1、2020-2021学年四川省内江市威远中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1已知某双曲线的方程为，则该双曲线的离心率为（）ABCD2已知椭圆+1上一点P到右焦点的距离是1，则点P到左焦点的距离是（）A2B4C21D413（文）若aR，则“a2a”是“a1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆C：x2+y22x150的半径，则椭圆的标准方程是（）A+1B+1C+y21D+15到两定点F1（3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹（）A椭圆
2、B线段C双曲线D两条射线6已知函数f（x）x+lnx，则（）A2BCD37直线l过抛物线C：y22px（p0）的焦点，且与C交于A，B两点，|AB|4，若AB的中点到y轴的距离为1，则p的值是（）A1B2C3D48已知函数f（x）的图象与直线x+2y10相切于点（2，f（2），则f（2）+f（2）（）A2B1C0D9已知f（x）x2+3xf（1），则f（2）（）A1B2C4D810已知直线l1：4x3y+60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）AB2CD311双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点若|PO|PF|，则PF
3、O的面积为（）ABC2D312已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A16B14C12D10二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13命题“xR，x2+x+10”的否定是 14椭圆1的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且F1PF290，则F1PF2的面积是 15已知抛物线yx2和直线xy20，则抛物线上的点到该直线的最短距离 16已知点M（1，1）和抛物线C：yx2，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若0，则k 三、解答题（本大题共6小题，共7
4、0分）17已知m0，p：（x+1）（x5）0，q：1mx1+m若m5，pq为真命题，pq为假命题，求实数x的取值范围18求适合下列条件的曲线的标准方程（1）a4，b5，焦点在y轴上的双曲线的标准方程；（2）焦点在y轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程19已知曲线yx2，（1）求曲线在点P（1，1）处的切线方程；（2）求曲线过点P（3，5）的切线方程20设直线yx+b与椭圆相交于A，B两个不同的点（1）求实数b的取值范围；（2）当b1时，求21已知双曲线C的中心在原点，抛物线的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线经过点，又知直线l：ykx+1与双曲线C相交于A、B两点（1）求双曲线C的方
5、程；（2）若，求实数k值22已知椭圆C：（ab0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点（）求椭圆C的标准方程；（）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不与x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1已知某双曲线的方程为，则该双曲线的离心率为（）ABCD解：由双曲线方程可得：a225，b216，c2a2+b241，故选：A2已知椭圆+1上一点P到右焦点的距离是1，则点P到左焦点的距离是（）A2B4C21D41解：设椭圆+1上一点P到左焦点的距离为x，点P到右焦点的距离是1，1+x4，解得
6、x41故选：D3（文）若aR，则“a2a”是“a1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：aR，当a2a时，即a1或a0，a1不一定成立当a1时，a2a成立，充分必要条件定义可判断：“a2a”是“a1”的必要不充分条件，故选：B4已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆C：x2+y22x150的半径，则椭圆的标准方程是（）A+1B+1C+y21D+1解：x2+y22x150，（x1）2+y216，r42a，a2，e，c1，b23故选：A5到两定点F1（3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹（）A椭圆B线段C双曲线D两条
7、射线解：F1（3，0）、F2（3，0）|F1F2|6故到两定点F1（3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是以F1（3，0）、F2（3，0）为端点的两条射线故选：D6已知函数f（x）x+lnx，则（）A2BCD3解：根据题意，对于函数f（x），有f（2），又由f（x）x+lnx，则f（x）1+，则有f（2）1+；故选：B7直线l过抛物线C：y22px（p0）的焦点，且与C交于A，B两点，|AB|4，若AB的中点到y轴的距离为1，则p的值是（）A1B2C3D4解：由题意设直线l方程：xmy+，A（x1，y1）B（x2，y2），联立直线与抛物线的方程可得：y22myp20，所
8、以y1+y22m，x1+x2m（y1+y2）2m2，由|AB|4可得x1+x2+p4，即2m2+p4，AB的中点的横坐标为m2，AB的中点到y轴的距离为1，所以m21，所以2+p4，解得p2，故选：B8已知函数f（x）的图象与直线x+2y10相切于点（2，f（2），则f（2）+f（2）（）A2B1C0D解：由题意，f（2），又2+2f（2）10，f（2）则f（2）+f（2）故选：B9已知f（x）x2+3xf（1），则f（2）（）A1B2C4D8解：根据题意，f（x）x2+3xf（1），其导数f（x）2x+3f（1），令x1可得：f（1）2+3f（1），变形可得f（1）1，则有f（x）2x3，f
9、（2）2231；故选：A10已知直线l1：4x3y+60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）AB2CD3解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x1的距离d2a2+1；P到直线l1：4x3y+60的距离d1则d1+d2a2+1当a时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选：B11双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点若|PO|PF|，则PFO的面积为（）ABC2D3解：双曲线C：1的右焦点为F（，0），渐近线方程为：yx，不妨P在第一象限，可得tanPOF，P（，），所以PFO的面积为：故
10、选：A12已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A16B14C12D10解：方法一：如图，l1l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，由图象知要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B与E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为yx1，联立方程组，则y24y40，y1+y24，y1y24，|DE|y1y2|8，|AB|+|DE|的最小值为2|DE|16，方法二：设直线l1的倾斜角为，则l2的倾斜角为 +，根据焦点弦
11、长公式可得|AB|DE|AB|+|DE|+，0sin221，当45时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13命题“xR，x2+x+10”的否定是xR，x2+x+10解：命题“xR，x2+x+10“的否定是：xR，x2+x+10故答案为：xR，x2+x+1014椭圆1的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且F1PF290，则F1PF2的面积是1解：由椭圆定义，|PF1|+|PF2|2a4，即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|4a216，由勾股定理，|PF1|2+|PF2|24c212，|PF1|PF2|2（a2c2）
12、2b22，则F1PF2的面积S|PF1|PF2|b21故答案为：115已知抛物线yx2和直线xy20，则抛物线上的点到该直线的最短距离 【解答】解，由抛物线是一个二次函数，故转化为抛物线的切线与所给直线平行时，两平行线之间的距离，y2x，由直线xy20可得该直线的斜率为1，设切点为（x），则2x01，切点为（），故切线方程为：y（x）即xy0，d，故答案为：16已知点M（1，1）和抛物线C：yx2，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若0，则k解：抛物线C：yx2的焦点F（0，1），直线AB的方程为ykx+1，与抛物线x24y联立，可得x24kx40，设A（x1，），B（x2，），则
13、x1+x24k，x1x24，由0，即（1x1，1）（1x2，1）（1x1）（1x2）+（1+）（1+）x1x2（x1+x2）+2+44k+3+4k24k+10，解得k故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分）17已知m0，p：（x+1）（x5）0，q：1mx1+m若m5，pq为真命题，pq为假命题，求实数x的取值范围解：当m5时，q：4x6，由（x+1）（x5）0，可得1x5，即P：1x5因为pq为真命题，pq为假命题，故p与q一真一假，若p真q假，则，该不等式组无解；若p假q真，则，得4x1或5x6综上所述，实数x的取值范围为x|4x1或5x618求适合下列条件的曲线的标准方程（1）a
14、4，b5，焦点在y轴上的双曲线的标准方程；（2）焦点在y轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程解：（1）由题意，设方程为，a4，b5，a216，b225，所以双曲线的标准方程是（2）焦点到准线的距离是2，2p4，当焦点在y轴上时，抛物线的标准方程为x24y或x24y19已知曲线yx2，（1）求曲线在点P（1，1）处的切线方程；（2）求曲线过点P（3，5）的切线方程解：（1）函数f（x）x2，所以f（x）2x，所以直线的斜率kf（1）2，故直线的方程为y12（x1），整理得y2x1（2）设直线与曲线相切于点（x0，y0），即点（），则直线的斜率为k2x0，所以切线的方程为，由于曲线经过点
15、（3，5）所以，整理得x01或5，所以切点的坐标为（1，1）和（5，25），所以切线的方程为y2x1或y10x2520设直线yx+b与椭圆相交于A，B两个不同的点（1）求实数b的取值范围；（2）当b1时，求解：（1）将yx+b 代入，消去y，整理得3x2+4bx+2b220因为直线yx+b 与椭圆 相交于A，B 两个不同的点，16b212（2b22）248b20（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当b1 时，方程为3x2+4x0解得此时（利用弦长公式也可以）21已知双曲线C的中心在原点，抛物线的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线经过点，又知直线l：ykx+1与双曲线C相交于A、B两点（
16、1）求双曲线C的方程；（2）若，求实数k值解：（1）抛物线的焦点是（），则双曲线的即a2+b2（1分）设双曲线方程：解得：（2）联立方程：当（未写扣1分）由韦达定理：设即（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+10代入可得：，检验合格22已知椭圆C：（ab0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点（）求椭圆C的标准方程；（）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不与x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值【解答】（）解：由已知，得所以a22b2所以C：，即x2+2y22b2因为椭圆C过点，所以，得b24，a28所以椭圆C的方程为（）证明：由（）知椭圆C的焦点坐标为F1（2，0），F2（2，0）根据题意，可设直线MN的方程为yk（x+2），由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为设M（x1，y1），N（x2，y2）由方程组消y得（2k2+1）x2+8k2x+8k280则 ，所以|MN|同理可得|PQ|所以