1、2020-2021学年四川省内江市威远中学高二(下)期中数学试卷(文科)一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分).1已知某双曲线的方程为,则该双曲线的离心率为()ABCD2已知椭圆+1上一点P到右焦点的距离是1,则点P到左焦点的距离是()A2B4C21D413(文)若aR,则“a2a”是“a1”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,它的长轴长等于圆C:x2+y22x150的半径,则椭圆的标准方程是()A+1B+1C+y21D+15到两定点F1(3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹()A椭圆
2、B线段C双曲线D两条射线6已知函数f(x)x+lnx,则()A2BCD37直线l过抛物线C:y22px(p0)的焦点,且与C交于A,B两点,|AB|4,若AB的中点到y轴的距离为1,则p的值是()A1B2C3D48已知函数f(x)的图象与直线x+2y10相切于点(2,f(2),则f(2)+f(2)()A2B1C0D9已知f(x)x2+3xf(1),则f(2)()A1B2C4D810已知直线l1:4x3y+60和直线l2:x1,抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()AB2CD311双曲线C:1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点若|PO|PF|,则PF
3、O的面积为()ABC2D312已知F为抛物线C:y24x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A16B14C12D10二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13命题“xR,x2+x+10”的否定是 14椭圆1的左右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且F1PF290,则F1PF2的面积是 15已知抛物线yx2和直线xy20,则抛物线上的点到该直线的最短距离 16已知点M(1,1)和抛物线C:yx2,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若0,则k 三、解答题(本大题共6小题,共7
4、0分)17已知m0,p:(x+1)(x5)0,q:1mx1+m若m5,pq为真命题,pq为假命题,求实数x的取值范围18求适合下列条件的曲线的标准方程(1)a4,b5,焦点在y轴上的双曲线的标准方程;(2)焦点在y轴上,且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程19已知曲线yx2,(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程20设直线yx+b与椭圆相交于A,B两个不同的点(1)求实数b的取值范围;(2)当b1时,求21已知双曲线C的中心在原点,抛物线的焦点是双曲线C的一个焦点,且双曲线经过点,又知直线l:ykx+1与双曲线C相交于A、B两点(1)求双曲线C的方
5、程;(2)若,求实数k值22已知椭圆C:(ab0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为,且过点()求椭圆C的标准方程;()M,N,P,Q是椭圆C上的四个不同的点,两条都不与x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1,F2,且这两条直线互相垂直,求证:为定值参考答案一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分).1已知某双曲线的方程为,则该双曲线的离心率为()ABCD解:由双曲线方程可得:a225,b216,c2a2+b241,故选:A2已知椭圆+1上一点P到右焦点的距离是1,则点P到左焦点的距离是()A2B4C21D41解:设椭圆+1上一点P到左焦点的距离为x,点P到右焦点的距离是1,1+x4,解得
6、x41故选:D3(文)若aR,则“a2a”是“a1”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解:aR,当a2a时,即a1或a0,a1不一定成立当a1时,a2a成立,充分必要条件定义可判断:“a2a”是“a1”的必要不充分条件,故选:B4已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,它的长轴长等于圆C:x2+y22x150的半径,则椭圆的标准方程是()A+1B+1C+y21D+1解:x2+y22x150,(x1)2+y216,r42a,a2,e,c1,b23故选:A5到两定点F1(3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹()A椭圆B线段C双曲线D两条
7、射线解:F1(3,0)、F2(3,0)|F1F2|6故到两定点F1(3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是以F1(3,0)、F2(3,0)为端点的两条射线故选:D6已知函数f(x)x+lnx,则()A2BCD3解:根据题意,对于函数f(x),有f(2),又由f(x)x+lnx,则f(x)1+,则有f(2)1+;故选:B7直线l过抛物线C:y22px(p0)的焦点,且与C交于A,B两点,|AB|4,若AB的中点到y轴的距离为1,则p的值是()A1B2C3D4解:由题意设直线l方程:xmy+,A(x1,y1)B(x2,y2),联立直线与抛物线的方程可得:y22myp20,所
8、以y1+y22m,x1+x2m(y1+y2)2m2,由|AB|4可得x1+x2+p4,即2m2+p4,AB的中点的横坐标为m2,AB的中点到y轴的距离为1,所以m21,所以2+p4,解得p2,故选:B8已知函数f(x)的图象与直线x+2y10相切于点(2,f(2),则f(2)+f(2)()A2B1C0D解:由题意,f(2),又2+2f(2)10,f(2)则f(2)+f(2)故选:B9已知f(x)x2+3xf(1),则f(2)()A1B2C4D8解:根据题意,f(x)x2+3xf(1),其导数f(x)2x+3f(1),令x1可得:f(1)2+3f(1),变形可得f(1)1,则有f(x)2x3,f
9、(2)2231;故选:A10已知直线l1:4x3y+60和直线l2:x1,抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()AB2CD3解:设抛物线上的一点P的坐标为(a2,2a),则P到直线l2:x1的距离d2a2+1;P到直线l1:4x3y+60的距离d1则d1+d2a2+1当a时,P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选:B11双曲线C:1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点若|PO|PF|,则PFO的面积为()ABC2D3解:双曲线C:1的右焦点为F(,0),渐近线方程为:yx,不妨P在第一象限,可得tanPOF,P(,),所以PFO的面积为:故
10、选:A12已知F为抛物线C:y24x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A16B14C12D10解:方法一:如图,l1l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,由图象知要使|AB|+|DE|最小,则A与D,B与E关于x轴对称,即直线DE的斜率为1,又直线l2过点(1,0),则直线l2的方程为yx1,联立方程组,则y24y40,y1+y24,y1y24,|DE|y1y2|8,|AB|+|DE|的最小值为2|DE|16,方法二:设直线l1的倾斜角为,则l2的倾斜角为 +,根据焦点弦
11、长公式可得|AB|DE|AB|+|DE|+,0sin221,当45时,|AB|+|DE|的最小,最小为16,故选:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13命题“xR,x2+x+10”的否定是xR,x2+x+10解:命题“xR,x2+x+10“的否定是:xR,x2+x+10故答案为:xR,x2+x+1014椭圆1的左右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且F1PF290,则F1PF2的面积是1解:由椭圆定义,|PF1|+|PF2|2a4,即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|4a216,由勾股定理,|PF1|2+|PF2|24c212,|PF1|PF2|2(a2c2)
12、2b22,则F1PF2的面积S|PF1|PF2|b21故答案为:115已知抛物线yx2和直线xy20,则抛物线上的点到该直线的最短距离 【解答】解,由抛物线是一个二次函数,故转化为抛物线的切线与所给直线平行时,两平行线之间的距离,y2x,由直线xy20可得该直线的斜率为1,设切点为(x),则2x01,切点为(),故切线方程为:y(x)即xy0,d,故答案为:16已知点M(1,1)和抛物线C:yx2,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若0,则k解:抛物线C:yx2的焦点F(0,1),直线AB的方程为ykx+1,与抛物线x24y联立,可得x24kx40,设A(x1,),B(x2,),则
13、x1+x24k,x1x24,由0,即(1x1,1)(1x2,1)(1x1)(1x2)+(1+)(1+)x1x2(x1+x2)+2+44k+3+4k24k+10,解得k故答案为:三、解答题(本大题共6小题,共70分)17已知m0,p:(x+1)(x5)0,q:1mx1+m若m5,pq为真命题,pq为假命题,求实数x的取值范围解:当m5时,q:4x6,由(x+1)(x5)0,可得1x5,即P:1x5因为pq为真命题,pq为假命题,故p与q一真一假,若p真q假,则,该不等式组无解;若p假q真,则,得4x1或5x6综上所述,实数x的取值范围为x|4x1或5x618求适合下列条件的曲线的标准方程(1)a
14、4,b5,焦点在y轴上的双曲线的标准方程;(2)焦点在y轴上,且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程解:(1)由题意,设方程为,a4,b5,a216,b225,所以双曲线的标准方程是(2)焦点到准线的距离是2,2p4,当焦点在y轴上时,抛物线的标准方程为x24y或x24y19已知曲线yx2,(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程解:(1)函数f(x)x2,所以f(x)2x,所以直线的斜率kf(1)2,故直线的方程为y12(x1),整理得y2x1(2)设直线与曲线相切于点(x0,y0),即点(),则直线的斜率为k2x0,所以切线的方程为,由于曲线经过点
15、(3,5)所以,整理得x01或5,所以切点的坐标为(1,1)和(5,25),所以切线的方程为y2x1或y10x2520设直线yx+b与椭圆相交于A,B两个不同的点(1)求实数b的取值范围;(2)当b1时,求解:(1)将yx+b 代入,消去y,整理得3x2+4bx+2b220因为直线yx+b 与椭圆 相交于A,B 两个不同的点,16b212(2b22)248b20(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),当b1 时,方程为3x2+4x0解得此时(利用弦长公式也可以)21已知双曲线C的中心在原点,抛物线的焦点是双曲线C的一个焦点,且双曲线经过点,又知直线l:ykx+1与双曲线C相交于A、B两点(
16、1)求双曲线C的方程;(2)若,求实数k值解:(1)抛物线的焦点是(),则双曲线的即a2+b2(1分)设双曲线方程:解得:(2)联立方程:当(未写扣1分)由韦达定理:设即(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+10代入可得:,检验合格22已知椭圆C:(ab0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为,且过点()求椭圆C的标准方程;()M,N,P,Q是椭圆C上的四个不同的点,两条都不与x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1,F2,且这两条直线互相垂直,求证:为定值【解答】()解:由已知,得所以a22b2所以C:,即x2+2y22b2因为椭圆C过点,所以,得b24,a28所以椭圆C的方程为()证明:由()知椭圆C的焦点坐标为F1(2,0),F2(2,0)根据题意,可设直线MN的方程为yk(x+2),由于直线MN与直线PQ互相垂直,则直线PQ的方程为设M(x1,y1),N(x2,y2)由方程组消y得(2k2+1)x2+8k2x+8k280则 ,所以|MN|同理可得|PQ|所以