，利用二次函数的性质求得s的最大值，此时x的取值为，再应用余弦定理求出的值，进一步求出的值，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.21. 已知函数（）.（1）讨论函数的单调性；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性即可；（2原不等式化为：在上恒
16、成立，设，求出函数的导数，再令，根据函数的单调性求出a的范围即可【详解】（1），令，则或，当时，函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，当时，函数在上单调递增，当时，函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减；（2）原不等式化为：在上恒成立，设，令，则，所以在上单调递增，所以，则函数在上单调递增，且，.【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究单调性（含参），考查利用导数研究恒成立问题，解决第（2）问的关键是将原不等式转化为在上恒成立，进而利用导数研究函数的单调性，从而得解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化和划归思想，属于常考题.22. 已知函数.（1）若对任意的实数，函数的图象与直线有且
17、只有两个交点，求的取值范围；（2）设，若函数有两个极值点，且，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意得方程有两个不相等的实数解，故令，再求的值域分布即可得答案.（2）由已知得，进而得，进而结合（1）得函数的单调性，且，故令，只需证明恒成立，进而得，故将问题转化为，设，再研究函数的最值即可得证.【详解】（1）由已知得：函数的图象与直线有两个交点，即方程有两个不相等的实数解.设，令，单调递减，单调递增，且时，函数的图象与直线有且只有两交点.（2），函数有两个极值点有两个不同实数解.由（1）知：且，在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，设，则，在上单调递减，又恒成立，即，又在单调递减，要证：，只须证：即证：，设，令，则，所以在单调递增，所以在单调递增，故当，所以，亦即：.【点睛】本题考查导数研究函数的零点个数，证明不等式问题，考查化归转化思想和运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于根据已知证明，进而将问题转化为证明成立问题，最后构造函数求最值即可证得答案.
