1、3函数的单调性1理解函数单调性的概念及其几何意义(难点)2掌握用定义证明函数单调性的步骤(重点)3会求函数的单调区间，理解函数单调性的简单应用(易混点)教材整理 1函数在区间上增加(减少)的定义阅读教材P36P37第二自然段结束，完成下列问题.在函数f(x)定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2A，当x1x2时都有f(x1)f(x2)f(x)在区间A上是减少的(递减的)如图231，气温关于时间t的函数，记为f(t)，观察这个函数的图像，说出气温在哪些时间段内是递增的或是递减的？图231【解】在时间段及内气温随时间t是递减的，在时间段内气温随时间t是递增的教材整理 2单调区间、单调性
2、和单调函数的概念阅读教材P37第三自然段开始P38“函数f(x)3x2是R上的增函数”的有关内容，完成下列问题1函数的单调区间如果yf(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的2函数的单调性如果函数yf(x)在定义域的某个子集上是增加的或减少的，那么就称函数yf(x)在这个子集上具有单调性3单调函数如果函数yf(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在区间A上存在x1，x2，当x1x2时，有f(x1)f
3、(x2)，则f(x)在区间A上是增加的()(2)若函数yf(x)在区间A上是减少的，当x1，x2A，且f(x1)f(x2)时，有x1x2.()(3)函数f(x)在区间(，0)，(0，)上都是减少的，则f(x)为减函数()【答案】(1)(2)(3)教材整理 3函数最大值、最小值的概念阅读教材P38第二自然段及左侧“思考”P39“练习”以上内容，完成下列问题1函数最大值的概念一般地，对于函数yf(x)，其定义域为D，如果存在x0D，f(x0)M，使得对于任意的xD，都有f(x)M，那么，我们称M是函数yf(x)的最大值，即当xx0时，f(x0)是函数yf(x)的最大值，记作ymaxf(x0)2函数
4、最小值的概念一般地，对于函数yf(x)，其定义域为D，如果存在x0D，f(x0)M，使得对于任意的xD，都有f(x)M，那么，我们称M是函数yf(x)的最小值，即当xx0时，f(x0)是函数yf(x)的最小值，记作yminf(x0)函数f(x)在上的图像如图232所示，则此函数的最小值、最大值分别是()图232Af(2)，0B0,2Cf(2)，2 Df(2)，2【解析】由函数最大、最小值概念知，C正确【答案】C用定义判断或证明函数的单调性证明函数f(x)x在(0,1)上为减函数【精彩点拨】在(0,1)上任取x1，x2且x1x2，只需证明f(x1)f(x2)【尝试解答】证明：设0x1x21，则f
5、(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2).已知0x1x21，则x1x210，x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)x在(0,1)上为减函数用定义判断或证明单调性的步骤：,(1)设元：在指定区间内任取x1，x2且x1x2.,(2)作差变形：计算f(x1)f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子(几个因式的积或几个完全平方式的和).,(3)定号：确定f(x1)f(x2)的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论.,(4)判断：根据f(x1)f(x2)的符号及定义判断函数的单调性.1本例中，“函数f(x)x”不变，讨论f(x)在(0，)
6、上的单调性【解】设0x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2).当0x1x21时，x1x20，10，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)因此f(x)x在(0,1上是减函数当1x1x2时，x1x20，10，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)因此f(x)x在(1，)上是增函数综上所述，函数f(x)在(0,1上为减函数，在(1，)上为增函数.利用图像求函数的单调区间画出函数yx22|x|3的图像，并指出函数的单调区间. 【导学号：04100024】【精彩点拨】只需画出函数的图像，看曲线在哪些区间是上升的，在哪些区间是下降的，即可确定函数的单调区间【尝试解答】yx22|
7、x|3函数图像如图所示函数在(，1和上是增函数；函数在和和，单调减区间是和2已知f(x)|x2x12|，求f(x)的单调区间【解】f(x)|x2x12|.如图，作出函数的简图观察其图像，知函数f(x)的单调递增区间为和和.函数最值与单调性的关系探究 1已知函数yf(x)在定义域上单调，如何求函数的最值？【提示】如果函数yf(x)在定义域上单调递增，则f(x)maxf(b)，f(x)minf(a)；如果函数yf(x)在定义域上单调递减，则f(x)maxf(a)，f(x)minf(b)探究 2已知函数yf(x)的定义域是，acb.如果函数f(x)在区间，上单调性相反，函数的最值在何处取得？【提示】
8、当x时，f(x)是单调增函数；当x时，f(x)是单调减函数则f(x)在xc时取得最大值反之，当x时，f(x)是单调减函数；当x时，f(x)是单调增函数，则f(x)在xc时取得最小值求函数f(x)在区间上的最大值与最小值【精彩点拨】先用定义判断函数f(x)在区间上的单调性【尝试解答】任意取x1，x2且x1x2，则f(x1)，f(x2)，f(x2)f(x1).2x1x25，x1x20，x210，x110.f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)f(x)在区间上是减函数对任意的x均有f(5)f(x)f(2)，f(x)maxf(2)2，f(x)minf(5).运用函数单调性求最值是求解函数最值问题
9、的重要方法，特别是当函数图像不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法.3已知函数f(x)，x，求函数的最大值和最小值【解】设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2).由0x1x22，得x2x10，(x11)(x21)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在区间上是增加的因此，函数f(x)在区间的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f(0)2，最大值f(2).1. 根据函数的图像，在定义域上是增函数的是()【解析】增函数的图像是上升的，D中的函数在定义域上是上升的，故为增函数【答案】D2. 函数yx1在区间上的最大值是()AB1
10、C.D3【解析】函数yx1在区间上是递减的，所以当x时，函数取得最大值ymax1.【答案】C3.若函数f(x)是上的减函数，则f(1)_f(2)(填“”“”“”)【解析】f(x)在上是减函数，且12，f(1)f(2)【答案】4. 函数f(x)x2的单调增区间为_，单调减区间为_【解析】由f(x)x2的图像(图略)可知，单调增区间为0，)，单调减区间为(，0)【答案】0，)(，0)5. 求证：函数f(x)1在区间(，0)上是单调增函数. 【导学号：04100025】【证明】设x1，x2是区间(，0)内的任意两个值，且x1x2，则x1x20，x1x20，因为f(x1)f(x2)，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故f(x)1在区间(，0)上是单调增函数
