1、核心必知1幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量，即yx，这样的函数称为幂函数提醒在中学时段只要求关注1，1,2,3，共5种幂函数的性质2函数的奇偶性(1)奇函数：一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数，在奇函数f(x)中，f(x)和f(x)的绝对值相等，符号相反，即f(x)f(x)；反之，满足f(x)f(x)的函数yf(x)一定是奇函数(2)偶函数：一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数，在偶函数f(x)中，f(x)和f(x)的值相等，即f(x)f(x)；反之，满足f(x)f(x)的函数yf(x)一定是偶函数 (3)奇偶性：当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性
2、问题思考1具有奇偶性的函数其定义域有何特点？提示：具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称，由奇函数的定义可知f(x)f(x)，故变量x，x均在定义域中，同理，对于偶函数，由f(x)f(x)可知，x，x也均在定义域内2既是奇函数，又是偶函数的函数不存在，对吗？提示：不对如函数y0(xR)，其图像既关于原点对称，又关于y轴对称，所以函数y0(xR)既是奇函数又是偶函数3定义在R上的奇函数f(x)，f(0)的值是多少？提示：f(0)0.讲一讲1已知幂函数f(x)(m2m1)xm22m3，当x(0，)时为减函数(1)求函数yf(x)的解析式；(2)用描点法作出f(x)的图像；(3)给出yf(x)的单调
3、区间及其值域，并判断其奇偶性尝试解答(1)f(x)(m2m1)xm22m3为幂函数，m2m11，解之得m1或m2.当m1时，f(x)x01(x0)，易知不符合题意当m2时f(x)x3(x0)，易知在(0，)上为减函数f(x)x3(x0) (2)列表：作图：(3)由(2)可知f(x)的单调减区间为(0，)及(，0)，f(x)的值域为(，0)(0，)，f(x)为奇函数(1)幂函数yx要满足三个特征：幂x的系数为1；底数只能是自变量x，指数是常数；项数只有一项只有满足这三个特征，才是幂函数(2)幂函数的图像可用描点法得到，其性质可由图像得到练一练1(1)若函数f(x)既是幂函数又是反比例函数，则f(
4、x) _；(2)已知幂函数yf(x)的图像过点(2,4)，则f(1)_.解析：(1)f(x)为反比例函数，设f(x)kx1(k0)又f(x)为幂函数，k1，f(x)x1.(2)设yx，把点(2,4)代入得42，2，解析式为yx2，f(1)(1)21.答案：(1)x1(2)1讲一讲2判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x3x；(2)f(x)(x1)；(3)f(x)；(4)f(x)尝试解答(1)函数的定义域为R，且f(x)(x)3(x)x3xf(x)，f(x)为奇函数；(2)定义域为x|x1或x1，定义域不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数；(3)定义域为2,2，任取x2,2，则x2,2f(x)0
5、f(x)f(x)，f(x)既是奇函数又是偶函数；(4)法一：可知函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，设x0，则x0，f(x)(x)21f(x)，设x0，f(x)(x)21x21f(x)，f(x)为奇函数法二：作出函数f(x)的图像，如图，由图像可知，f(x)的图像关于原点对称，f(x)为奇函数判断函数的奇偶性常用的方法：(1)定义法：若定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若关于原点对称，则进一步判断f(x)与f(x)的关系，注意当解析式中含有参数时，要对参数进行分类讨论(2)图像法：若函数图像关于原点对称，则此函数为奇函数；若函数图像关于y轴对称，则此函数为偶函数练一练2判断
6、下列函数是奇函数还是偶函数(1)f(x)；(2)f(x)x32x；(3)f(x)|x1|x1|；(4)f(x)解：(1)函数的定义域为(，)，关于原点对称又f(x)f(x)，f(x)是偶函数(2)定义域为R，关于原点对称，又f(x)(x)32(x)x32x(x32x)f(x)，函数f(x)是奇函数(3)函数的定义域为(，)，f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)，f(x)|x1|x1|是奇函数(4)法一：可知函数f(x)的定义域关于原点对称当x0，f(x)(x)22(x)3x22x3f(x)；当x0时，x0时此函数为增函数，又该函数为奇函数4已知对于任意实数x，函数f(x
7、)f(x)，若方程f(x)0有2 009个实数解，则这2 009个实数解之和为_解析：由奇函数的图像的对称性可知，这些解之和为0.答案：05函数yf(x)是偶函数，且在(，0上为增函数，则f与f(1)的大小关系为_解析：1，且函数yf(x)在(，0上为增函数，f(1)f.又yf(x)是偶函数，f(1)f(1)f(1)f.答案：f(1)f6若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，求函数f(x)的解析式解：f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)f(x)当x0时，x0，f(x)f(x)x(1x)当x0时，f(0)f(0)，即f(0)f(0)，f(0)0.函数f(x)的解析式为f
8、(x)一、选择题1下列幂函数中为偶函数的是()Ayx1ByxCyx3 Dyx2解析：选D由偶函数的性质f(x)f(x)知，D正确2若f(x)ax2bxc(a0)是偶函数，则g(x)ax3bx2cx是()A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数解析：选A由f(x)ax2bxc(a0)为偶函数得b0，g(x)ax3cx，(a0)，其定义域为R，且g(x)a(x)3c(x)g(x)，g(x)为奇函数3已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A作出示意图可知：f(2x1)f()2x1，即x.4已知定义域为R的函数f(x)在(
9、8，)上为减函数，且函数yf(x8)为偶函数，则()Af(6)f(7) Bf(6)f(9)Cf(7)f(9) Df(7)f(10)解析：选Dyf(x8)为偶函数，f(x8)f(x8)，yf(x)的对称轴为x8.f(x)在(8，)为减函数，由对称性知f(x)在(，8)上为增函数，故由单调性及对称轴结合图像知f(7)f(10)二、填空题5若点在幂函数yf(x)的图像上，则f_.解析：设f(x)x(为常数)，则221，1，f(x)x1，f14.答案：46已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)x2x2，则f(x)_，g(x)_.解析：f(x)g(x)x2x2，f(x)g(x)(x)
10、2(x)2.又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，f(x)g(x)x2x2. 由解得f(x)x22，g(x)x.答案：x22x7如果y是奇函数，则f(x)_.解析：设g(x)当x0，则 g(x)2(x)3(2x3)g(x)是奇函数，g(x)g(x)，当x0时，g(x)2x3，即f(x)2x3.答案：2x38已知函数yf(x)是偶函数，yg(x)是奇函数，它们的定义域为，且它们在x0，上的图像如图所示，则不等式0的解集是_解析：作出函数yf(x)与yg(x)在，上的图像由图像知，不等式0的解集为.答案：三、解答题9研究函数yx2的奇偶性、单调性，并作出函数的图像解：yx2，函数的定义域为x|x0
11、取任意的x(x0)，则x0.又f(x)f(x)，yx2在定义域内是偶函数当任意x1，x2(0，)，且x1x2时，f(x1)f(x2)，0x1x2，xx0，x1x20，x2x10.f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2)，即f(x)x2在(0，)上为减函数由偶函数的性质知f(x)x2在(，0)上为增函数通过描点作图可得yx2(x0)的图像如上图所示10已知函数f(x)x，且f(1)2.(1)求m; (2)判断f(x)的奇偶性；(3)函数f(x)在(1，)上是增函数还是减函数？并证明解：(1)因为f(1)2，所以1m2，即m1.(2)由(1)知f(x)x，显然函数定义域为(，0)(0，)，关于
12、原点对称，又f(x)(x)x(x)f(x)，所以，函数f(x)x是奇函数(3)函数f(x)在(1，)上是增函数，设x1、x2是(1，)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1(x2)x1x2()x1x2(x1x2)，当1x1x2时，x1x21，x1x210，x1x20，从而f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以函数f(x)x在(1，)上为增函数1.函数及其表示(1)函数的概念：函数是建立在两个非空数集之间的一种特殊的对应关系，即是一种特殊的映射函数具有三个要素，即定义域、对应法则和值域，三者缺一不可其中最重要的是定义域和对应法则，值域由定义域和对应法则确定研究函数时
13、应注意定义域优先的原则，其题型主要有以下几类：已知f(x)的函数表达式，求定义域；已知f(x)的定义域，求f(x)的定义域，其实质是由(x)的取值范围，求出x的取值范围；已知f(x)的定义域，求f(x)的定义域，其实质是由x的取值范围，求(x)的取值范围(2)相同函数：判断两个函数是否相同，应抓住两点：定义域是否相同；对应法则是否相同同时应注意，解析式可以化简(3)映射的概念：映射是建立在两个非空集合之间的一种特殊的对应关系，这种对应满足存在性与唯一性判断给出的对应f：AB是否为映射，可从给出的对应是否满足(i)A中的不同元素可以有相同的像，即允许多对一，但不允许一对多；(ii)B中的元素可以
14、无原像，即B中可以有“空元”特殊的映射：一一映射：如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任一元素，在集合A中都有且只有一个原像，这时这两个集合的元素之间存在一一对应的关系，并把这个映射叫作从集合A到集合B的一一映射函数是一种特殊的映射，它是数集到数集的映射2函数的基本性质函数的奇偶性、单调性与最值是函数最重要的性质，在每年的高考中均有体现常见问题有判断函数的奇偶性、单调性，求单调区间，求函数的最值或求某变量的取值范围、奇偶性与单调性的应用等(1)函数的奇偶性：具有奇偶性的函数的特点：a对称性：奇(偶)函数的定义域关于原点对称；b整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x
15、都必须成立；c可逆性：f(x)f(x)f(x)是偶函数；f(x)f(x)f(x)是奇函数；d图像特征：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称(2)函数单调性：单调性的判定：判断函数的单调性一般有两种方法：一是定义法；二是图像法其中定义法具有严格的推理性，在证明单调性时通常使用此法，其基本思路是：a设元：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1x2；b作差：即作f(x2)f(x1)(或f(x1)f(x2)；c变形：即通过通分、配方、因式分解等手段，对差式向有利于判断符号的方向变形；d定号：根据给定的区间和x2x1的符号，确定差f(x2)f(x1)(或f(x1)f(x2)的符号，当
16、符号不确定时，可以进行分类讨论；e结论：根据定义得出结论求函数的单调区间：求函数的单调区间通常可采用：a利用已知函数的单调性；b定义法：先求定义域，再利用单调性定义；c图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性写出它的单调区间函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制，例如函数yx1在(，0)和(0，)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(，0)(0，)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(，0)和(0，)，不能用“”3二次函数的图像与性质(1)对于任何二次函数yax2bxc(a0)都可以通过配方化为ya2a(xh)2k，其中h，
17、k.熟练掌握“配方法”是掌握二次函数性质的关键(2)研究二次函数时应注意二次函数yax2bxc(a0)中系数a，b，c对函数图像及性质的影响：二次项系数a的正负决定着函数图像的开口方向、开口大小和单调性一次项系数b是否为0决定着函数的奇偶性，当b0时，函数为偶函数；当b0时，函数为非奇非偶函数c是否为0决定着函数图像是否经过原点a和b共同决定着函数的对称轴，a，b，c共同决定着函数的顶点位置典例1求下列函数的解析式：(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x)4x1；(2)f(x1)2x25x2；(3)f(x)2f(x)x22x.解(1)设f(x)axb(a0)f(f(x)4x1，f(axb)
18、4x1.a(axb)ba2xabb4x1，解得或f(x)2x或f(x)2x1.(2)令x1t，则xt1.f(t)2(t1)25(t1)22t2t1.f(x)2x2x1.(3)由题意知f(x)2f(x)x22x.将x换成x，得f(x)2f(x)x22x.联立消去f(x)，得3f(x)x26x，即f(x)x22x.借题发挥求函数的解析式常见的类型及求法：(1)待定系数法若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(2)换元法已知函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意自变量的取值范围(3)消元法若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f(x
19、)、f等，可根据已知等式构造其他等式组成方程组，通过消元法解方程组求出f(x)(4)求实际问题中的函数解析式，需引入合适的变量，根据数学的有关知识建立函数解析式，但应注意自变量的实际取值范围(5)利用函数的奇偶性对点训练1解答下列各题：(1)已知f(x)是定义在(，)上的奇函数，当x0时，f(x)x2x1，求f(x)的解析式；(2)若f(x)x22x，g(x)x21，求f(g(x)的解析式；(3)已知f(x)2f3x，求f(x)的解析式；(4)若f(x)f(x)x10，求函数的解析式f(x)解：(1)f(x)是定义在(，)上的奇函数，f(0)0.当x0时，x0，f(x)(x)2x1x2x1，即
20、f(x)x2x1，x0时，f(x)x2x1.f(x)(2)f(g(x)(x21)22(x21)x41.(3)由f(x)2f()3x，知f()2f(x).由上面两式联立消去f，可得f(x)x.(4)由f(x)f(x)x10，知f(x)f(x)(x)10，联立两式消去f(x)，得f(x)f(x)xx10x10，所以f(x).典例2求下列函数的值域：(1)y；(2)yx42x22；(3)yx.解(1)y1.x211，01.110.故函数的值域为(1,0(2)函数的定义域是R，设x2t，则t0.则yt22t2(t1)23，t0.y(t1)23在t0上是单调递增的，当t0时，y取最小值2.函数yx42x
21、22的最小值为2.y2，故值域为2，)(3)法一：由函数的解析式可知，12x0，x.函数yx，y在上均单调递增，函数yx在上均单调递增，y，原函数的值域为.法二：设t，则x(t0)，yt(t1)21(t0)，可知函数y(t1)21在0，)上单调递减，y(01)21，原函数的值域为.借题发挥求函数的值域视解析式特点常用以下方法：(1)直接法即由函数的定义域和对应法则直接导出值域(2)图像法即利用函数的图像求解(3)配方法：对于二次函数yax2bxc(a0)，通常先经过配方化为顶点式ya(xh)2k，借助于二次函数的单调性或直接根据其图像求解(4)换元法形如yaxb(ac0)的函数，可通过换元转化
22、为二次函数在特定区间上的值域问题，如本题(3)的解法二(5)利用函数的单调性根据函数的单调性及定义域求函数的最值，从而确定值域但须注意的是，求函数的值域必须考察函数的定义域，注意定义域对值域的约束作用，这一点往往易被忽略对点训练2求下列函数的值域(1)yx24x6，x1,5；(2)yx.解：(1)配方得y(x2)22.x1,5，由图知2y11，即函数的值域为2,11(2)令u，则u0，x，yu(u1)2.函数的值域为.典例3定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x20，)(x1x2)，有0，则()Af(3)f(2)f(1)Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(1
23、)f(2)解析对任意x1x20，)(x1x2)，有0，即x2x1与f(x2)f(x1)异号，因此函数f(x)在0，上是减函数，又f(x)在R上是偶函数，故f(2)f(2)，由于3210，故有f(3)f(2)f(1)答案A借题发挥若将上题中的条件“0”改为“0”，则结果又如何？对点训练3设函数f(x)是奇函数(a，b，c都是整数)，且f(1)2，f(2)3，f(x)在1，)上是增加的(1)求a，b，c的值；(2)当x0时，f(x)的单调性如何？证明你的结论解：(1)由f(1)2，得2.由f(2)3，得3.f(x)为奇函数，故f(x)的定义域关于原点对称，又f(x)的定义域为(显然b0，否则f(x
24、)为偶函数)，0，即c0.于是得f(x)x，且2，3.3.0b.又bZ，b1，a1.故ab1，c0，符合f(x)在1，)上是增加的；(2)f(x)在(，1上是增函数，在1,0)上是减函数证明如下：由(1)知f(x)x，设x1x20，而f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)(x1x21)当1x1x20时，显然x1x20,0x1x21，x1x210.f(x1)f(x2)f(x)在1,0)上是减函数当x1x21时，显然x1x21，x1x210，f(x1)f(x2)0，f(x1)bc，且abc0，则它的图像是()解析：选D因为abc，且abc0，所以a0，c0时， f(x) x2，则f(1)()A2
25、 B1 C0 D2解析：选D由f(x)为奇函数知f(1)f(1)2.7mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值设f(x)minx2,10x(x0)，则f(x)的最大值为()A4 B5 C6 D7解析：选C(x2)(10x)2(x4)，f(x)当0x4时，f(0)f(x)f(4)，即2f(x)6；当x4时，f(x)0)，x1，2或2.9函数yf(x)在(0,2)上是减函数，且关于x的函数yf(x2)是偶函数，那么()Aff(3)fBff(3)fCf(3)ffDf(3)ff解析：选Ayf(x2)是偶函数，f(x2)f(x2)f(x)的对称轴是x2.f()f()yf(x)在(0,2)上是减函数
26、且关于x2对称，yf(x)在(2,4)上是增函数f()f(3)f()f()10国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11%纳税某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为()A3 800元 B5 600元C3 818元 D3 000元解析：选A设这个人的稿费为x元，纳税金额为y元，依题意得y令0.14(x800)420，解得x3 800，这个人的稿费为3 800元二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分把答案填写在题中的横线上)11函数yx2的图像先向左平移1个单位，再向上平移3个单位
27、后，所得图像对应的函数解析式是y_.解析：函数yx2的图像向左平移1个单位，得函数y(x1)2，再将函数y(x1)2向上平移3个单位，得函数y(x1)23.答案：y(x1)2312若函数f(x)的定义域为1,2，则函数f(32x)的定义域是_解析：f(x)的定义域为1,2，f(32x)中，132x2，得x2，f(x)的定义域为.答案：13已知f(2x1)3x4，f(a)4，则a_.解析：设t2x1，则x.f(t)34.f(a)4.a.答案：14已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x(0，)时，f(x)1，则f(x)的解析式为_解析：当x(，0)时，x(0，)，f(x)11，又f(x)是定义在
28、R上的奇函数，f(x)f(x)1，且f(0)0，f(x)答案：f(x)三、解答题(本大题共4小题，满分50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)已知函数f(x)x22(12a)x6在(，1)上为减函数(1)求f(2)的取值范围；(2)比较f(2a1)与f(0)的大小解：(1)二次函数f(x)图像的对称轴为x2a1，函数在(，2a1上为减函数12a1.a0.而f(2)222(12a)268a14，a0，f(2)148a14；(2)当x2a1时，函数yf(x)取最小值，f(2a1)f(0)16(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在(0，)上的增函数，且满足f
29、(xy)f(x)f(y)若f(3)1，且f(a)f(a1)2，求实数a的取值范围解：f(xy)f(x)f(y)，且f(3)1，22f(3)f(3)f(3)f(9)不等式f(a)f(a1)2可化为f(a)f(a1)f(9)f(9(a1)f(x)是定义在(0，)上的增函数，解得1a.实数a的取值范围是.17(本小题满分12分)设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(，0)上单调递增，且f(2a2a1)f(2a22a3)，求a的取值范围解：由f(x)在R上是偶函数，在区间(，0)上递增知，f(x)在(0，)上递减，因为2a2a1220，2a22a3220，且f(2a2a1)f(2a22a3)，所以2a2a12a22a3，即3a20，所以a.18(本小题满分14分)根据市场调查，某商品在最近的20天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)销售量g(t)与时间t满足关系g(t)t30，(0t20，tN)，设商品的日销售额为F(t)(销售量与价格之积)(1)求商品的日销售额F(t)的解析式；(2)求商品的日销售额F(t)的最大值解：(1)F(t)即F(t)(2)当0t600，t5时，F(t)max625.即日销售额F(t)的最大值为625元
