1、22.1.3 比例的性质教学目标【知识与技能】1.进一步理解并掌握比例、比例线段的概念.2.掌握比例的基本性质.3.会求常见图形中的线段比.4.会进行黄金分割的有关计算.【过程与方法】1.经历探究比例、比例线段的性质的过程,体会类比的思想,促进探究、质疑、归纳能力的发展.2.经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程.3.通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系,体会数学的思维方式,增进数学学习的情感.【情感、态度与价值观】在交流协作中,体会生生交往与师生交往的乐趣;在解决问题的过程中接受挑战、战胜困难,增强学习数学的兴趣.重点难点【重点】比例及比例线段的性质;黄金分割点的有
2、关计算.【难点】比例及比例线段的应用;黄金分割点的有关计算.教学过程一、复习回顾,引入新课师:在上一节,我们学习了成比例线段,同学们现在能画出两条线段、量出长度并求出它们的比值吗?学生作图后测量并求出比值.师:用同一个单位去度量两条线段a、b,得到它们的长度,我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比,记作或ab.在四条线段a、b、c、d中,如果其中两条线段a、b的比,等于另外两条线段c、d的比,即=(或ab=cd),那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.二、探究新知师:两条线段的比是它们长度的比,也就是两个数的比,因此也应具有关于两个数成比例的性质.如果=,你能把这个式子改写成乘积的形
3、式吗?生:两边同乘以bd,得到ad=bc.师:反之,如果ad=bc(b、d0)我们是否能得到=呢?生:能,两边同除以bd.师:比例的这个性质叫做比例的基本性质.教师多媒体课件出示: 师:现在请同学们看这三个图形.图形(1)和图形(2)对应边是成比例的,图形(3)的长等于图形(1)的长加上图形(2)的长,图形(3)的宽等于图形(1)的宽加上图形(2)的宽,你能判断图形(1)和图形(3)的边是否成比例吗?学生思考,讨论.师:你怎么判断这两个长方形的边是否是成比例的呢?生:计算3.62和2.71.5是否相等.师:现在就请同学们算一下是否相等.学生计算后回答:相等.师:所以我们有=.对于式子=,能否得
4、到=呢?学生思考,讨论.生:在=的两边都加上1,然后通分就得到了=.师:对!所以我们得到了这个结论:如果=,那么=(b、d0).这叫做比例的合比性质.如果=,b1+b20,你能否证明=呢?教师提示:我们可以倒着推:要证=,可先证(a1+a2)b1=(b1+b2)a1,即a1b1+a2b1=b1a1+b2a1,两边都减去a1b1,两边都减去a1b1,得a2b1=b2a1,你能证明a2b1=b2a1吗?学生思考后回答:能.师:怎么证明?生:因为=,两边同乘以b1b2,就证出来了.师:现在你知道怎么证明=了吗?生:知道了.师:请同学们想想有没有其他的证法?学生思考.教师提示:的值与的值相等,我们要证
5、的是的值也与的值相等,如果我现在设=k,你能否证出=k呢?学生思考,讨论.师:a1、a2能否用含b1、b2的代数式表示?生:能.师:怎样表示?生:a1=b1k,a2=b2k.师:你知道怎样证明了吗?生:知道,将a1=b1k,a2=b2k代入中.师:我们有了两种证法,哪两位同学愿意上来写出证明过程?学生举手,教师从举手的同学中找两生板演.生1板书:证明:=(已知),两边同乘以得=.=(合比性质).两边同乘以得=.两边取倒数,得=,即=.生2板书:设=k,得a1=b1k,a2=b2k,代入得=k=.师:你能总结一下以上两种方法吗?生:第一种方法是先倒推,再证明;第二种方法是设定值.师:同学们总结得
6、很好!再遇到证明两式相等的问题时要记起这两种方法,其中设定值的方法一般适用于设比值为定值.如果我把这个式子推广,=成立,且b1+b2+b3+bn0,你能否推出所有分子之和与所有分母之和的比是等于呢?生:能.教师找一生板演,其余同学在下面做,教师巡视指导.师:所以我们得到比例的又一性质:如果=,且b1+b2+b3+bn0,那么=.三、例题讲解【例1】 已知:如图,在ABC中,=. 师:请同学们看这道题.学生读题思考.师:哪位同学能证明这道题,跟大家说说你的思路.学生举手.教师找一生回答第(1)题.生:因为=,由合比性质得=,即=.教师找另一生回答第(2)题.师:你是怎样考虑的呢?生:AB可以写成
7、AD+DB,AC可以写成AE+EC.因为合比性质是分子加分母,要证明=,可先证=,然后两边取倒数,就得到要证的结果了.师:很好!现在请你把证明步骤写在黑板上,其余同学在下面做.学生证明后集体订正.教师多媒体课件出示:【例2】 在地图或工程图纸上,都标有比例尺,比例尺就是图上长度与实际长度的比.现在一张比例尺为15 000的图纸上,量得一个ABC的三边:AC=3 cm,BC=4 cm,AB=5 cm.问这个图纸所反映的实际ABC的周长是多少?解:根据题意,得=.即=.又AB+BC+AC=5+4+3=12(cm),AB+BC+AC=125 000=60 000(cm)=600(m).答:实际ABC
8、的周长是600 m.【例3】 如图所示,已知线段AB长度为a,点P是AB上一点,且使ABAP=APPB.求线段AP的长和的值. 解:设AP=x,那么PB=a-x.根据题意,得ax=x(a-x),即x2+ax-a2=0.解方程,得x=a.因为线段长度不能是负值,所以取x=a.即AP=a.于是=0.618.把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,分割点叫做这条线段的黄金分割点,比值叫做黄金数.四、巩固练习1.若6x=5y,则xy= . 【答案】2.已知ab=cd,则= . 【答案】3.若=,则= . 【答案】4.已知x=,则x的值是 . 解析:
9、x=,a2+ab=bc+c2. b2+bc=a2+ac. ac+c2=ab+b2 将式减去式得ab-bc=c2-a2. 将式减去式得ac-ab=b2-c2. 将式减去式得b2-a2=ac-bc. 由式都可得出a+b+c=0.a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b.x=-1.【答案】-15.点P在线段AB上,AP2=ABPB.若PB=4,则AP的长为 . 解析:设AP=x,x2=(x+4)4,x2-4x-16=0.x=22.又x0,AP长取2+2.【答案】2+26.已知点M将线段AB黄金分割(AMBM),则下列各式中不正确的是( )A.AMBM=ABAM B.AM=ABC.BM=ABD.AM0
10、.618AB【答案】C7.已知xy=35,yz=47,求xyz.【答案】xy=35,x=y.又yz=47,z=y.xyz=yyy=122035.五、课堂小结师:本节课你学习了什么内容?有什么收获?学生回答,教师点评.教学反思首先,从回顾上节已学的比例知识入手,运用类比的方法得到实数范围的比和比例,再类比得到比例线段的概念,这样会比较直观、易学.其次,尽可能体现数学与生活的紧密联系,如课题的引出及知识的应用,尽可能让学生感悟到数学源于实际,并且数学知识和方法能很好地解决实际生活中的问题,激起学生学习数学的欲望.总的来说,本节课是在轻松愉快的氛围中完成的,学生的热情也比较高涨,由于所涉及的问题是每个学生触手可及的,因而学生在活跃的课堂气氛中也各有所获.
