1、第2讲匀变速直线运动一、匀变速直线运动1.定义:物体在一条直线上且做加速度不变的运动。2.分类匀加速直线运动:a与v方向相同。匀减速直线运动:a与v方向相反。二、匀变速直线运动的规律1.三个基本公式速度公式:v=v0+at;位移公式:x=v0t+12at2;速度位移关系式:v2-v02=2ax。2.两个有用的推论(1)平均速度公式:v=v0+v2=vt2。(2)任意相邻的两段连续相等的时间(T)内,位移之差是一个恒量,即x=x2-x1=x3-x2=xn-xn-1=aT2。3.初速度为零的匀加速直线运动具备以下几个特点(1)在1T末,2T末,3T末,nT末的瞬时速度之比为v1v2v3vn=123
2、n。(2)在1T内,2T内,3T内,nT内的位移之比为x1x2x3xn=12232n2。(3)第1个T内,第2个T内,第3个T内,第n个T内的位移之比为x1x2x3xn=135(2n-1)。(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为t1t2t3tn=1(2-1)(3-2)(n-n-1)。三、自由落体运动和竖直上抛运动自由落体运动条件只受重力,从静止开始下落特点初速度为0、加速度为g的匀加速直线运动规律速度公式:v=gt位移公式:h=12gt2速度位移关系式:v2=2gh竖直上抛运动特点(1)加速度为g(2)上升阶段做匀减速直线运动,下降阶段做匀加速直线运动规律速度公式:v=v0-gt位移
3、公式:h=v0t-12gt2速度位移关系式:v2-v02=-2gh上升的最大高度:H=v022g上升到最高点所用时间:t=v0g1.判断下列说法对错。(1)匀变速直线运动是加速度均匀变化的直线运动。( )(2)匀变速直线运动是速度均匀变化的直线运动。( )(3)匀加速直线运动的位移是均匀增加的。( )(4)匀加速直线运动1T末、2T末、3T末的瞬时速度之比为123。( )(5)做自由落体运动的物体,下落的高度与时间成正比。( )(6)做竖直上抛运动的物体,上升阶段与下落阶段的加速度方向相同。( )2.做匀变速直线运动的物体位移随时间的变化规律为x=24t-1.5t2(m),根据这一关系式可知,
4、物体速度为零的时刻是()A.1.5 sB.8 sC.16 sD.24 s答案B3.某航母跑道长200 m,飞机在航母跑道上滑行的最大加速度为6 m/s2,起飞需要的最低速度为50 m/s。那么,飞机在滑行前,需要借助弹射系统获得的最小初速度为()A.5 m/sB.10 m/sC.15 m/sD.20 m/s答案B4.一个物体从静止开始做匀加速直线运动。它在第1 s内与第2 s 内的位移之比为x1x2,在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1v2。以下说法正确的是()A.x1x2=13,v1v2=12B.x1x2=13,v1v2=12C.x1x2=14,v1v2=12D.x1x2=14,
5、v1v2=12答案B5.(2020西城期末)如图所示,甲、乙两位同学利用直尺测量反应时间。甲用一只手在直尺末端做捏尺的准备,在他看到乙同学放开直尺时,他立刻捏住直尺,测出直尺在这段时间内下落的高度,计算出直尺下落的时间,就是甲同学的反应时间。若在某次测试中,直尺下落的高度为20 cm,则这次实验测量出甲同学的反应时间是(g取10 m/s2)()A.0.02 sB.0.1 sC.0.14 sD.0.2 s答案D考点一匀变速直线运动的规律和应用一、匀变速直线运动规律及其推论公式的特点1.基本规律公式(1)速度公式:v=v0+at(2)位移公式:x=v0t+12at2(3)速度位移关系式:v2-v0
6、2=2ax,此式中不含时间t;三个公式中共有五个物理量,只要其中三个物理量确定之后,另外两个就确定了。原则上应用三个基本公式中的一个或两个列方程组,就可以解决任意的匀变速直线运动问题。2.常用的推论公式及特点(1)平均速度公式v=vt2=v0+v2,此式只适用于匀变速直线运动,式中不含有时间t和加速度a;v=xt,可用于任何运动。(2)位移差公式x=aT2,纸带法求解加速度常利用此式。(3)初速度为零的匀加速直线运动的比例式只适用于初速度为零的匀加速直线运动。3.无论是基本公式还是推论公式均为矢量式,公式中的v0、v、a、x都是矢量,解题时应注意各量的正负。一般先选v0方向为正方向,其他量与正
7、方向相同取正值,相反取负值。例1(2019朝阳期中)如图所示,在匀变速直线运动的v-t图像中,我们可以用图线与坐标轴围成的面积表示位移。试通过加速度的定义式,结合v-t图像推导匀变速直线运动的位移公式x=v0t+12at2。答案见解析解析对于匀变速直线运动,加速度的定义式是a=vt-v0t,所以vt=v0+at。在图像中,图线与坐标轴围成的面积表示位移,所以时间t内的位移x=12(v0+vt)t=12v0+(v0+at)t=v0t+12at2。二、解决匀变速直线运动问题的基本步骤是什么?例2ETC是目前世界上最先进的路桥收费方式,车辆不需停车就能支付路桥费用,有效提高了车辆的通行效率。假设一辆
8、汽车以10 m/s的速度驶向收费站,若进入人工收费通道,它从距收费窗口20 m处开始减速,至窗口处恰好停止,再用10 s时间完成交费;若进入ETC通道,它从某位置开始减速,当速度减至5 m/s后,再以此速度匀速行驶5 m即可完成交费。若两种情况下,汽车减速时加速度相同,求:(1)汽车进入ETC通道减速行驶的位移大小;(2)汽车从开始减速到交费完成,从ETC通道通行比人工收费通道通行节省的时间。答案(1)15 m(2)11 s解析(1)进入人工收费通道时,v0=10 m/s,v1=0,x1=20 m由v12-v02=2ax得a=v12-v022x=-2.5 m/s2进入ETC通道时,v0=10
9、m/s,v2=5 m/s,a=-2.5 m/s2由v22-v02=2ax2得x2=v22-v022a=15 m(2)进入人工收费通道,减速时间t1=v1-v0a=4 s总时间t总1=14 s进入ETC通道,减速时间t2=v2-v0a=2 s,匀速阶段时间t3=x3v2=1 s,总时间t总2=t2+t3=3 s节省的总时间t=t总1-t总2=11 s三、解答“刹车”问题应注意什么?汽车运动时间满足tv0a,发生的位移满足xv022a(停止时取“=”号)。例3一辆汽车以72 km/h的速度沿直线匀速行驶,现因故紧急刹车并最终停止运动。已知汽车刹车过程中加速度的大小为5 m/s2,则(1)从开始刹车
10、经过5 s后,汽车通过的距离是多少?(2)汽车停止运动前1秒内的位移是多少?答案(1)40 m(2)2.5 m解析(1)设汽车由开始刹车至停止运动所用的时间为t0,选初始速度的方向为正方向,则v0=72 km/h=20 m/s,a=-5 m/s2由v=v0+at0得t0=v-v0a=0-20-5 s=4 s可见,该汽车刹车后经过4 s就停止运动,则5 s中的最后1 s汽车是静止的。故汽车开始刹车经过5 s后通过的距离x=v0t0+12at02=204 m+12(-5)42 m=40 m。(2)对于末速度为零的匀减速直线运动,可把该阶段看成反向的初速度为零、加速度大小相同的匀加速直线运动,则汽车
11、停止运动前1秒内的位移x=12at2=2.5 m四、如何做到平均速度与瞬时速度互换?在匀变速直线运动中,任意一段的平均速度等于其中间时刻的瞬时速度,即v=vt2。利用好这一关系,可以实现平均速度与瞬时速度的互换,求解问题能起到事半功倍的效果。例4有一个做匀变速直线运动的质点,它在最初两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和64 m,连续相等的时间为t=4 s,求质点的初速度大小和加速度大小。答案1 m/s2.5 m/s2解析(用平均速度求解)已知x1=24 m,x2=64 m,t=4 s,则v1=x1t=244 m/s=6 m/sv2=x2t=644 m/s=16 m/s又v2=v1+a
12、t,解得a=2.5 m/s2由x1=v0t+12at2可得v0=1 m/s考点二自由落体运动和竖直上抛运动一、自由落体运动1.伽利略研究自由落体运动时都用到了哪些方法?伽利略对运动的研究,不仅确立了许多用于描述运动的基本概念,而且创造了一套对近代科学的发展极为有益的科学方法。这些方法的核心是把实验和逻辑推理(包括数学演算)和谐地结合起来,从而发展了人类的科学思维方式和科学研究方法。例5伽利略对自由落体运动的研究,是科学实验和逻辑思维的完美结合,如图可大致表示其实验和思维的过程。让小球沿倾角为的光滑斜面滑下,然后改变倾角分别进行多次实验,最后推理出自由落体运动是一种匀加速直线运动。对这一过程的分
13、析,下列说法中不正确的是()A.采用图甲的斜面实验,可“冲淡”重力的作用,使时间更容易测量B.让不同质量的球沿相同斜面下滑,可证实小球均做加速度相同的匀变速直线运动C.伽利略通过实验直接测量了物体自由下落的位移与时间的二次方的关系D.图甲是实验现象,图丁的情景是经过合理的外推得到的结论答案C伽利略的时代无法直接测定瞬时速度,所以也就无法直接得到速度的变化规律。但是伽利略通过数学运算得出结论:如果物体初速度为零,且速度随时间均匀变化,即vt,那么它通过的位移与所用时间的二次方成正比,即xt2,这样只要测出物体通过不同位移所用的时间,就可以验证这个物体的速度是否随时间均匀变化。由于伽利略时代靠滴水
14、计时,不能测量自由落体运动所用的时间。伽利略采用了一个巧妙的方法,用来“冲淡”重力的作用,他让小球沿阻力很小的斜面下滑,由于小球沿斜面下滑时加速度比它竖直下落的加速度小得多,所用时间长得多,所以容易测量,故A不符合题意,C符合题意;让不同质量的球沿相同斜面下滑,可证实小球均做加速度相同的匀变速直线运动,故B不符合题意;图甲、乙、丙均是实验现象,图丁所示的情景是经过合理的外推得到的结论,故D不符合题意。例6(2018北京理综,21,18分)早在16世纪末,伽利略就猜想落体运动的速度应该是均匀变化的。当时只能靠滴水计时,为此他设计了如图所示的“斜面实验”,反复做了上百次,验证了他的猜想。请你结合匀
15、变速直线运动的知识,分析说明如何利用伽利略“斜面实验”检验小球的速度是随时间均匀变化的。答案如果小球的初速度为0,其速度vt,那么它通过的位移xt2。因此,只要测量小球通过不同位移所用的时间,就可以检验小球的速度是否随时间均匀变化。解析设v0=0,v=at,而x=12at2,故可通过位移随时间的变化情况,判断速度随时间的变化情况。2.如何巧妙解答自由落体运动问题?(1)可充分利用自由落体运动初速度为零的特点、比例关系及推论等规律解题。从运动开始连续相等时间内的下落高度之比为1357。开始一段时间内的平均速度v=ht=v2=12gt。连续相等时间T内的下落高度差h=gT2。(2)物体由静止开始的
16、自由下落过程才是自由落体运动。从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动,而是等效于竖直下抛运动,应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。例7在一竖直砖墙前让一个小石子自由下落,小石子下落的轨迹距离砖墙很近。现用照相机对下落的石子进行拍摄,某次拍摄的照片如图所示,AB为小石子在这次曝光中留下的模糊影迹。已知每层砖(包括砖缝)的平均厚度约为6.0 cm,A点距石子开始下落点的竖直距离约为1.8 m。试估算照相机这次拍摄的曝光时间。(重力加速度g取10 m/s2,结果保留1位有效数字)答案见解析解析画出石子的运动过程示意图如图所示。由题图可知径迹AB的长度为h=2d=0.12 m,设A
17、点到起落点的距离为hA,运动的时间为tA,曝光时间为t。方法一:由自由落体运动位移公式h=12gt2求解。hA=12gtA2hA+h=12g(tA+t)2解得t0.02 s方法二:由运动学公式x=v0t+12gt2和v2=2gh求解。设A点的速度为vA,曝光时间为t,则vA=2ghA=6 m/sh=vAt+12gt2解得t0.02 s或t-1.2 s(舍去)方法三:由瞬时速度和平均速度关系求解。设A点的速度为vA,则vA=2ghA=6 m/s因曝光时间t极短,AB过程中的平均速度 vvA=6 m/s曝光时间为thv=0.02 s二、解答竖直上抛运动问题有哪些方法?1.分段法可以把竖直上抛运动分
18、成上升阶段的匀减速直线运动和下降阶段的自由落体运动处理。2.整体法将竖直上抛运动视为初速度为v0,加速度为-g的匀减速直线运动。例8一同学利用数码相机连拍功能(此相机每秒连拍10张)记录下跳水比赛中两名运动员在10 m跳台跳水的全过程。所拍摄的第一张恰好为她们起跳的瞬间,第四张如图甲所示,该同学认为这时她们在最高点;第十九张如图乙所示,她们正好身体竖直,双手触及水面。设起跳时她们的重心离台面的距离和触水时她们的重心离水面的距离相等。由以上材料(g取10 m/s2),求:(1)运动员的起跳速度大小;(2)第四张照片是在最高点吗?如果不是,此时重心是处于上升还是下降阶段?答案(1)3.4 m/s(
19、2)不是上升阶段解析(1)由题意得:运动员从起跳到入水所用时间为t=1.8 s,设跳台高h,起跳速度为v0,由-h=v0t-12gt2得v03.4 m/s(2)上升至最高点所用时间t1=0-v0-g=0.34 s而拍第四张时她们运动了0.3 s,所以还处于上升阶段。A组基础达标1.某乘客用手表估测火车的加速度,他先观测3分钟,发现火车前进540 m,隔3分钟后又观测1分钟,发现火车前进了360 m,若火车在这7分钟内做匀加速直线运动,则这列火车的加速度大小为()A.0.03 m/s2B.0.01 m/s2C.0.5 m/s2D.0.6 m/s2答案B由题意,画出火车运动示意图如图所示。解法一:
20、公式法设开始计时时刻火车速度为v0,加速度为a,则x1=v0t1+12at12x3=v3t3+12at32其中v3=v0+a(t1+t2)由得a=0.01 m/s2解法二:利用平均速度等于中间时刻速度计算t1时间段的中间时刻速度v1=x1t1=540180 m/s=3 m/st3时间段的中间时刻速度v3=x3t3=36060 m/s=6 m/s则v3=v1+at,其中t=t12+t32+t2=300 s代入数据得a=0.01 m/s2故B正确。2.某人大雾天驾车在高速路上行驶,已知能见度(观察者与能看见的最远目标间的距离)为 30 m,该人的反应时间为0.5 s,汽车刹车时能产生的最大加速度的
21、大小为5 m/s2。为安全行驶,汽车行驶的最大速度是()A.2.5 m/sB.15 m/sC.103 m/sD.60 m/s答案B设汽车的最大速度为v,则有vt+v22a=30 m,代入数据解得最大速度v=15 m/s,故B正确。3.(2021朝阳期中)关于自由落体运动,下列选项正确的是() A.自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动B.在空气中,不考虑空气阻力的运动是自由落体运动C.质量大的物体受到的重力大,落到地面时的速度也大D.物体做自由落体运动时不受任何外力作用答案A自由落体是初速度为0、只受重力的运动,故A项正确,B、C、D错误。4.(多选)如图所示,中国女子冰壶队在某次训练中,冰
22、壶以速度v垂直进入三个矩形区域做匀减速直线运动,且刚要离开第三个矩形区域时速度恰好为零,则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是()A.v1v2v3=321B.v1v2v3=321C.t1t2t3=123D.t1t2t3=(3-2)(2-1)1答案BD因为冰壶做匀减速直线运动,且末速度为零,故可以看作反向初速度为零的匀加速直线运动来研究。初速度为零的匀加速直线运动中通过连续三段相等位移的时间之比为1(2-1)(3-2),故所求时间之比为(3-2)(2-1)1,所以C错误,D正确;由初速度为零的匀加速直线运动的规律可知,冰壶依次进入每个区域时的速度之比为321
23、,故A错误,B正确。5.(多选)在一次救灾活动中,一辆救灾汽车由静止开始做匀变速直线运动,刚运动了8 s,由于前方突然有巨石滚下,堵在路中央,所以汽车又紧急刹车,做匀减速直线运动,经4 s停在巨石前。则关于汽车的运动情况,下列说法正确的是()A.加速、减速过程中的加速度大小之比a1a2等于21B.加速、减速过程中的平均速度大小之比v1v2等于11C.加速、减速过程中的位移大小之比x1x2等于21D.加速、减速过程中的加速度大小之比a1a2不等于12答案BC汽车由静止运动8 s,又经4 s停止,加速阶段的末速度与减速阶段的初速度相等,由v=at,知a1t1=a2t2,a1a2=12,故A、D错误
24、;又由v2=2ax知a1x1=a2x2,x1x2=a2a1=21,故C正确;由v=v2知,v1v2=11,故B正确。6.(2020石景山一模)如图所示,一辆汽车装备了具有“全力自动刹车”功能的城市安全系统,系统以50 Hz的频率监视前方的交通状况。当车速v10 m/s且与前方静止的障碍物之间的距离接近安全距离时,如果司机未采取制动措施,系统就会立即启动“全力自动刹车”,避免汽车与障碍物相撞。若该车在不同路况下的“全力自动刹车”的加速度取46 m/s2之间的某一值,则该车应设计的最小安全距离最接近()A.5 mB.12.5 mC.20 mD.30 m答案B最小安全距离,应考虑v=10 m/s时,
25、以a=4 m/s2 的加速度刹车时的位移,由0-v2=-2ax,可得x=12.5 m,故B正确。7.汽车在平直公路上匀速行驶,前方黄灯亮起后,司机立即采取制动措施,使汽车开始做匀减速运动直到停下。开始制动后的第1 s内和第2 s内汽车的位移大小依次为x1=8 m和x2=4 m。求:(1)汽车做匀减速运动的加速度大小;(2)开始制动时汽车的速度大小v0;(3)开始制动后的3 s内汽车的位移大小s。答案(1)4 m/s2(2)10 m/s(3)12.5 m解析(1)根据匀变速直线运动推论x=at2,得:a=4-812 m/s2=-4 m/s2则加速度大小为4 m/s2(2)匀变速直线运动中间时刻的
26、瞬时速度等于该过程的平均速度第1 s末的瞬时速度:v1=x1+x22t=8+42 m/s=6 m/s又v1=v0+at得v0=10 m/s(3)设汽车做匀减速运动的时间为t0,则有0-v0=at0得t0=2.5 sv2B.当物体做匀减速直线运动时,v1v2C.当物体做匀速直线运动时,v1=v2D.当物体做匀速直线运动时,v1v2。如果物体在做匀减速直线运动,同理由图乙可知,v1v2。由以上分析可判知A、B选项正确。如果物体做匀速直线运动,物体的速度始终不变,故v1=v2,C选项正确。10.利用水滴下落可以粗略测量重力加速度g的大小。调节家中水龙头,让水一滴一滴地流出,在水龙头的正下方放一个盘子
27、,调整盘子的高度,使一滴水刚碰到盘子时,恰好有另一滴水刚开始下落,而空中还有一滴水正在下落。测出此时出水口到盘子的高度为h,从第1滴水开始下落到第n滴水刚落至盘中所用时间为t。不计空气阻力,下列说法正确的是()A.每滴水下落时间为2tnB.相邻两滴水开始下落的时间间隔为tnC.第1滴水刚落至盘中时,第2滴水距盘子的距离为h2D.此地重力加速度的大小为h(n+1)22t2答案D第1滴水刚碰到盘子时,第2滴水将h分成时间相等的2份,2份的位移比为13,总高度为h,所以第1滴水刚落至盘中时,第2滴水距盘子的距离为34h,故C错误;第n滴水下落至盘中时,第n+2滴水开始下落,所以从第1滴水开始下落到第
28、n+2滴水开始下落经历时间为t,相邻两滴水开始下落的时间间隔为tn+1,每滴水下落时间为t1=2tn+1,即t1=2tn+1=2hg,解得g=h(n+1)22t2,故A、B错误,D正确。11.如图所示,在公路的十字路口,红灯拦停了一车队,拦停的汽车排成笔直的一列,第一辆汽车的前端刚好与路口停止线相齐,汽车长均为l=4.0 m,前面汽车尾部与相邻汽车的前端相距均为d1=1.0 m。为了安全,相邻汽车的前端与前面汽车尾部相距至少为d2=5.0 m才能开动,若汽车都以a=2.0 m/s2的加速度做匀加速直线运动。绿灯亮起瞬间,第一辆汽车立即开动,求:(1)第六辆汽车前端刚到达停止线时的速度大小v;(2)从绿灯刚亮起到第六辆汽车前端与停止线相齐所需最短时间t。答案(1)10.0 m/s(2)15.0 s解析(1)第六辆汽车前端与停止线的距离s1=5(l+d1)=25.0 m由v2=2as1得v=10.0 m/s(2)设第二辆汽车刚开动时,第一辆汽车至少已行驶的时间为t1则第二辆汽车刚开动时,第一辆至少行驶的距离s2=d2-d1=4.0 m则s2=12at12从绿灯刚亮起到第六辆汽车刚开动至少所需时间t2=5t1=10.0 s第六辆汽车刚开动到前端与停止线相齐所需时间t3=va=5.0 s从绿灯刚亮起到第六辆汽车前端与停止线相齐所需最短时间t=t2+t3=15.0 s
