1、加练课4 与圆有关的最值问题基础达标练1.（2021山东济宁高二月考）过点(2,1)的直线中，被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦长最大的直线方程是( )A.3x-y-5=0 B.3x-y-7=0C.x+3y-5=0 D.x+3y+5=0答案：A2.由直线y=x+1上的一点向圆x2-6x+y2+8=0引切线，则切线长的最小值为( )A.1B.22 C.7 D.3答案：C3.若直线l:3sinx-2y=0与圆C:x2+y2-213y-5=0交于M，N两点，则|MN|的最小值为( )A.42 B.26 C.25 D.27答案：C4.（2020湖南长沙长郡中学高二开学考试）已知圆T:(x-4)2+
2、(y-3)2=25，过圆T内一定点P(2,1)作两条相互垂直的弦AC和BD，那么四边形ABCD面积的最大值为( )A.21B.213 C.212 D.42答案：D5.已知ABC中，A(4,6)，B(-2,0)，C(0,-2)，若圆x2+y2=r2上的所有点都在ABC内（包括边界），则圆x2+y2=r2的面积的最大值是( )A.2 B.45 C.2 D.255答案：B解析：根据题意，作出图形：易知直线AB的方程为y=x+2，原点O到直线AB的距离d1=|2|2=2；直线BC的方程为y=-x-2，原点O到直线BC的距离d2=22=2；直线AC的方程为y=2x-2，原点O到直线AC的距离d3=25=
3、255 .则O到三角形三边的距离中，到AC边的距离最大，所以当圆以这个距离为半径时，圆的面积最大.故圆的最大面积为d32=45 .6.已知M，N分别是圆C1:x2+y2-4x-4y+7=0，圆C2:x2+y2-2x=0上的动点，P为直线x+y+1=0上的一个动点，则|PM|+|PN|的最小值为( )A.2 B.3 C.2D.3答案：D解析：圆C1:x2+y2-4x-4y+7=0的圆心为C1(2,2)，半径R1=1，圆C2:x2+y2-2x=0的圆心为C2(1,0)，半径R2=1，设圆心C2(1,0)关于直线x+y+1=0的对称点为C2(x,y)，则x+12+y+02+1=0,y-0x-1=1,
4、解得x=-1,y=-2,故C2(-1,-2)，|PM|+|PN|PC1|-R1+|PC2|-R2|C2C1|-2=(2+1)2+(2+2)2-2=3 .7.已知圆C1过点A(0,6)，且与圆C2:x2+y2+10x+10y=0相切于原点，直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0 .（1）求圆C1的方程；（2）求直线l被圆C1截得的弦长的最小值.答案：（1）设C1:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)，易知圆C2:x2+y2+10x+10y=0的圆心为C2(-5,-5)，半径为52，则(-a)2+(6-b)2=r2a2+b2=r2(a+5)2+(b+5)2=52+r，解得a=3b=
5、3r=32，所以圆C1的方程为(x-3)2+(y-3)2=18（2）l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0，即(2x+y-7)m+x+y-4=0，由2x+y-7=0x+y-4=0，得x=3y=1，所以直线l过定点B(3,1)，设圆心C1(3,3)到直线l的距离为d，则d|C1B|=(3-3)2+(3-1)2=2，当且仅当lBC1时，等号成立，所以弦长|AB|=2r2-d2218-4=214 .所以直线l被圆C1截得的弦长的最小值为214 .8.已知圆M过点C(1,-1)，D(-1,1)，且圆心M在直线x+y-2=0上.（1）求圆M的方程；（2）点P(x,y)为圆M上任意一点，求y+1x
6、+2的最值.答案：（1）由C(1,-1)，D(-1,1)，得CD的中点为(0,0)，kCD=-1，所以CD的垂直平分线的方程为y=x .联立y=xx+y-2=0，得x=1y=1，则M(1,1)，则圆M的半径r=(1-1)2+(1+1)2=2，所以圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4 .（2）y+1x+2可以看成是点A(-2,-1)与P(x,y)连线的斜率，设为k，则直线AP的方程为y+1=k(x+2)，即y-kx-2k+1=0，当直线AP为圆M的切线时，|2-3k|1+k2=2，解得k=0或k=125，所以y+1x+2的最大值为125，最小值为0.素养提升练9.已知圆O:x2+y2=1，
7、圆M:(x-a)2+(y-2)2=2 .若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PAPB，则实数a的取值范围为 .答案：-2a2解析：因为PAPB，所以APO=BPO=4，所以PA=PB=1，PO=2，所以圆x2+y2=2与圆M:(x-a)2+(y-2)2=2有公共点，所以2-2OMPO+PM=2+2=22，所以0a2+422，解得a24，所以-2a2 .10.已知圆C:(x-7)2+y2=16，过点M(5,0)作直线交圆于A，B两点，则|AB|的最小值为 .答案：43解析：由题知，圆C的圆心为C(7,0)，半径r=4，设圆心到AB的距离为d，根据圆的性质可得|AB|2=r
8、2-d2=16-d2r2-d2=16-d2，所以当圆心到弦AB的距离d最大时，|AB|最小.又AB直线过点M(5,0)，|CM|=2，所以当CMAB时，d最大，为|CM|=2，此时|AB|最小，为216-d2=216-4=43 .11.已知圆O:x2+y2=1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a,b)向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA| .（1）求实数a、b满足的等量关系；（2）求线段|PQ|的最小值；（3）若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程.答案：（1）连接OP（图略），Q为切点，PQOQ，|PQ|2=|OP|2-|OQ|2，|PQ|=|PA
9、|，a2+b2-1=(a-2)2+(b-1)2，2a+b-3=0 .（2）2a+b-3=0，b=-2a+3，|PQ|=a2+b2-1=a2+(-2a+3)2-1=5a2-12a+8=5(a-65)2+45 .当a=65时，线段|PQ|的最小值为255 .（3）设圆P的半径为r，圆P与圆O有公共点，圆O的半径为1，|r-1|OP|r+1，即|OP|-1|r|OP|+1，又|OP|=a2+b2=a2+(-2a+3)2=5(a-65)2+95，当a=65时，|OP|min=355，此时b=35，rmin=355-1，当半径取最小值时，圆P的方程为(x-65)2+(y-35)2=(355-1)2 .1
10、2.（2021山东烟台一中高二期中）已知圆M:x2+y2-2x+a=0 .（1）若a=-8，过点P(4,5)作圆M的切线，求该切线的方程；（2）当圆N:(x+1)2+(y-23)2=4与圆M相外切时，从点Q(2,-8)射出一道光线，经过y轴反射，照到圆M上的点R处，求光线从点Q经反射后到点R所走路线的最小值.答案：（1）当a=-8时，圆M:x2+y2-2x+a=0，即(x-1)2+y2=9，则M(1,0)，r=3 .当切线斜率不存在时，切线方程为x=4，点M(1,0)到切线的距离为3，等于半径r，符合题意；当切线斜率存在时，设切线方程为y-5=k(x-4)，即kx-y-4k+5=0，由题意得点
11、M到切线的距离等于半径r，即|k-4k+5|k2+1=3，解得k=815 .切线方程为y=815x+4315，即8x-15y+43=0 .综上，切线方程为8x-15y+43=0或x=4 .（2）圆M:(x-1)2+y2=1-a(a1)，则M(1,0)，半径r1=1-a(a1) .圆N:(x+1)2+(y-23)2=4，则N(-1,23)，半径r2=2 .圆M和圆N相外切，|MN|=r1+r2，即1-(-1)2+(0-23)2=1-a+2，a=-3，半径r1=2 .设点Q关于y轴对称的点为Q，则Q(-2,-8),|QM|=73，所走路线的最小值为73-2 .创新拓展练13.已知点A(-2,-2)
12、，B(-2,6)，C(4,-2)，点P在圆x2+y2=4上运动，则|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为；最小值为 .答案：88; 72解析：命题分析本题考查圆的相关性质以及两点间的距离公式，考查对两点间的距离公式的熟练程度以及圆的方程中y的取值范围，考查计算能力与化归思想，是中档题.答题要领先设出P点的坐标，再通过两点间的距离公式对|PA|2+|PB|2+|PC|2进行化简，最后通过-2y2得出结果.详细解析设P点的坐标为(x,y)，则x2+y2=4 .所以|PA|2+|PB|2+|PC|2=(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y-6)2+(x-4)2+(y+2)2=3(x2+y2)-4y+68=80-4y .因为-2y2，所以7280-4y88，即72|PA|2+|PB|2+|PC|288，即|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为88，最小值为72.方法感悟涉及代数式的最值问题，特别是与两个数的平方和有关的代数式，一定要仔细观察代数式的结构特征，利用其几何意义求解.
