1、45增长速度的比较46函数的应用(二)47数学建模活动：生长规律的描述最新课程标准掌握指数函数、对数函数、幂函数的增长速度，结合实例理解用函数构建数学模型的基本过程，学会用模型思想发现和提出问题，分析和解决问题的方法新知初探自主学习突出基础性知识点一常见的增长模型1线性函数模型线性函数模型ykxb(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变2指数函数模型能利用_表达的函数模型叫指数函数模型指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速度越来越快，常形象地称为指数爆炸3对数函数模型能用_表达的函数模型叫做对数函数模型，对数函数增长的特点是_，函数值增长速度_4幂函数模型幂函数yxn(n0)的
2、增长速度介于指数增长和对数增长之间状元随笔函数模型的选取(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型(3)幂函数模型yxn(n0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值越小(n1)时，增长较慢；n值较大(n1)时，增长较快知识点二数学建模1审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型2建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型3解模：求解数学模型，得出数学结论4还原：将数学问题还原为实际问题的意义状元随笔基础自测1.下列函数中，随x的增大，y的增
3、长速度最快的是()Ay1100ex By100 ln xCyx100 Dy1002x2某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是()A减少7.84% B增加7.84%C减少9.5% D不增不减3某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是()Ayaxb Byax2bxcCyaexb Dya ln xb4计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8 100元买的一台计算机，9年后的价格大约是_元课堂探究素养提升强化创新性题型1几类函数模型的增长差异经典例题例1(1)下列函数中，增长速度最快的是()
4、Ay2 018x Byx2 018Cylog2 018x Dy2 018x(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：x151015202530y1226101226401626901y22321 02432 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x呈指数型函数变化的变量是_【解析】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来
5、越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化【答案】(1)A(2)y2状元随笔(1)由题意，指数函数增长速度最快(2) 跟踪训练1分析指数函数y2x与对数函数ylog2x在区间1，)上的增长情况状元随笔在同一平面直角坐标系内作出函数y2x和ylog2x的图像，从图像上可观察出函数的增长变化情况如图：题型2指数、对数函数模型教材P42例2例2按照国务院关于印发“十三五”节能减排综合工作方案的通知(国发201674号)的要求，到2020年，全国二氧化硫排放总量要控制在1 580万吨以内，要比2015年下降15%.假设“十三五”期间每
6、一年二氧化硫排放总量下降的百分比都相等，2015年后第t(t0，1，2，3，4，5)年的二氧化硫排放总量最大值为f(t)万吨(1)求f(t)的解析式；(2)求2019年全国二氧化硫排放总量要控制在多少万吨以内(精确到1万吨)教材反思应用指数函数模型应注意的问题(1)指数函数模型的应用类型常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决(2)应用指数函数模型时的关键关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型(3)ya(1x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解跟踪训练2某公司为激励创新，计划逐年加
7、大研发资金投入若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg 1.120.05, lg 1.30.11，lg 20.30)A2018年 B2019年C2020年 D2021年题型3函数模型的选择问题经典例题例3某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y0.25x，
8、ylog7x1，y1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？状元随笔本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系由于公司总的利润目标为1 000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润于是，只需在区间10，1 000上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的25%，即y0.25x.不妨先画出函数图像，通过观察函数图像，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果方法归纳数学知识来源于客观实际，服务于实际问题数学是人们认识世界、改造世界的工具，其中函数是描述客观世界变化规律
9、的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述面临一个实际问题，选择合适的数学模型是一件非常重要的事情，根据三种不同的增长模型的特点，选择符合自己的模型，才能产生更大的经济效益跟踪训练3某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程厂里也暂时不准备增加设备和工人假如你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型： yaxb，yax2bxc，yabxc，你将利用哪一种
10、模型去估算以后几个月的产量？通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型45增长速度的比较46函数的应用(二)47数学建模活动：生长规律的描述新知初探自主学习知识点一2指数函数(底数a1)3对数函数(底数a1)随自变量的增大越来越慢基础自测1解析：指数函数增长速度快于幂函数幂函数增长速率快于对数函数答案：A2解析：设某商品原来价格为a，依题意得：a(10.2)2(10.2)2a1.220.820.921 6a，(0.921 61)a0.078 4a，所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%.答案：A3解析：由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数
11、模型是yax2bxc.答案：B4解析：设计算机价格平均每年下降p%，由题意可得13(1p%)3，p%11313，9年后的价格大约为y8 1001+1313-198 100133300(元)答案：300课堂探究素养提升跟踪训练1解析：指数函数y2x，当x由x11增加到x23时，x2x12，y2y123216；对数函数ylog2x，当x由x11增加到x23时，x2x12，而y2y1log23log211.585 0.由此可知，在区间1，)上，指数函数y2x随着x的增长函数值的增长速度快，而对数函数ylog2x的增长速度缓慢例2【解析】(1)设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比均为r，
12、因为f(0)表示2015年的排放总量，所以由题意可知f(t)f(0)(1r)t，t0，1，2，3，4，5.又因为f5=1 580，f5=f01-15%，所以f(0)31 60017，1r0.8515，从而f(t)31 600170.85t5，t0，1，2，3，4，5.(2)由(1)可知f(4)31 600170.85451 632，因此2019年全国二氧化硫排放总量要控制在1 632万吨以内跟踪训练2解析：设经过x年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则130(112%)x200，即1.12x21.3xlg21.3lg1.12lg2-lg1.3lg1.120.30-0.110.053
13、.8，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年答案：B例3【解析】借助信息技术画出函数y5，y0.25x，ylog7x1，y1.002x的图像(图1)观察图像发现，在区间10，1 000上，模型y0.25x，y1.002x的图像都有一部分在直线y5的上方，只有模型ylog7x1的图像始终在y5的下方，这说明只有按模型ylog7x1进行奖励时才符合公司的要求图1下面通过计算确认上述判断先计算哪个模型的资金总数不超过5万元对于模型y0.25x，它在区间10，1 000上单调递增，而且当x20时，y5，因此，当x20时，y5，所以该模型不符合要求；对于模型y1.002x，由函
14、数图像，并利用信息技术，可知在区间(805，806)内有一个点x0满足1.002x05，由于它在区间10，1 000上单调递增，因此当xx0时，y5，所以该模型也不符合要求；对于模型ylog7x1，它在区间10, 1 000上单调递增，而且当x1 000时，ylog71 00014.555，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求再计算按模型ylog7x1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x10，1 000时，是否有y0.25x，即log7x10.25x成立令f(x)log7x10.25x，x10，1 000，利用信息技术画出它的图像(图2)图2由图像可知函数f(x)在区间10，1 000上
15、单调递减，因此f(x)f(10)0.316 70，即log7x10.25x.所以，当x10，1 000时，y0.25x，说明按模型ylog7x1奖励，奖金不会超过利润25%.综上所述，模型ylog7x1确实能符合公司要求跟踪训练3解析：由题意，将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37)这4个数据(1)设模拟函数为yaxb时，将B，C两点的坐标代入函数式，得3a+b=1.3，2a+b=1.2，解得a=0.1，b=1.所以有关系式y0.1x1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1 000双，这是不太可能的(2)设模
16、拟函数为yax2bxc时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得a+b+c=1，4a+2b+c=1.2，9a+3b+c=1.3，解得a=-0.05，b=0.35，c=0.7.所以有关系式y0.05x20.35x0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图像开口向下，对称轴为x3.5)，不合实际(3)设模拟函数为yabxc时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得ab+c=1，ab2+c=1.2，ab3+c=1.3.由，得ab1c，代入，得b1-c+c=1.2，b21-c+c=1.3.则c=1.2-b1-b，c=1.3-b21-b2，解得b=0.5，c=1.4.则a1-cb0.8.所以有关系式y0.80.5x1.4.结论为：当把x4代入得y0.80.541.41.35.比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而该指数函数模型恰好反映了这种趋势因此选用指数函数y-0.80.5x1.4模拟比较接近客观实际
