1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 必修5 第三章 不等式成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 不等式 第三章 第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 32 均值不等式第三章 第1课时 均值不等式第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 课堂典例讲练 2易错疑难辨析 3课 时 作 业 4课前自主预习 1第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 课前自主预习第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 某金店有一
2、座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的重量 a 和 b，然后就把两次称得的重量的算术平均数ab2 作为项链的重量来计算顾客对这个重量的真实性提出了质疑，那么这样计算的重量相对于原来的真实重量到底是大了还是小了呢？第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 1均值定理(又称基本不等式或均值不等式)(1)形式：_.(2)成立的前提条件：_，_.(3)等号成立的条件：当且仅当_时取等号ab2 ab aR bR ab第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版
3、 数学 必修5 2算术平均值和几何平均值(1)定义_叫做正实数a、b的算术平均值，_叫做正实数a、b的几何平均值(2)结论两个正实数的算术平均值_它们的几何平均值(3)应用基本不等式求最值如果x、y都是正数，那么若积xy是定值P，那么_时，和xy有_值若和 xy是定值S，那么当_时，积xy有_值ab2ab大于或等于xy 最小 xy 最大第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 1不等式m212m中等号成立的条件是()Am1 Bm1Cm1 Dm0答案 A解析 m212m(m1)20，当且仅当m1时，等号成立第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指
4、导 人教B版 数学 必修5 2已知 x0，则 y3x4x有()A最大值 4 3 B最小值 4 3C最大值 2 3 D最小值 2 3答案 B解析 x0，y3x4x23x4x4 3，当且仅当 3x4x，即 x2 33 时，等号成立第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 3已知 x0，y0，x2y2xy8，则 x2y 的最小值是()A3 B4C92 D112答案 B第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 解析 x2y8x(2y)8(x2y2)2，整理得(x2y)24(x2y)320.即(x2y4)(x2y8)0，又 x2
5、y0，x2y4.故选 B第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 4在4 9 60的两个 中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上_和_答案 6 4解析 设两数为 x，y，即 4x9y60.1x1y(1x1y)4x9y60 160(134xy 9yx)160(1324xy 9yx)160(1312)512.当且仅当4xy 9yx，且 4x9y60，即 x6 且 y4 时等号成立，故应填 6 和 4.第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 5若正数a、b满足abab3，则ab的取值范围是_答案 9，)解析
6、a0，b0，ab2 ab.abab32 ab3，(ab)22 ab30，ab3 或 ab1(舍去)，ab9.第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 课堂典例讲练第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 利用均值不等式比较两数(式)的大小已知 ma 1a2(a2)，n22b2(b0)，则 m、n 的大小关系是()Amn Bm2，a20，又ma 1a2(a2)1a222a2 1a224，当且仅当 a2 1a2，即(a2)21，又 a20，a21，即 a3 时取等号m4.b0，b20，2b22，22b24，即 nn.答案
7、A第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 某工厂第一年产量为 A，第二年的增长率为 a,第三年的增长率为 b，这两年的平均增长率为 x，则()Axab2 Bxab2Cxab2 Dxab2答案 B第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 解析 这两年的平均增长率为 x，A(1x)2A(1a)(1b)，(1x)2(1a)(1b)，由题设 a0，b0.1x 1a1b1a1b21ab2，xab2.等号在 1a1b 即 ab 时成立.第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 应用基本不等式
8、求最值已知 0 x13，求函数 yx(13x)的最大值解析 解法一：0 x13，13x0.yx(13x)133x(13x)133x13x22 112，当且仅当 3x13x，即 x16时，等号成立当 x16时，函数取最大值 112.第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 解法二：0 x13，13x0.yx(13x)3x13x3x13x22 112，当且仅当 x13x，即 x16时，等号成立x16时，函数取最大值 112.第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 点评 本小题也可以将解析式展开，使用二次函数配方法求解，若
9、使用基本不等式求积的最大值，关键是构造某个和为定值，为使用基本不等式创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 已知 t0，则函数 yt24t1t的最小值为_答案 2解析 t0，yt24t1tt1t4242，当且仅当 t1t，即 t1 时，等号成立.第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为
10、4 m和10 m(如图所示)均值不等式在实际问题中的应用第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 (1)若设休闲区的长和宽的比A1B1B1C1x(x1)，求公园 ABCD所占面积 S 关于 x 的函数 S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计？第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 解析(1)设休闲区的宽为 a m，则其长为 ax m，由 a2x4 000，得 a20 10 x.则 S(x)(a8)(ax20)a2x(8x20)a1604 000(8x20)20 1
11、0 x 16080 10(2 x 5x)4 160(x1)第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 (2)S(x)80 1022 x 5x4 1601 6004 1605 760.当且仅当 2 x 5x，即 x2.5 时取等号，此时 a40，ax100.所以要使公园所占面积最小，休闲区 A1B1C1D1 应设计为长100 m，宽 40 m.第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车
12、使用多少年时，它的年平均费用最少？解析 年平均费用等于总费用除以年数，总费用包括：购车费、保险费、养路费、汽油费总和以及维修费用总和，因此应先计算总费用，再计算年平均费用设使用x年平均费用最少由条件知：汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 因此，汽车使用 x 年总的维修费用为0.20.2xx2万元设汽车的年平均费用为 y 万元，则有y100.9x0.20.2xx2x10 x0.1x2x110 x x101210 x x103.当且仅当10 x x10，即 x10 时，y 取最小值答：汽车使
13、用 10 年平均费用最少第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 易错疑难辨析第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 已知 a0，b0，且1a9b1，求 ab 的最小值错解 a0，b0，1a9b29ab61ab，61ab1，1ab 136，ab36.ab2 ab12.ab 的最小值为 12.第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 辨析 上述解法错误的原因是两次使用均值不等式时，两个等号成立的条件不同，即第一次等号成立的条件为1a9b，即 b9a，第二次等号成立的条件为 ab，故 ab 取不到最小值 12.正解 a0，b0，1a9b1，ab(1a9b)(ab)19ba9ab 102ba9ab 102316.第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 当且仅当ba9ab，即 b29a2 时等号成立由b29a21a9b1，解得 a4，b12.故当 a4，b12 时，ab 取最小值 16.第三章 3.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 课 时 作 业（点此链接）
