1、 课时评价作业基础达标练1.在正四面体 中，点 分别是 的中点，则 与 的夹角为()A.B.C.D.答案：2.已知向量 和 的夹角为 ，且 ，则 ()A.12B.C.4D.13答案：3.（2021 山东烟台高二检测）已知 是两两垂直的单位向量，则 等于()A.14B.C.4D.2答案：4.（多选）设 是空间中三个任意的非零向量，且两两不共线，则下列结论中正确的是()A.B.C.不与 垂直D.答案：;5.如图，在平行六面体 中，则 ()A.1B.2C.D.答案：6.（2021 辽宁大连高二检测）如图，四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合 中的元素个
2、数为()A.1B.2C.4D.8答案：7.已知空间向量 满足 ，则 的值为.答案：-138.（2021 河北邯郸高二期末）已知 ，则以 为邻边的平行四边形 的对角线 的长为.答案：解析：易知 ，即 .9.已知 与 垂直，且 与 垂直，求 与 的夹角.答案：由题意知 ，.两式相减得 ，所以 ，代入上面两个式子中的任意一个，得 ，所以 ，所以 .素养提升练10.如图所示，正四面体 的棱长为 1，为 的中点，为 的中点，则 的长度为()A.B.C.D.答案：解析：，由题意可知，由空间向量数量积的定义可得 ，所以 ，故 .11.已知非零向量 满足 ，若 ，则实数 的值为.答案：-4解析：，即 ，解得
3、.即实数 的值为-4.12.已知空间向量 满足 ，与 垂直，若 ，则 .答案：13.在四面体 中，若 与 互余，则 的最大值为.答案：30解析：设 ，可得 ，则 为锐角，在四面体 中，则 ，其中 为锐角，且 .因为 ，所以 ，所以当 时，取得最大值 30.创新拓展练14.如图，长方体 中，、与底面所成的角分别为 和 ，点 为线段 上一点，则 的最小值为.答案：解析：命题分析本题考查了长方体的结构特征，直线与平面所成的角，空间向量的数量积及其几何意义.答题要领因为 平面 ，所以 ，根据 ，求出 ，又 可化为 ，所以只需求出 的最小值，即求直角三角形 的斜边 上的高即可得解.详析解析如图：因为 平面 ，所以 ，设 ，则 ，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，解得 （负值舍去），所以 ，则 ，又 平面 ，所以 ，所以 ，当 时，取得最小值，最小值为 ，所以 的最小值为 即 的最小值为 .方法感悟解决向量数量积的最小值问题需要恰当地利用平面几何的相关知识和数量积的几何意义求解.
