1、广东省湛江市2020-2021学年高二上学期期末调研考试数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1命题“x0，+），x2+2x0”的否定是（）Ax（，0），x2+2x0Bx（，0），x2+2x0Cx00，+），x02+2x00Dx00，+），x02+2x002双曲线1的焦距是（）A10B20C2D43在数列an中，a10，an3an1+2（n2），则a3（）A2B6C8D144在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则b（）ABCD5已知点P（2，4）在抛物线y22px（p0）的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（）A（0，2）B（0
2、，4）C（2，0）D（4，0）6已知双曲线1的焦点与椭圆1的焦点相同，则m（）A1B3C4D57“1m3”是“方程+1表示椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P是该双曲线上的一点，且|PF1|10，则|PF2|（）A2或18B2C18D49在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin2BbcosAcosB，则ABC的形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定10直线l：ykx+2与椭圆C：1有公共点，则k的取值范围是（）A，B（，+）C，D（，+）11已知等差数列an的前n项和Sn有最
3、小值，且，则使得Sn0成立的n的最小值是（）A11B12C21D2212双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过点F1且与l1垂直的直线l交l1于点P，交l2于点Q，若，则双曲线的离心率为（）ABC2D3二填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13椭圆4x2+6y224的短轴长是 14 已知ab0，且a+b2，则的最小值是 15 从某建筑物的正南方向的A处测得该建筑物的顶部C的仰角是45，从该建筑物的北偏东30的B处测得该建筑物的顶部C的仰角是30，A，B之间的距离是35米，则该建筑物的高为 米16 已知抛物线C：y24x，点Q在x轴上，直线l：（m2）xy2m+40与
4、抛物线C交于M，N两点，若直线QM与直线QN的斜率互为相反数，则点Q的坐标是 三解答题（共6小题，17题10分，18-22每小题12分，共70分）17已知p：函数f（x）|axm|（a0）在区间1，+）上单调递增，q：关于x的不等式x2+mx+m0的解集非空（1）当a3时，若p为真命题，求m的取值范围；（2）当a0时，若p为假命题是q为真命题的充分不必要条件，求a的取值范围18ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2a，（1）求C；（2）若，求ABC的面积19已知抛物线C：x28y的焦点为F，直线l与抛物线C交于M，N两点（1）若直线l的方程为yx+3，求|MF|+|NF|的值；
5、（2）若直线l的斜率为2，l与y轴的交点为P，且2，求|MN|20已知数列an的前n项和Sn2an，数列bn满足b11，b3+b718且bn+1+bn12bn（n2）（I）数列an和bn的通项公式（II）若bnancn，求数列cn的前n项和Tn21如图，在四棱锥PABCD中，ABAD，ADBC，PAPBPD，PE2EC，O为BD的中点（1）证明：OP平面ABCD（2）若AB2，BC2AD4，PA4，求二面角CBDE的余弦值22已知椭圆E：1（ab0）的焦距为2，点A在椭圆E上，且|OA|的最小值是（O为坐标原点）（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知动直线l与圆O：x2+y2t2（t0）相切，且
6、与椭圆E交于P，Q两点是否存在实数t，使得OPOQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由广东2020-2021学年第一学期高二期末考试数学一选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1命题“x0，+），x2+2x0”的否定是（）Ax（，0），x2+2x0Bx（，0），x2+2x0Cx00，+），x02+2x00Dx00，+），x02+2x00【解答】解：命题为全称命题，则命题“x0，+），x2+2x0”的否定：x00，+），x02+2x00，故选：D2双曲线1的焦距是（）A10B20C2D4【解答】解：双曲线1中a8，b6，c10，2c20故选：B3在数列an中，a10，an3an1+2（
7、n2），则a3（）A2B6C8D14【解答】解：因为a10，an3an1+2，所以a23a1+22，则a33a2+28故选：C4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则b（）ABCD【解答】解：利用正弦定理：因为，所以故选：A5已知点P（2，4）在抛物线y22px（p0）的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（）A（0，2）B（0，4）C（2，0）D（4，0）【解答】解：因为点P（2，4）在抛物线y22px的准线上，所以，所以p4，则该抛物线的焦点坐标是（2，0）故选：C6已知双曲线1的焦点与椭圆1的焦点相同，则m（）A1B3C4D5【解答】解：因为椭圆1的焦点坐标（，0），双曲线1的焦
8、点坐标（，0）所以，解得m1故选：A7“1m3”是“方程+1表示椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：若方程表示椭圆，则，解得1m3或3m7，故“1m3”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件故选：A8已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P是该双曲线上的一点，且|PF1|10，则|PF2|（）A2或18B2C18D4【解答】解：因为|PF1|10a+c12，所以点P在该双曲线左支上，则|PF2|2a+|PF1|24+1018故选：C9在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin2BbcosAcosB，则ABC的形状是（）A锐角三
9、角形B直角三角形C钝角三角形D不确定【解答】解：因为asin2BbcosAcosB，所以sinAsin2BsinBcosAcosB，所以sinB（sinAsinBcosAcosB）0，即sinBcos（A+B）0因为0A，0B，所以，故ABC是直角三角形故选：B10直线l：ykx+2与椭圆C：1有公共点，则k的取值范围是（）A，B（，+）C，D（，+）【解答】解：直线l：ykx+2与椭圆C：1有公共点，联立方程，消去y得：（1+2k2）x2+8kx+60，64k224（1+2k2）0，解得：或，故选：B11已知等差数列an的前n项和Sn有最小值，且，则使得Sn0成立的n的最小值是（）A11B1
10、2C21D22【解答】解：由题意可得等差数列an的公差d0因为，所以a120，a110，所以a11+a120，则，S2121a110故使得Sn0成立的n的最小值是22故选：D12双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过点F1且与l1垂直的直线l交l1于点P，交l2于点Q，若，则双曲线的离心率为（）ABC2D3【解答】解：记O为坐标原点由题意可得F1（c，0），不妨设l1：，l2：，则直线l：联立，解得，则，故|PF1|b，|OP|a因为，所以|PQ|2|PF1|，所以|PQ|2b，则因为，所以，所以，整理得c44a2c2+3a40，则e44e2+30，解得故选：B二填空题
11、（共4小题，每小题5分，共20分）13椭圆4x2+6y224的短轴长是4【解答】解：由题意椭圆4x2+6y224，即：，可得b2，则短轴长是2b4故答案为：414已知ab0，且a+b2，则的最小值是【解答】解：因为a+b2，所以，因为ab0，所以（当且仅当，时，等号成立），所以，故答案为：15从某建筑物的正南方向的A处测得该建筑物的顶部C的仰角是45，从该建筑物的北偏东30的B处测得该建筑物的顶部C的仰角是30，A，B之间的距离是35米，则该建筑物的高为米【解答】解：设该建筑物的高|OC|h（O为该建筑物的底部），由题意可得|OA|h，|AB|35，AOB150，则|AB|2|OA|2+|OB
12、|22|OA|OB|cosAOB，即，解得故答案为：16已知抛物线C：y24x，点Q在x轴上，直线l：（m2）xy2m+40与抛物线C交于M，N两点，若直线QM与直线QN的斜率互为相反数，则点Q的坐标是（2，0）【解答】解：如图所示，直线QM、QN交Y轴分别于A、B点，不妨设m3，则直线方程为y+2x，联立抛物线y24x，得：y24y80，y1+y24，y1y28，设Q（n，0），M（x1，y1），N（x2，y2）直线QM与直线QN的斜率互为相反数，y1（x2n）+y2（x1n）0，xy+2y1（y2+2）+y2（y1+2）n（y1+y2）02y1y2+2（y1+y2）n（y1+y2）016+
13、84n0n2故答案为：（2，0）三解答题（共6小题，17题10分，18-22每小题12分，共70分）17已知p：函数f（x）|axm|（a0）在区间1，+）上单调递增，q：关于x的不等式x2+mx+m0的解集非空（1）当a3时，若p为真命题，求m的取值范围；（2）当a0时，若p为假命题是q为真命题的充分不必要条件，求a的取值范围【解答】解：（1）当a3时，f（x）|3xm|因为p为真命题，所以，即m3，故m的取值范围是（，3（2）因为p为假命题，所以，因为a0，所以ma记满足p为假命题的m的取值集合为A（a，+）因为q为真命题，所以m24m0，解得m0或m4记满足q为真命题的m的取值集合为B（
14、，04，+）因为p为假命题是q为真命题的充分不必要条件，所以集合A是集合B的真子集，则a4故a的取值范围是4，+）18ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2a，（1）求C；（2）若，求ABC的面积【解答】解：（1）因为b2a，所以c2a2+b22abcosC5a24a2cosC所以，可得sinC+cosC1，整理得又因为C（0，），所以（2）由（1）可知，c25a24a2cosC7a2，又因为，所以a2，b2a4所以19已知抛物线C：x28y的焦点为F，直线l与抛物线C交于M，N两点（1）若直线l的方程为yx+3，求|MF|+|NF|的值；（2）若直线l的斜率为2，l与y轴的交
15、点为P，且2，求|MN|【解答】解：（1）设直线l与抛物线C交点M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去x，整理得y214y+90，所以y1+y214，所以|MF|+|NF|y1+2+y2+218，所以|MF|+|NF|的值18；（2）设直线P（0，t），直线l的方程为y2x+t，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去y，整理得x216x8t0，由162+48t0，则t8，所以x1+x216，x1x28t，因为2，（0x1，ty1）2（0x2，ty2），所以x12x2，由解得t，满足t8，所以|MN|20已知数列an的前n项和Sn2an，数列bn满足b11，b3+b7
16、18且bn+1+bn12bn（n2）（I）数列an和bn的通项公式（II）若bnancn，求数列cn的前n项和Tn【解答】解由题意可得Sn2an，当n2时，Sn12an1，得，anSnSn1an1an，即又a1S12a1，可得a11，易知an10，故数列an是以1为首项，为公比的等比数列，所以由bn+1+bn12bn可知数列bn为等差数列，设其公差为d，则，所以d2，故bnb1+（n1）d2n1（II）由（I）结合题意可得，（2n1）2n1则+（2n1）2n1两边同乘以2得，+（2n1）2n得，Tn1+2（21+22+23+2n1）（2n1）2n整理得，Tn1+（2n3）2n3故21如图，在四
17、棱锥PABCD中，ABAD，ADBC，PAPBPD，PE2EC，O为BD的中点（1）证明：OP平面ABCD（2）若AB2，BC2AD4，PA4，求二面角CBDE的余弦值【解答】解：（1）证明：取AD的中点F，连接PF，OF因为PAPD，F为AD的中点，所以ADPF因为O为BD的中点，F为AD的中点，所以OFAB因为ABAD，所以OFAD，因为OFPFF，OF平面POF，PF平面POF，所以AD平面POF又OP平面POF，所以ADOP因为PBPD，O为BD的中点，所以POBD因为ADBDD，AD平面ABCD，BD平面ABCD，所以OP平面ABCD（2）解：以O为坐标原点，平行AD的直线为x轴，F
18、O所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz则O（0，0，0），B（，1，0），D（，1，0），C（3，1，0），P（0，0，2）因为PE2EC，所以E（2，），故（2，2，0），（，），（0，0，2）设平面BDE的法向量（x，y，z），则，取x1，则（1，4）记二面角CBDE的大小为，由图可知为锐角，则cos|cos|二面角CBDE的余弦值为22已知椭圆E：1（ab0）的焦距为2，点A在椭圆E上，且|OA|的最小值是（O为坐标原点）（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知动直线l与圆O：x2+y2t2（t0）相切，且与椭圆E交于P，Q两点是否存在实数t，使得OPOQ
19、？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）因为|OA|的最小值是，所以b，因为椭圆E的焦距为2，所以2c2，即c，所以a2b2+c24，故椭圆E的标准方程是；（2）当直线l的斜率不存在时，因为直线l与圆O相切，所以直线l的方程为xt，则直线l与椭圆E的交点为（t，） 或（t，），因为OPOQ，所以，所以，即t，当直线l 的斜率存在时，可设直线l的方程为ykx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，整理得：（2k2+1）x2+4kmx+2m240，则，因为P（x1，y1），Q（x2，y2），在直线l上，所以y1y2（kx1+m）（kx2+m），将则， 代入上式，得：，因为OPOQ，所以 ，即3m24（k2+1），因为动直线l与圆O相切，所以，所以 ，即t，综上，存在t，使得OPOQ
