1、习题课指数函数及其性质的应用必备知识基础练1.已知函数f(x)=ax(a0且a1)在(0,2)内的值域是(1,a2),则函数y=f(x)的图像大致是()答案B解析函数f(x)=ax(a0且a1)在(0,2)内的值域是(1,a2),由于指数函数是单调函数,则有a1.由底数大于1知指数函数的图像上升,且在x轴上方,可知B正确.2.函数f(x)=的单调递增区间为()A.(-,0)B.(0,+)C.(-,1)D.(1,+)答案A解析令u(x)=x2-1,f(x)=,01时,指数函数y=ax单调递增,所以在区间-1,1上的最大值ymax=a,最小值ymin=.所以a+=5,求得a=2或a=(舍);当0a
2、2的解集为.答案(-1,+)解析f(x)是偶函数,且f=2,又f(x)在(-,0上单调递减,f(x)在0,+)上单调递增.由f(2x)2,得2x,即2x2-1,x-1,即不等式f(2x)2的解集是(-1,+).6.已知a0且a1,若函数f(x)=2ax-4在区间-1,2上的最大值为10,则a=.答案解析若a1,则函数f(x)=2ax-4在区间-1,2上单调递增,当x=2时,f(x)取得最大值f(2)=2a2-4=10,即a2=7,又a1,所以a=.若0a30;(2)当x(-1,1)时,f(x)存在最小值-2,求a的值.解设2x=t(t0),则y=t2-2at-a,(1)当a=2时,f(x)30
3、y=t2-4t-320,t8.t0,t8,2x8,x3,不等式的解集为x|x3.(2)由题意得,当x(-1,1)时,必有函数图像的对称轴t0=2a-1,即0a2,故函数的最小值为m=-2,a+22a-2=2,由于关于a的函数y=a+22a-2单调递增,故最多有一个实根,而当a=1时,a+22a-2=2,a的值为1.关键能力提升练8.设函数f(x)=若f(a)1,则实数a的取值范围是()A.(-3,1)B.(-,-3)(1,+)C.(-,-3)D.(1,+)答案A解析当a0时,-7182-a23-a-3,-3a0.当a0时,1a1,0a1.综上,-3a1.故选A.9.(多选题)已知函数f(x)=
4、2-x-2x.下列四个结论中正确的是()A.f(0)=0B.f(x)是奇函数C.f(x)在(-,+)上单调递增D.对任意的实数a,方程f(x)-a=0都有解答案ABD解析f(x)=2-x-2x,f(0)=20-20=0,A正确;f(x)的定义域为R,f(-x)=2x-2-x=-f(x),f(x)是奇函数,B正确;f(x)=-2x在R上是减函数,C错误;由于x-时,f(x)+;x+时,f(x)-,即f(x)的值域是(-,+),它又是R上的减函数,因此对任意实数a,f(x)=a有唯一解,D正确.10.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x0),则当x0的解集为.答案2-x-4x|x4解析设x0
5、,f(-x)=2-x-4.又f(x)为偶函数,f(x)=f(-x)=2-x-4.于是f(x-2)0可化为解得x4或xf(-),则a的取值范围是.答案解析由题意知函数f(x)在区间(0,+)上单调递减,又f(x)是偶函数,则不等式f(2|a-1|)f(-)可化为f(2|a-1|)f(),则2|a-1|,|a-1|,解得a0恒成立,求实数k的取值范围.解(1)f(x)在定义域R上是奇函数,f(0)=0,n=1.又由f(-1)=-f(1),得m=2.检验知,当m=2,n=1时,原函数是奇函数.(2)由(1)知f(x)=-,任取x1,x2R,设x1x2,则f(x2)-f(x1)=.函数y=2x在R上是增函数,且x1x2,0,f(x2)-f(x1)0,即f(x2)0等价于f(kx2)-f(2x-1)=f(1-2x).又f(x)在R上是减函数,由上式推得kx21-2x,即对一切x有k恒成立.设g(x)=-2,令t=,t,则有h(t)=t2-2t,t,g(x)min=h(t)min=h(1)=-1,k-1,即k的取值范围为(-,-1).
