1、试卷第 1 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司长郡湘府中学 2024 届高三暑假作业检测数学试题 一、单选题（每小题 5 分，共 40 分）1若集合1Ax x=，2230Bx xx=，则 AB=（）A(1,3 B1,3 C)1,1 D)1,+2已知平面向量,a b满足()3,1,3,211abab=，则a 在b 上的投影向量为（）A3 3,22 B 13,22 C()1,3 D6 3 2,223命题2:,240pxR axax+为假命题的一个充分不必要条件是（）A 40a B 40a C 30a D 42a 4已知函数()e2xf xxa=+，()eln xg xx=，对任意11,2x
2、，21,3x，都有不等式()()12f xg x成立，则 a 的取值范围是（）A)2e,+B 1e,2+Ce,2+D21e,2+5设函数(),yf x xR=的导数为()fx，且()(),()()f xfxfxf x=，则下列不等式成立的是（）A12(0)(1)(2)fefe f B12(1)(0)(2)effe fC21(2)(0)(1)e ffef D21(2)(1)(0)e feff0，b0）的离心率为 5，左，右焦点分别为12F F，2F 关于 C 的一条渐近线的对称点为 P.若12=PF，则12PF F的面积为（）A2 B 5 C3 D4 试卷第 2 页，共 4 页 二、多选题（每小
3、题 5 分，共 20 分，少选得 2 分）9在复数集内，下列命题是真命题的是（）A若复数 z R，则 z R B若复数 z 满足2z R，则 z RC若复数1z，2z 满足1 2z z R，则12zz=D若复数 z 满足 1z R，则 z R10已知0,0,1abab+=，则下列结论正确的是（）A22a bab+的最大值为 14 B+ab 的最大值为 1 C22abab+的最小值为74 3+D1422abab+的最小值为 3 11已知定义域为R 的函数()f x 对任意实数,x y 都有()()()()2f xyf xyf x fy+=，且102f =，则以下结论一定正确的有（）A()01f=
4、B()f x 是偶函数 C()f x 关于 1,02 中心对称 D()()()1220230fff+=12设等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，若 a312，S120，S130，则下列结论正确的是（）A数列an是递增数列 BS560 C2437d DS1，S2，S12 中最大的是 S6 三、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）14在锐角 ABC中，内角,A B C 所对的边分别是,a b c，若2CB=，则 cb 的取值范围是 15若圆2244100
5、xyxy+=上至少有三个不同点到直线l:0axby+=的距离为2 2,则直线l 的倾斜角的取值范围是 .16若函数()sin()(0)6f xx=+在(,)2 单调，且在(0,)3 存在极值点，则 的取值范围为 四、解答题（共 6 小题，共 70 分）17记 ABC是内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知2bac=，点 D 在边 AC 上，sinsinBDABCaC=.（1）证明：BDb=；（2）若2ADDC=，求cosABC.试卷第 3 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司18已知数列 na的前n 项和为nS，112a=，当2n 时，2nnnnSa Sa=(1)求nS；(2)设
6、2nnnbS=，求数列 nb的前n 项和为nT 19如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的六面体中（其中 F 平面 EDC），四边形 ABCD 是正方形，ED 平面 ABCD，BFFE=，且平面 FEB 平面 EDB (1)设 M 为棱 EB 的中点，证明：ACFM，四点共面；(2)若22EDAB=，求平面 FEB与平面 EAB的夹角的余弦值 20设函数()21ln2f xxaxbx=（1）若1x=是()f x 的极大值点，求a 的取值范围.（2）当0,1ab=时，函数()()2F xf xx=有唯一零点，求正数 的值.试卷第 4 页，共 4 页 21元宵佳节，是民间最重要的民俗节日之一
7、，在某庆祝活动现场，为了解观众对该活动的观感情况（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取 200 名，得到下表：(1)填补上面的 22 列联表，并依据小概率值0.1=的独立性检验，能否认为性别与对该活动的观感程度有关？(2)该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满 300 元，可抽奖一次抽奖方案是：从装有 3 个红球和 3 个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出 2 个球，若摸出 2 个红球，则可获得 100 元现金的返现；若摸出 1 个红球，则可获得 50 元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现若某观众当天消费 600 元，记该观众参加抽奖获得
8、的返现金额为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望 附：()()()()()22n adbcabcdacbd=+，其中nabcd=+22已知椭圆22:12+=xEy长轴的左右端点分别为12,A A，点 P 是椭圆 E 上不同于12,A A 的任意一点，点Q 满足110QA PA=，220QAPA=,O 为坐标原点.（1）证明：1PA 与2PA 的斜率之积为常数，并求出点Q 的轨迹C 的方程；（2）设直线:l yxm=+与曲线C 交于()()1122,M x yN xy，且12120 x xy y+=，当 为何值时 OMN的面积最大?一般激动总计男性90 120 女性25 总计200 0.10
9、0 0.050 0.010 0.001 x2.706 3.841 6.635 10.828 答案第 1 页，共 10 页 学科网（北京）股份有限公司参考答案：1A【解】223013Bx xxxx=，1Ax x=，因此，(1,3AB=.2B【解】由题意()3,1,3,211abab=，()22132b=+=，()222224434 2419411ababa ba ba b=+=+=，解得：2a b=a 在b 上的投影向量为：()222131,3,222a b bb=3C【解】命题2:,240pxR axax+为假命题，即命题2:,240pxR axax+为真命题，首先，0a=时，40恒成立，符合
10、题意；其次0a 时，a0 且()22160aa=+，即 40a，综上可知，40a.故选项 A 中，40a 是 40a 的充分必要条件；选项 B 中 40a 推不出 40a，且 40a 推不出 40a，即 40a，则()f x 在区间1,2 上单调递增，()()min1e2f xfa=+，()2e 1 ln()xg xx=，1,ex，()0g x，则()g x 在1,e 上单调递增，(e,3x，()0g x，故()min0g x=，综上，ee202aa+.5B【解】构造辅助函数，令()()xg xef x=，则()()()()()()xxxgxef xefxefxf x=+=，()()fxf x
11、，()0gx.()()()0000ge ff=，()()111gef=，()()222ge f=，又()()fxf x=，()()222ge f=，12(1)(0)(2)effe f+=.对于()2221A,24aba babab abab+=+=，当且仅当12ab=时取等号，故A 正确；答案第 4 页，共 10 页 对于B，当12ab=时，21ab+=，故B 错误；对于()()222234343434C,774 3abababababababababbababa+=+=+=+，当且仅当34abba=时取等号，故 C 正确；对于 D，()()()4 21414112225322223322ab
12、ababababababababab+=+=+，但是当()4 2222abababab+=+时，0a=不符合题意，故等号不成立，故D 错误.11BC【解】令0 xy=，则()()()()()0020000fffff+=或()01f=，故 A 错误，若()01f=时，令0 x=，则 =20=fyfyfy ffyfy，此时()f x 是偶函数，若()00f=时，令0y=，则 =200=0fxfxfx ffx，此时()f x 既是偶函数又是奇函数；因此 B 正确，令12x=，则()111112=0=022222fyfyffyfyfy+=+，所以()f x 关于 1,02 中心对称，故 C 正确，由(
13、)f x 关于 1,02 中心对称可得 =1fxfx，结合()f x 是偶函数，所以=1=1=2=2fxfxfxfxfx，所以()f x 的周期为 2，令12xy=，则()()11102=022ffff+=，故 12=10=0ffff，进而()()()()()122022101112=0fffff+=+，而()2023(1)(0)fff=，由 A 选项知()00f=或()01f=，所以()()()1220230fff+=或 1，故 D 错误.12BCD【解】依题意，有 S1212a112 112+d0，S1313a113 122+d0，化为：2a1+11d0，a1+6d0，即 a6+a70，a
14、70，a60 由 a312，得 a1122d，联立解得247d3等差数列an是单调递减的 S1，S2，S12 中最大的是 S6 S5()1552aa+=5a360 综上可得：BCD 正确 答案第 5 页，共 10 页 学科网（北京）股份有限公司13 210【解】对于 6 个台阶上每一个只站一人，有36120A=种；若有一个台阶有 2 人，另一个是 1 人，则共有123690C A=种，所以不同的站法种数是12090210+=种 14()2,3【解】由正弦定理得sinsin 22cossinsincCBBbBB=,由于三角形为锐角三角形,所以02C,所以02,024BB,所以 22cos3B.1
15、55,12 12【解】圆2244100 xyxy+=化简为标准方程，可得22(2)(2)18xy+=，圆心坐标为()2,2C，半径3 2r=，在圆上至少有三个不同的点到直线:0l axby+=的距离为2 2，圆心到直线的距离应小于或等于2 22r=，由点到直线的距离公式，得22222abab+，222(22)2()abab+，整理得2()4()10aabb+，解得2323ab+，直线:0l axby+=的斜率23,23akb=+，设直线l 的倾斜角为，则 tan23,23+，即5tan1212，由此可得直线l 的倾斜角的取值范围是5,12 12 16413，即1 ，当,26266xx+，又()
16、f x 在(,)2 单调，答案第 6 页，共 10 页 所以3,()26622kkkN+，即262362kk+，解得 24233kk+，只能取0k=，即 2433，综上，413，17【解】（1）设 ABC的外接圆半径为 R，由正弦定理，得sinsin,22bcRABCCR=，因为sinsinBDABCaC=，所以22bcBDaRR=，即 BD bac=又因为2bac=，所以 BDb=（2）因为2ADDC=，如图，在 ABC中，222cos2abcCab+=，在BCD中，222()3cos23babbaC+=由得2222223()3babcab+=+，整理得22211203abc+=又因为2ba
17、c=，所以2261130aacc+=，解得3ca=或32ca=，当22,33ccabac=时，333ccabc+=+（舍去）当2233,22ccabac=时，22233()722cos3122 2ccABCccc+=所以7cos12ABC=18【解】（1）当2n 时，2nnnnSa Sa=，所以，()()211nnnnnnSSSSSS=，整理得：11nnnnS SSS=，即1111nnSS=当1n=时，11112Sa=，答案第 7 页，共 10 页 学科网（北京）股份有限公司所以数列1nS是以2 为首项，1为公差的等差数列，所以()12111nnnS=+=+，即11nSn=+（2）由 1（）知
18、11nSn=+，所以()21 2nnnnbnS=+，所以()212 23 221 2nnnTnn=+，所以()23122 23 221 2nnnTnn+=+，由得，()()23142221 2nnnTn+=+()()11141 241 221 2nnnnn+=+=，所以12nnTn+=.19【解】（1）连接 AC,由于四边形 ABCD 是正方形，所以 ACDB,又 ED 平面 ABCD，AC 平面 ABCD,所以 EDAC,DEBDD DE BD=平面 BDE，所以 AC 平面 BDE，由于 M 为棱 EB 的中点，BFFE=，所以 FMEB,又平面 FEB 平面 EDB，平面 FEB 平面
19、EDBEB=，FM 平面 EFB,所以 FM 平面 EDB ,因此/FMAC,所以 ACFM，四点共面，（2）由于,ED DA DC 两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()1,0,0,1,1,0,0,0,2,0,1,0ABEC,1 1,12 2M ,设()0,Fa b，由（1）知/FMAC,故()1 1,1/1,1,02 2ab，解得1,1ab=，故()0,1,1F,()()()1,1,2,1,0,1,0,1,0BEBFAB=,设平面 BEF，ABE 的法向量分别为()()111,mx y znx y z=则 00BE mBF m=即200 xyzxz+=+=，取1x=，则
20、()1,1,1m=，00BE nAB n=即1111200 xyzy+=，取11z=，则()2,0,1n=，答案第 8 页，共 10 页 设平面 FEB与平面 EAB的夹角为，则315coscos,535m nm nm n=20【解】（1）()f x 的定义域为()0,+，()1fxaxbx=，由()10f=，得1ba=.()()()1111axxfxaxaxx+=+=.若0a，由()0fx=，得1x=.当01x 时，()0fx，此时()f x 是单调递减，所以1x=是()f x 的极大值点.若 a，解得 10a .（2）因为函数()()2-F xf xx=有唯一零点，即2ln0 xxx=有唯
21、一实数解，设()2lng xxxx=，则()221xxgxx=令()0gx=，2210 xx=因为0，所以1 80=+，方程有两异号根设为120,0 xx，因为0 x，所以1x 应舍去.当()20,xx时，()0gx，()g x 在()2,x+单调递增.故()()2ming xg x=因为()0g x=有唯一解，所以()20g x=，则()()2200g xgx=即22222220 210 xlnxxxx=，因为0，所以222ln10 xx+=（*），设函数()2ln1h xxx=+，因为当0 x 时，()h x 是增函数，所以()0h x=至多有一解 因为()10h=，所以方程（*）的解为21x=，代入方程组解得1=21【解】（1）补全的 22 列联表如下：答案第 9 页，共 10 页 学科网（北京）股份有限公司一般激动总计男性30 90 120 女性25 55 80 总计55 145 200 零假设为0H：性别与对活动的观感程度相互独立.根据表中数据，计算得到22200(30 5590 25)30012.706.55 145 120 80319=.
