1、单元质检八立体几何(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.设l,m,n表示不同的直线,表示不同的平面,给出下列四个命题:若ml,且m,则l;若,m,n,则mn;若,则;若mn,m,n,则.则假命题的个数为()A.4B.3C.2D.12.(2021浙江杭州二模)某四棱锥的三视图(图中每个小方格的边长为1)如图所示,则该四棱锥的体积为()A.4B.83C.43D.13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱B1C1,C1D1的中点,下列说法:直线BE与直线DF相交;直线BE与直线DF是异面直线;BDEF;直线BD与直线EF是异
2、面直线.其中正确的说法的序号为()A.B.C.D.4.九章算术是我国古代的数学名著,书中提到一种名为“刍甍”的五面体,如图,四边形ABCD是矩形,棱EFAB,AB=4,EF=2,ADE和BCF都是边长为2的等边三角形,则这个几何体的体积是()A.203B.83+23C.1023D.8235.(2021全国)已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且ACBC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为()A.212B.312C.24D.346.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N是棱BC的中点,点M在四边形DCC1D1内部运动(包括边界).设直线A1D1与直线MN所成的角为,则当M
3、N平面BB1D1D时,tan 的取值范围为()A.1,2B.1,5C.2,3D.3,5二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M,则四棱锥M-EFGH的体积为.8.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,CEF=90,则球O的体积为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB平
4、面AEC;(2)设二面角D-AE-C为60,AP=1,AD=3,求三棱锥E-ACD的体积.10.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD=5.(1)求证:PD平面PAB;(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM平面PCD?若存在,求AMAP的值;若不存在,说明理由.11.(15分)如图,ADBC,且AD=2BC,ADCD,EGAD,且EG=AD,CDFG,且CD=2FG,DG平面ABCD,DA=DC=DG=2.(1)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:MN平面CD
5、E;(2)求二面角E-BC-F的正弦值;(3)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60,求线段DP的长.答案：1.B解析若ml,且m,则l是正确的,垂直于同一个平面的直线互相平行;若,m,n,则mn是错误的,当m和n平行时,也会满足前面的条件;若,则是错误的,垂直于同一个平面的两个平面可以是相交的;若mn,m,n,则是错误的,平面和可以是任意的夹角.故选B.2.C解析该四棱锥的直观图如图所示,其一条侧棱垂直于底面且底面为正方形,其中高为2,底面正方形对角线的长度为2,则PA=2,AC=2,正方形ABCD的面积为2,所以该四棱锥的体积V=1322=43.3.A解析连接B1D1.
6、E,F分别为棱B1C1,C1D1的中点,EF12B1D1.又B1D1BD,EF12BD.EF与BD确定一个平面,四边形DBEF为梯形.BE与DF共面,且相交.故正确.故选A.4.C解析过E作EG平面ABCD,垂足为G,过F作FH平面ABCD,垂足为H,过G作PQAD,交AB于Q,交CD于P,过H作MNBC,交AB于N,交CD于M,如图所示.四边形ABCD是矩形,棱EFAB,AB=4,EF=2,ADE和BCF都是边长为2的等边三角形,四边形PMNQ是边长为2的正方形,EG=(3)2-12=2,这个几何体的体积V=VE-AQPD+VEPQ
7、-FMN+VF-NBCM=131222+12222=423+22=1023.5.A解析ACBC,AC=BC=1,设O1为AB的中点,连接CO1,OO1,则CO1=22,由题意OO1平面ABC,在RtOO1C中,OO1=OC2-CO12=22,则三棱锥O-ABC的体积为13121122=212.6.B解析取DC,D1C1的中点分别为P,Q,连接PQ,PN,QN,易证得平面PQN平面BB1D1D,故当点M在线段PQ上运动时,MN平面BB1D1D.因为A1D1BC,所以直线BC与直线MN所成的角即为直线A1D1与直线MN所成的角,所以MNC=.连接MC,显然NCMC.令正方体的棱长为2,PM=x,x
8、0,2,则MC=x2+1,又CN=1,所以tan=x2+1,所以tan1,5.故选B.7.112解析由题意可知,四棱锥M-EFGH的底面EFGH为正方形且边长为22,其高为12,所以V四棱锥M-EFGH=1322212=112.8.6解析设PA=PB=PC=2x.E,F分别为PA,AB的中点,EFPB,且EF=12PB=x.ABC为边长为2的等边三角形,CF=3.又CEF=90,CE=3-x2,AE=12PA=x.在AEC中,由余弦定理可知cosEAC=x2+4-(3-x2)22x.作PDAC于点D,PA=PC,D为AC的中点,cosEAC=ADPA=12x.x2+4-3+x24x=12x.2
9、x2+1=2.x2=12,即x=22.PA=PB=PC=2.又AB=BC=AC=2,PA,PB,PC两两垂直.则球O的半径R满足2R=2+2+2=6.R=62.V=43R3=43668=6.9.(1)证明如图,连接BD交AC于点O,连接EO.因为底面ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又因为E为PD的中点,所以EOPB.因为EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)解因为PA平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.如图,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz,则P(0,0,1),D(0,3,0),
10、E0,32,12,AE=0,32,12.设B(m,0,0)(m0),则C(m,3,0),AC=(m,3,0).设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量,则n1AC=0,n1AE=0,即mx+3y=0,32y+12z=0,可取n1=3m,-1,3.由题意得n2=(1,0,0)为平面DAE的一个法向量.由题设|cos|=12,即33+4m2=12,解得m=32.因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为12.三棱锥E-ACD的体积V=131233212=38.10.(1)证明因为平面PAD平面ABCD,且交线为AD,ABAD,AB平面ABCD,所以AB平面PAD.所以ABPD.又因为PAPD
11、,ABPA=A,所以PD平面PAB.(2)解如图,取AD的中点O,连接PO,CO.因为PA=PD,所以POAD.又因为PO平面PAD,平面PAD平面ABCD,且交线为AD,所以PO平面ABCD.因为CO平面ABCD,所以POCO.因为AC=CD,所以COAD.如图,建立空间直角坐标系Oxyz.由题意,得A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则nPD=0,nPC=0,即-y-z=0,2x-z=0.令z=2,则x=1,y=-2.所以可取n=(1,-2,2).因为PB=(1,1,-1),所以cos=nPB
12、|n|PB|=-33.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为33.(3)解设M是棱PA上一点,则存在0,1使得AM=AP.因此点M(0,1-,),BM=(-1,-,).因为BM平面PCD,所以BM平面PCD当且仅当BMn=0,即(-1,-,)(1,-2,2)=0.解得=14.所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD,此时AMAP=14.11.解依题意,以D为原点,分别以DA,DC,DG的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系(如图),可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M0,32,1,N
13、(1,0,2).(1)证明:依题意DC=(0,2,0),DE=(2,0,2).设n0=(x,y,z)为平面CDE的法向量,则n0DC=0,n0DE=0,即2y=0,2x+2z=0,不妨令z=-1,可得n0=(1,0,-1).又MN=1,-32,1,可得MNn0=0.又因为直线MN平面CDE,所以MN平面CDE.(2)依题意,可得BC=(-1,0,0),BE=(1,-2,2),CF=(0,-1,2).设n=(x,y,z)为平面BCE的法向量,则nBC=0,nBE=0,即-x=0,x-2y+2z=0,不妨令z=1,可得n=(0,1,1).设m=(x,y,z)为平面BCF的法向量,则mBC=0,mCF=0,即-x=0,-y+2z=0,不妨令z=1,可得m=(0,2,1).因此有cos=mn|m|n|=31010,于是sin=1010.所以,二面角E-BC-F的正弦值为1010.(3)设线段DP的长为h(h0,2),则点P的坐标为(0,0,h),可得BP=(-1,-2,h).易知,DC=(0,2,0)为平面ADGE的一个法向量,故|cos|=|BPDC|BP|DC|=2h2+5.由题意,可得2h2+5=sin60=32,解得h=330,2.所以,线段DP的长为33.
