1、空间向量基本定理的应用(习题课)A级基础巩固1若，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A相交B平行C在平面内 D平行或在平面内解析：选D，共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内2.如图，三棱锥SABC中，SA底面ABC，ABBC，ABBC2，SA2，则SC与AB所成角的大小为()A90 B60C45 D30解析：选B因为SA底面ABC，所以SAAC，SAAB，所以0，又ABBC，ABBC2，所以BAC45，AC2.因此|cos 45224，所以4，又SA2，所以SC4，因此cos，所以SC与AB所成角的大小为60.3在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则直线A
2、B和CE所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选B设AB1，则由，得，又|，故cos，则直线AB和CE所成角的余弦值为.4在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，AA1ABACBC1，M是B1C1的中点，则AM()A. B.C. D.解析：选C如图所示，()，故|2，则AM.5.如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是()A30 B45C60 D90解析：选D不妨设棱长为2，则，cos，0，故AB1与BM所成的角为90.6已知a，b是异面直线，点A，Ba，点C，Db，ACb，BDb，且AB2，CD1，则a
3、，b所成的角是_解析：，()|21，cos，异面直线a，b所成角是60.答案：607.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，F为BD的中点，G在棱CD上，且CGCD，H为C1G的中点，则FH_解析：设a，b，c，则abbcca0，|a|2a21，|b|2b21，|c|2c21.(ab)bc(ab)bcabc，|2a2b2c2，FH.答案：8在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成角的大小是_解析：因为点E，F分别是棱AB，BB1的中点，所以()，所以()()2，设所求异面直线的夹角为，则
4、cos ，所以60.答案：609.已知平面平面，且l，在l上有两点A，B，线段AC，线段BD，并且ACl，BDl，AB6，BD24，AC8，求线段CD的长解：平面平面，且l，在l上有两点A，B，线段AC，线段BD，ACl，BDl，AB6，BD24，AC8，2()22226436576676，CD26.10已知空间四边形OABC的各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值解：如图所示，设a，b，c，|a|b|c|1，易知AOBBOCAOC，则abbcca.()(ab)，cb，(ab)acbcabb2，又|，cos，.异面直线OE与BF所成角的余弦值是.
5、B级综合运用11(多选)在四面体PABC中，以下说法正确的有()A若，则可知3B若Q为ABC的重心，则C若0，0，则0D若四面体PABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则|1解析：选ABC对于A，32，22，2，3，即3，故A正确；对于B，若Q为ABC的重心，则0，33，3，即，故B正确；对于C，0，0，0，()0，0，()0，0，故C正确；对于D，()()，|，|2，|，故D错误，故选A、B、C.12已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若xyz(x，y，zR)，则“x2，y3，z2”是“P，A，B，C四点共面”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不
6、必要条件解析：选B当x2，y3，z2时，即232.则23()2()，即32，根据共面向量定理知，P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理，设mn(m，nR)，即m()n()，即(1mn)mn，即x1mn，ym，zn，这组数显然不止2，3，2.故“x2，y3，z2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件13.如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB，AA11，则cos，_；cos，_解析：易知AB1，B1C1，AC1.()01，所以cos，()()20|cos，2010，所以cos，0.答案：014.如图，在三棱锥PABC中，点G为ABC的重心，点M在PG
7、上，且PM3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若m，n，t，求证：为定值，并求出该定值解：连接AG并延长交BC于点H，由题意，可令，为空间的一个基底，()()()().连接DM.因为点D，E，F，M共面，所以存在实数，使得，即()()，所以(1)(1)mPAnt.由空间向量基本定理，知(1)m，n，t，所以4(1)444，为定值C级拓展探究15在四棱锥EABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC底面ABCD，F为BE的中点(1)求证：DE平面ACF；(2)求证：BDAE；(3)若ABCE，在线段EO上是否存在点G，使CG平面BDE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：设a，b，c，则|a|b|，abbcca0.(1)证明：依题意得cb，ab，ac，设xy(x，yR)，则cbx(ab)yaxbyc，因此解得从而，共面，又直线DE不在平面ACF内，因此DE平面ACF.(2)证明：依题意得ba，cab，则(ba)(cab)b2a20，因此，从而BDAE.(3)由ABCE，设|a|b|2，则|c|，假设在线段EO上存在点G，使CG平面BDE，由O，G，E三点共线，设(1)ab(1)c(01)，由CG平面BDE知CGDE，而cb，因此(cb)(1)c2b2240，解得，即点G是线段EO的中点时，满足题意，此时.
