1、数学伴我们成长一、概念本专题有二个重要概念，即：平方根、算术平方根，这二个概念既有相同点，又有本质区别，很容易混淆，为了更好地区分它们，列表比较如下：平方根算术平方根概念如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根，即：若x2=a，则x叫做a的平方根一个正数a的正的平方根叫做a的算术平方根；即：若x2=a（x0），则x叫做a的算术平方根表示方法a的取值范围a0a0性质正数的平方根有二个，它们是互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。一个正数有一个算术平方根；0的算术平方根等于0；负数没有算术平方根重要结论（）2=a （a0）= (a为全体实数)（）2=a （a0）= (a为全体实数
2、)平方根与算术平方根的联系平方根包含算术平方根；算术平方根是平方根中的一个。平方根和算术平方根都是只有非负数才有。求平方根和算术平方根都是开平方运算，且都是开平方运算的逆运算0的平方根是0，0的算术平方根也是0注意：在本专题中要正确理解 、-的意义（a0）表示非负数a的平方根，正数a的平方根有二个，它们是互为相反数.（a0）表示非负数a的算术平方根，它是一个非负数，即0（a0）-（a0）表示的是非负数a的负的平方根，或非负数a的算术平方根的相反数。、-当a0时，它们都没有意义。二、运算学习平方根，要过好运算关，即：“开平方运算”开平方，求一个非负数a的平方根的运算叫开平方，开平方是一种新的运算
3、，与我们以前学习的加、减、乘、除、乘方一样是一种运算，平方根是开平方的结果开平方与平方互为逆运算。开平方与其它运算不一样，其它运算的结果是唯一的，而开平方的结果可能有二个、一个、不存在。三、注意算术平方根两个非负性的应用任何一个非负数的算术平方根都是非负数，即0（a0）对于二次根式，隐含着一个重要条件：被开方数是一个非负数，即a0当a为非负数时，的最小值为0，即0四、典型例题剖析例1、4的算术平方根是（ ）A.2 B.-2 C.2 D.16剖析：本题考查算术平方根的概念，根据算术平方根的定义可以直接得到：4的算术平方根是2，选A例2、的平方根是剖析本题考查了二个知识，其一：的意义，它表示的是8
4、1的算术平方根，即9；其二：9的平方根，即3，所以本题答案为3。评注：本题很容易错填9，其原因是对的意义不明确，本题有二步计算，一是=9；二是9的平方根是3例3、若2m-4与3m-1是同一个数的两个不同的平方根，则m的值是（ ）A-3 B1 C-3或1 D-1剖析：根据平方根的性质：正数的平方根有两个，并且这两个平方根互为相反数；负数没有平方根；0的平方根是0。所以有2m-4+3m-1=0，得出m=1，本题选B例4、解方程16x2-25=0剖析：要求满足方程未知数x的值，可以象解一元一次方程那样，把方程变形，先求出x2的值。再开方求出x的值。解：由16x2-25=0所以x2=所以x=例5、一块
5、板长3米，宽2米，它的对角线长为米，不用计算器试估计它的对角线长是多少？（结果精确到0.01）剖析：本题是一道估算题，它考查的是平方与开平方的互逆运算关系，借助平方，容易得到，解：设对角线的长为x，由已知得x2=13，91316，因为32=9，42=16，所以3x4又因为3.62=12.96，3.72=13.69所以3.6x3.7又因 3.6052=12.996025，3.6062=13.003236，所以 3.605x3.606精确到百分位，可得对角线的长约为36.1米例6、物体从某一高度自由落下，物体下落的高度s与下落的时间t之间的关系可用公式s=gt2表示，其中g=10米/秒2，若物体下
6、落的高度是180米，那么下落的时间是多少秒？剖析：本题是一道贴近生活的实际问题，只须代入数值计算即可，解：因为s=gt2，所以当s=180米时，得180=10t2，所以t2=36，所以t=6因为时间不能为负，所以t=6，即物体下落的时间为6秒专题练习一1、16的平方根是（ ）A.4 B.-4 C.4 D.82、的算术平方根（ ）A.3 B.3 C. D.3下列各式成立的是（ ）A 3 B=81 C=-3 D =34、一个数a有两个不同的平方根为2m+1，m-7，则这个数a是5、解方程（x-1）2=326、将一块面积为30m2的正方形铁皮的四个角各剪去一个面积为2m2的小正方形，剩下的部分刚好能
7、作一个无盖的长方体运输箱，求此运输箱底面的边长（可借助于计算器，结果精确到0.01m）专题二、立方根一、概念立方根与平方根类似，为了更好的学习，列表比较之立方根平方根概念如果一个数x的立方等于a，那么这个数x叫做a的立方根，即：若x3=a，则x叫做a的立方根如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根，即：若x2=a，则x叫做a的平方根表示方法a的取值范围a为全体实数a0性质正数的立方根有一个，是正的；负数的立方根有一个，是负的；0的立方根是0；正数的平方根有二个，它们是互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。重要结论 （a全体实数） （a全体实数）= （a全体实数）（）2=a （
8、a0）二、运算开立方，求一个数a的立方根的运算叫开立方，开立方和开平方统称为开方，加、减；乘、除；乘方、开方称为实数运算中的三级运算开立方与立方互为逆运算。开立方的结果是唯一的，任何一个实数都有唯一的一个立方根三、典型例题剖析例1、 -的立方根是（ ）A B- C D不存在剖析：根据立方根的概念直接得到为 -，选B例2、下列说法中正确的是（ ）3的立方根是27； 的立方根是；64的立方根是4； 0的立方根是0A B C D剖析：本题考查的是立方根的概念，对照概念可知，只有是正确的，所以选D例3、下列说法中错误的是（ ）A负数没有立方根 B1的立方根是1C的平方根是 D立方根等于它本身的数有3个
9、剖析：本题考查的是立方根与平方根性质的区别，要认真区分，否则很容易出错，显然A是错误的，因为任何实数都有立方根，所以选A例4、已知x两个不同的平方根是2a+3和1-3a，y的立方根为a，求x+y的值剖析：根据平方根的性质有，2a+3+1-3a=0，所以a=4，x的平方根就是：2a+3=11，1-3a=-11于是x=121；根据立方根的性质，y=a3=64，所以，x+y=185例5、已知a2=4，b3=27，求ab的值剖析：本题包含了分类讨论思想。解：由a2=4得，a=2；由b3=27得b=3所以，当a=2，b=3时，ab=23=27当a= -2，b=3进，ab=（-2）3= -27例6、将半径
10、为12cm的铁球熔化，重新铸造出8个半径相同的小铁球，不计损耗，小铁球的半径是多少厘米？（球的体积公式为V=R3）剖析：本题是一个帖近生活的实际问题，根据熔化前后，总体积相等，列方程求解解：设小铁球的半径为x。根据题意得：123=8x3解得，x3=216所以，每个小球的半径为x=6cm专项练习二1、-8的立方根是（ ）A.不存在 B.2 C.-2 D.22下列说法中正确的是（ ）A1的立方根是1 B负数没有立方根C2的立方根是 D任何实数都有一个立方根3、一个数的立方根等于它本身，这个数是4、用计算器计算：_（保留4个有效数字）5、8（x+1）3-27=06、王老师有棱长为40.25cm的两个正方体纸箱装满了书，他现在把这些书都放入一个新制的木箱中，结果正好放下，那么这个木箱的棱长大约是多少？（结果精确到00.01cm）参考答案专项练习一、C；A；D；25；x=9或x=72.65m专项练习二1、C2、D3、1或-1或04、6.403 12.615、6、50.71cm
