1、第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.4 函数的应用3.4.1 函数与方程第1课时 函数的零点A级基础巩固1对于函数f(x)，若f(1)f(3)0，则()A方程f(x)0一定有实数解B方程f(x)0一定无实数解C方程f(x)0一定有两实根D方程f(x)0可能无实数解解析：因为函数f(x)的图象在(1，3)上未必连续，故尽管f(1)f(3)0，但未必函数yf(x)在(1，3)上有实数解答案：D2函数f(x)的零点个数为()A0 B1 C2 D3解析：x0时由x22x30x3；x0时由2ln x0xe2.答案：C3方程2xx20的解的个数是()A1 B2 C3 D4解析：在同一坐标系画出函数y2x
2、，及yx2的图象略，可看出两图象有三个交点，故2xx20的解的个数为3.答案：C4根据表格中的数据，可以断定函数f(x)exx2的一个零点所在的区间是()x10123ex0.3712.727.3920.09x212345A.(1，0) B(0，1) C(1，2) D(2，3)解析：由上表可知f(1)2.7230，f(2)7.3940，所以f(1)f(2)0.所以f(x)在区间(1，2)上存在零点答案：C5(2014北京卷)f(x)log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A(0，1) B. (1，2)C. (2，4) D(4，)解析：利用零点存在性定理，验证f(x)在各区间端点处的
3、函数值的符号由题意知，函数f(x)在(0，)上为减函数，又f(1)6060，f(2)3120，f(4)log2420，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2，4)上必存在零点答案：C6函数f(x)(x1)(x23x10)的零点构成的集合是_解析：因为f(x)(x1)(x23x10)(x1)(x5)(x2)，所以由f(x)0解得x5或x1或x2.答案：5，1，27已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于_解析：因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.答案：08函数f(x)x22xa有两个不同零点，则实数a的范围是_解析：由题意可知，方程
4、x22xa0有两个不同解，故44a0，即a1.答案：(，1)9若函数f(x)axb(b0)有一个零点3，那么函数g(x)bx23ax的零点是_解析：因为函数f(x)axb的一个零点是3，所以x3是方程axb0的根所以b3a.于是函数g(x)bx23axbx2bxbx(x1)，令g(x)0，得x0或x1.答案：0，110设x0是方程ln xx4的解，且x0(k，k1)，kZ，则k_解析：令f(x)ln xx4，且f(x)在(0，)上递增，因为f(2)ln 2240，f(3)ln 310，所以f(x)在(2，3)内有解所以k2.答案：211判断函数f(x)log2xx2的零点的个数解：令f(x)0
5、，即log2xx20，即log2xx2.令y1log2x，y2x2.画出两个函数的大致图象，如图所示，函数的图象有两个不同的交点所以函数f(x)log2xx2有两个零点12函数f(x)x33x2.(1)求f(x)的零点；(2)求分别满足f(x)0，f(x)0，f(x)0的x的取值范围解：f(x)x33x2x(x1)(x1)2(x1)(x1)(x2x2)(x1)2(x2)(1)令f(x)0，函数f(x)的零点为x1或x2.(2)令f(x)0，得x2.所以满足f(x)0的x的取值范围是(，2)；满足f(x)0的x的取值集合是1，2；令f(x)0，得2x1或x1，满足f(x)0的x的取值范围是(2，
6、1)(1，)B级能力提升13函数ylg x的零点所在的大致区间是()A(6，7) B(7，8)C(8，9) D(9，10)解析：因为f(9)lg 910，f(10)lg 1010，所以f(9)f(10)0.所以ylg x在区间(9，10)上有零点答案：D14(2015安徽卷)在平面直角坐标系xOy中，若直线y2a与函数y|xa|1的图象只有一个交点，则实数a的值为_解析：依题意可得，方程2a|xa|1只有一解，则方程|xa|2a1只有一解所以2a10.所以a.答案：15若函数f(x)x2axb的零点是2和3，试求函数g(x)bx2ax1的零点解：函数f(x)x2axb的零点是2和3，由函数的零
7、点与方程的根的关系知方程x2axb0的两根为2和3.再由根与系数的关系得a5，b6，所以g(x)6x25x1，易求得函数g(x)的零点为，.16若关于x的方程3x25xa0的一个根在(2，0)内，另一个根在(1，3)内，求实数a的取值范围解：令f(x)3x25xa，由已知条件得：即解得12a0.所以a的取值范围是a|12a017求证：函数f(x)2x在(0，1)内有且只有一个零点证明：f(x)2x2x1(x1)设1x1x2，则f(x1)f(x2)2x12x22x12x2.因为1x1x2，所以2x12x20，x1x20，x110，x210.所以2x12x20，即f(x1)f(x2)所以f(x)在
8、(1，)上是增函数又f(0)20210，即f(0)f(1)0，所以函数f(x)在区间(0，1)内有零点且只有一个零点18.已知函数f(x)x22x3，x1，4(1)画出函数yf(x)的图象，并写出其值域；(2)当m为何值时，函数g(x)f(x)m在1，4上有两个零点？解：(1)依题意：f(x)(x1)24，x1，4，其图象如图所示由图可知，函数f(x)的值域为4，5(2)因为函数g(x)f(x)m在1，4上有两个零点所以方程f(x)m在x1，4上有两相异的实数根，即函数yf(x)与ym的图象有两个交点由(1)所作图象可知，4m0，所以0m4.所以当0m4时，函数yf(x)与ym的图象有两个交点，故当0m4时，函数g(x)f(x)m在1，4上有两个零点
