1、选修 42 矩阵与变换A最新考纲1了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系2了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示3理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质4理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵5理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.知 识 梳 理1矩阵的乘法规则(1)行矩阵a11 a12与列矩阵b11b21的乘法规则：a11 a12b11b21a11b11a12b21(2)二阶矩阵a11a21 a12a22与列向量x0y0的乘法规则：a11a21 a12a22 x0y0a11x0a12y0a21x0a
2、22y0.设 A 是一个二阶矩阵，、是平面上的任意两个向量，、1、2 是任意三个实数，则A()A；A()AA；A(12)1A2A.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：a11a21 a12a22 b11b21 b12b22a11b11a12b21a21b11a22b21 a11b12a12b22a21b12a22b22性质：一般情况下，ABBA，即矩阵的乘法不满足交换律；矩阵的乘法满足结合律，即(AB)CA(BC)；矩阵的乘法不满足消去律2矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵 A，B，若有 ABBAE，则称 A 是可逆的，B 称为 A 的逆矩阵若二阶矩阵 A
3、存在逆矩阵 B，则逆矩阵是唯一的，通常记 A 的逆矩阵为 A1，A1B.(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵 Aa bc d(detAadbc0)，它的逆矩阵为A1dadbc badbccadbc aadbc.(3)逆 矩 阵 与 二 元一次 方 程 组：如 果 关于 变 量 x，y 的二元 一 次 方 程 组axbym，cxdyn的系数矩阵 Aa bc d 可逆，那么该方程组有唯一解xy a bc d1mn，其中 A1dadbc badbccadbc aadbc.3二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使得 A，
4、那么 称为 A 的一个特征值，而 称为 A 的一个属于特征值 的一个特征向量(2)特征多项式与特征方程设 是二阶矩阵 Aa bc d 的一个特征值，它的一个特征向量为 xy，则 Axyxy，即xy 满足二元一次方程组axbyx，cxdyy，故axby0cxdy0 a bc d xy 00(*)则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式a bc d 0.记 f()a bc d 为矩阵 Aa bc d 的特征多项式；方程a bc d 0，即 f()0 称为矩阵 Aa bc d 的特征方程(3)特征值与特征向量的计算如果 是二阶矩阵 A 的特征值，则 是特征方程 f()a bc d 2(ad
5、)adbc0 的一个根解这个关于 的二元一次方程，得 1、2，将 1、2 分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解xx1，yy1，xx2，yy2，记 1x1y1，2x2y2.则 A111、A222，因此 1、2 是矩阵 Aa bc d 的特征值，1x1y1，2x2y2 为矩阵 A 的分别属于特征值 1、2 的一个特征向量诊 断 自 测1.1 00 1 57 _.解析 1 00 1 57 1507 0517 57.答案 572若 A12 1212 12，B 12 1212 12，则 AB_.解析 AB12 1212 12 12 1212 1212121212 1212 1212121212
6、12 1212 12120 00 0.答案 0 00 03设 A1 0 0 1，B0 11 0，则 AB 的逆矩阵为_解析 A11 0 0 1，B1 0 11 0(AB)1B1A1 0 11 0 1 0 0 1 0 11 0.答案 0 11 04函数 yx2 在矩阵 M1 00 14变换作用下的结果为_解析 1 00 14 xy x14yxy xx，y4y，代入 yx2，得 y14x2，即 y14x2.答案 y14x25若 A1 56 2，则 A 的特征值为_解析 A 的特征多项式 f()1 56 2(1)(2)302328(7)(4)，A 的特征值为 17，24.答案 7 和4考点一 矩阵与
7、变换【例 1】(2014苏州市自主学习调查)已知 a，b 是实数，如果矩阵 M2 ab 1 所对应的变换将直线 xy1 变换成 x2y1，求 a，b 的值解 设点(x，y)是直线 xy1 上任意一点，在矩阵 M 的作用下变成点(x，y)，则2 ab 1 xy xy，所以x2xay，ybxy.因为点(x，y)，在直线 x2y1 上，所以(22b)x(a2)y1，即22b1，a21，所以a3，b12.规律方法 理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键【训练 1】已知变换 S 把平面上的点 A(3,0)，B(2,1)分别变换为点 A(0,3)，B
8、(1，1)，试求变换 S 对应的矩阵 T.解 设 Ta cb d，则 T：30 xy a cb d 30 3a3b 03，解得a0，b1；T：21 xy a cb d 21 2ac2bd 11，解得c1，d3，综上可知 T0 11 3.考点二 二阶逆矩阵与二元一次方程组【例 2】已知矩阵 M2 31 1 所对应的线性变换把点 A(x，y)变成点 A(13,5)，试求 M 的逆矩阵及点 A 的坐标解 依题意得由 M2 31 1，得|M|1，故 M11 31 2.从而由2 31 1 xy 135得xy 11 32 1351133511325 23，故x2，y3，A(2，3)为所求规律方法 求逆矩阵
9、时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解在求逆矩阵时要重视(AB)1B1A1 性质的应用【训练 2】已知矩阵 A21 32，(1)求矩阵 A 的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识解方程组2x3y10，x2y30.解(1)法一 设逆矩阵为 A1ac bd，则由21 32 ac bd10 01，得2a3c1，2b3d0，a2c0，b2d1，解得a2，b3，c1，d2，A121 32.法二 由公式知若 Aac bd21 32，(2)已知方程组2x3y10，x2y30，可转化为2x3y1，x2y3，即 AXB，其中 A21 32，Xxy，B13，且由(1)，得 A121 32.因此，由 AXB，
10、同时左乘 A1，有A1AXA1B21 321375.即原方程组的解为x7，y5.考点三 求矩阵的特征值与特征向量【例 3】已知 aR，矩阵 A1a 21对应的线性变换把点 P(1,1)变成点 P(3,3)，求矩阵 A 的特征值以及每个特征值的一个特征向量解 由题意1a 21 113a133，得 a13，即 a2，矩阵 A 的特征多项式为f()12 21(1)24(1)(3)，令 f()0，所以矩阵 A 的特征值为 11，23.对于特征值 11，解相应的线性方程组xy0，2x2y0 得一个非零解x1，y1.因此，11是矩阵 A 的属于特征值 11 的一个特征向量；对于特征值 23，解相应的线性方
11、程组2x2y0，2x2y0得一个非零解x1，y1.因此，11是矩阵 A 的属于特征值 23 的一个特征向量规律方法 已知 Aac bd，求特征值和特征向量，其步骤为：(1)令 f()ac bd(a)(d)bc0，求出特征值；(2)列方程组axby0，cxdy0；(3)赋值法求特征向量，一般取 x1 或者 y1，写出相应的向量【训练 3】(2014扬州质检)已知矩阵 M31 13，求 M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量解 由矩阵 M 的特征多项式 f()31 13(3)210，解得 12，24，即为矩阵 M 的特征值设矩阵 M 的特征向量为xy，当 12 时，由 Mxy 2xy，可得xy0
12、，xy0.可令 x1，得 y1，111 是 M 的属于 12 的特征向量当 24 时，由 Mxy 4xy，可得xy0，xy0，取 x1，得 y1，2 11 是 M 的属于 24 的特征向量用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程【典例】二阶矩阵 M 对应的变换 T 将点(1，1)与(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2)(1)求矩阵 M；(2)设直线 l 在变换 T 作用下得到了直线 m：xy4，求 l 的方程审题视点(1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解(2)知道直线 l 在变换 T 作用下的直线 m，求原直线，可用坐标转移法解(1)设 Ma bc d，则a b
13、c d 11 11，a bc d 2 1 02，所以ab1，cd1，且2ab0，2cd2，解得a1，b2，c3，d4，所以 M1 23 4.(2)因为xy 1 23 4 xy x2y3x4y 且 m：xy4，所以(x2y)(3x4y)4，即 xy20，直线 l 的方程是 xy20.反思感悟(1)本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题(2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法.(3)本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误【自主体验】(2014南京金陵中学月考)求曲线 2x22xy10 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，
14、其中 M10 02，N 11 01.解 MN10 02 11 01 12 02.设 P(x，y)是曲线 2x22xy10 上任意一点，点 P 在矩阵 MN 对应的变换下变为点 P(x，y)，则xy 12 02 xy x2x2y，于是 xx，yxy2，代入 2x22xy10，得 xy1.所以曲线 2x22xy10 在 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为 xy1.一、填空题1已知变换 T：xy xy 3x4y5x6y，则该变换矩阵为_解析 x3x4y，y5x6y，可写成3 45 6 xy xy.答案 3 45 62计算3 75 8 21 等于_解析 3 75 8 21 327528 12.答案
15、 123矩阵5 00 1 的逆矩阵为_解析 5 00 1 5，5 00 1 的逆矩阵为15 00 1.答案 15 00 14若矩阵 A3 ab 13 把直线 l：2xy70 变换成另一直线 l：9xy910，则 a_，b_.解析 取 l 上两点(0,7)和(3.5,0)，则3 ab 13 07 7a91，3 ab 13 3.50 10.53.5b.由已知(7a,91)，(10.5,3.5b)在 l上，代入得 a0，b1.答案 0 15矩阵 M6 36 3 的特征值为_解析 f()6 36 3(6)(3)180.0 或 3.答案 0 或 36已知矩阵 M1 23 4，12，03，则 M(24)_
16、.解析 2424 012 28，M(24)1 23 4 28 1426.答案 14267曲线 C1：x22y21 在矩阵 M10 21的作用下变换为曲线 C2，则 C2 的方程为_解析 设 P(x，y)为曲线 C2 上任意一点，P(x，y)为曲线 x22y21 上与 P对应的点，则10 21 xyxy，即xx2y，yyxx2y，yy.因为 P是曲线 C1 上的点，所以 C2 的方程为(x2y)2y21.答案(x2y)2y218已知矩阵 A2 14 3，B4 13 1，则满足 AXB 的二阶矩阵 X 为_解析 由题意，得 A1 AXB，XA1B.答案 92 15 19已知矩阵 A 将点(1,0)
17、变换为(2,3)，且属于特征值 3 的一个特征向量是11，则矩阵 A 为_解析 设 Aac bd，由ac bd 1023，得a2，c3.由ac bd 1131133，得ab3，cd3.所以b1，d0.所以 A23 10.答案 23 10二、解答题10(2012江苏卷)已知矩阵 A 的逆矩阵 A1错误!，求矩阵 A 的特征值解 因为 AA1E，所以 A(A1)1.因为 A1错误!，所以 A(A1)1错误!，于是矩阵 A 的特征多项式为f()22 31234.令 f()0，解得 A 的特征值 11，24.11已知矩阵 A 1 a1 b，A 的一个特征值 2，其对应的特征向量是 121.(1)求矩阵
18、 A；(2)若向量 74，计算 A5 的值解(1)A 1 21 4.(2)矩阵 A 的特征多项式为 f()1 2 1 4 2560，得 12，23，当 12 时，121，当 23 时，得 211.由 m1n2，得2mn7，mn4，解得 m3，n1.A5A5(312)3(A51)A523(511)52232521 3511 435339.12(2012福建卷)设曲线 2x22xyy21 在矩阵 Aa 0b 1(a0)对应的变换作用下得到的曲线为 x2y21.(1)求实数 a，b 的值；(2)求 A2 的逆矩阵解(1)设曲线 2x22xyy21 上任意点 P(x，y)在矩阵 A 对应的变换作用下的像是 P(x，y)由xy a 0b 1 xy axbxy，得xax，ybxy.又点 P(x，y)在 x2y21 上，所以 x2y21，即 a2x2(bxy)21，整理得(a2b2)x22bxyy21，依题意得a2b22，2b2，解得a1，b1或a1，b1.因为 a0，所以a1，b1.(2)由(1)知，A1 01 1，A21 01 1 1 01 1 1 02 1.所以|A2|1，(A2)11 02 1.
