1、加练课5 三角函数化简与求值的解题技巧学习目标1.进一步掌握三角函数定义的应用.2.进一步掌握同角三角函数的基本关系的应用.3.进一步掌握诱导公式的应用.自主检测必备知识一、概念辨析，判断正误1.sin(+)=-sin 成立的条件是 为锐角.( )2.终边相同的角的同一三角函数值相等( )3.若sin(k-)=13(kZ) ，则sin=13 .( )4.对任意角,sin=costan 都成立.( )二、夯实基础，自我检测5.已知sin40=a ，则cos130 等于( )A.a B.-aC.1-a2 D.-1-a2答案：B6.（2021四川成都树德中学高一检测）已知角 的终边过点P(8cos6
2、0,6sin30) ，则tan= ( )A.45 B.35 C.34 D.34答案：C7.（2020北京师范大学遵义附属学校高一检测）tan83 的值为( )A.33 B.-33 C.3 D.-3答案：D8.sin=55 ，则sin2-2cos2 的值为 .答案：-75解析：因为sin=55 ，所以cos2=1-sin2=45,所以sin2-2cos2=15-245=-75 .9.若sin(+)+cos(2+)=-m ，则cos(32-)+2sin(6-) 的值为 .答案：-32m解析：因为sin(+)+cos(2+)=-m ，所以-sin-sin=-2sin=-m ，所以sin=m2 ，所以
3、cos(32-)+2sin(6-)=-sin-2sin=-3sin=-32m互动探究关键能力探究点一 用三角函数的定义求值精讲精练例1 已知角 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合.若P(4,y) 是角 的终边上一点，O 为坐标原点，且sin=-255 ，则y= .答案：-8解析：r=x2+y2=16+y2, 且sin=-255 ，所以sin=yr=y16+y2=-255 ，易知 为第四象限角，所以y=-8 .例2 利用三角函数的定义求23 的正弦、余弦和正切值.答案：如图所示，设23 的终边与单位圆的交点为P ，过P 作PBx 轴于点B ， 在OPB 中，|OP|=1,POB=3 ，
4、则|PB|=32,|OB|=12 ，则P(-12,32) ，所以sin23=32 ，cos23=-12 ，tan23=32-12=-3 .解题感悟给出角的终边上除原点处任意一点的坐标，利用定义可求出角的三角函数值.迁移应用1.若角 的终边在直线y=3x 上，且sin0 ，又P(m,n) 是角 的终边上一点，O 为坐标原点，且|OP|=10 ，求sin,cos,tan .答案：因为sin0 ，且角 的终边在直线y=3x 上，所以角 的终边在第三象限，又因为P(m,n) 为角 的终边上一点，所以m0,n0 .又因为n=3m,n2+m2=10, 所以n=-3,m=-1,所以sin=n|OP|=-31
5、0=-31010 ，cos=m|OP|=-110=-1010 ，tan=sincos=-31010-1010=3 .探究点二 利用同角三角函数的基本关系求值精讲精练类型1 用公式求值例1 （1）若sin=-513 ，且 为第四象限角，则tan 的值等于( )A.125 B.-125C.512 D.-512（2）已知 为第二象限角，则cos1+tan2+sin1+1tan2= .答案：（1）D （2）0解析：（1）因为 为第四象限角，所以cos=1-sin2=1-(-513)2=1213 ，所以tan=sincos=-5131213=-512 .故选D.（2）原式=cossin2+cos2cos
6、2+sinsin2+cos2sin2=cos1|cos|+sin1|sin| ，因为 是第二象限角，所以sin0,cos0 ，所以cos1|cos|+sin1|sin|=-1+1=0 .故原式=0.解题感悟利用sin2+cos2=1 可实现 的正弦、余弦的互化，利用sincos=tan 可以实现角 的弦切互化.类型2 齐次式问题例2 （1）已知tan=-12 ，则2sincossin2-cos2 的值是 .（2）已知sin+3cos3cos-sin=5 ，则sin2-sincos= .答案：（1）43 （2）25解析：（1）因为tan=-12 ，所以2sincossin2-cos2=2tant
7、an2-1=2(-12)(-12)2-1=43 .（2）依题意得tan+33-tan=5 ，所以tan=2 ，所以sin2-sincos=sin2-sincossin2+cos2=tan2-tantan2+1=22-222+1=25 .解题感悟关于sin ，cos 的齐次式问题，一般化为关于tan 的式子进行求解.类型3 利用sincos，sincos之间的关系求值例3 若ABC 的内角A 满足sinAcosA=13 ，则sinA+cosA 的值为( )A.153 B.-153 C.53 D.-53答案：A解析：因为A 为ABC 的内角，且sinAcosA=130 ，所以A 为锐角，所以sin
8、A+cosA0 .又(sinA+cosA)2=1+2sinAcosA=1+23=53 ，所以sinA+cosA=153 ，故选A.解题感悟已知sin+cos,sin-cos,sincos 中的任何一个，另外两个式子的值均可求出，即“知一求二”.迁移应用1.已知 是第四象限角，cos=1213 ，则sin= ( )A.513 B.-513 C.512 D.-512答案：B2.已知 是第三象限角，且sin4+cos4=59 ，则sincos 的值为( )A.23 B.-23 C.13 D.-13答案：A解析：由sin4+cos4=59 ，得(sin2+cos2)2-2sin2cos2=59,所以s
9、in2cos2=29 .因为 是第三象限角，所以sin0,cos0 ，所以sincos=23 .3.1-2sin130cos130sin130+1-sin2130= .答案：14.已知tan=-43 ，求：（1）sin-4cos5sin+2cos 的值;（2）1cos2-sin2 的值;（3）sin2+2sincos 的值.答案：（1）sin-4cos5sin+2cos=tan-45tan+2=-43-45(-43)+2=87 .（2）1cos2-sin2=sin2+cos2cos2-sin2=tan2+11-tan2=(-43)2+11-(-43)2=-257 .（3）sin2+2sinco
10、s=sin2+2sincossin2+cos2=tan2+2tantan2+1=169-83169+1=-825 .探究点三 用诱导公式求值精讲精练类型1 诱导公式的直接应用例1 （1）sin(-1200)cos1290+cos(-1020)sin(-1050)+tan945= .（2）已知f()=sin(-)cos(2-)sin(2+)tan(+) ，求f(313) .答案：（1）2解析：（1）原式=-sin1200cos1290+cos1020(-sin1050)+tan945=-sin120cos210+cos300(-sin330)+tan225=(-sin60)(-cos30)+co
11、s60sin30+tan45=(-32)(-32)+1212+1=2 .答案：（2）f()=sincoscostan=cos ，所以f(313)=cos313=cos(10+3)=cos3=12 .解题感悟诱导公式是三角变换的基本公式，应用时要注意整体把握，灵活变通.（1）公式一的作用在于把绝对值大于2的任一角的三角函数问题转化为绝对值小于2的角的三角函数问题.（2）公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函数.（3）公式二、四的作用在于把钝角或大于180 的角的三角函数转化为0 90之间的角的三角函数.（3）公式五、六的作用在于把2角的三角函数转化为角的三角函数类型2 “整体代换”的
12、应用例2 已知cos(6-)=33 ，则cos(56+)-sin2(-6) 的值为 .答案：-2+33解析：因为cos(56+)=cos-(6-)=-cos(6-)=-33 ，sin2(-6)=sin2(6-)=1-cos2(6-)=23,所以cos(56+)-sin2(-6)=-33-23=-2+33 .解题感悟在分析数学问题时，运用常规思考方法，解题过程可能会显得非常复杂，同时运算量也很大，甚至难以求出结果.而如果运用整体代换思想进行分析，将一些未知量的关系视为整体，进行代换就可以使原本复杂的问题变得简单，提高解题效率.例如例2用三角函数公式直接求sin、cos 的值较复杂，若把角6- 看
13、作一个整体，求cos2(-6) 、sin2(-6) ，则使得运算过程更简洁.迁移应用1.设tan(5+)=m ，则sin(-3)+cos(-)sin(-)-cos(+)= .答案：m+1m-1解析：因为tan(5+)=tan=m ，所以原式=-sin-cos-sin+cos=-tan-1-tan+1=-m-1-m+1=m+1m-1 .2.sin(1440+)cos(-1080)cos(-180-)sin(-180)= .答案：-1解析：原式=sin(4360+)cos(3360-)cos(180+)-sin(180+)=sincos(-)(-cos)sin=cos-cos=-1 .3.已知co
14、s(6-)=a ，则cos(56+)+sin(23-) 的值是 .答案：0解析：因为cos(56+)=cos-(6-)=-cos(6-)=-a ，sin(23-)=sin2+(6-)=cos(6-)=a ，所以cos(56+)+sin(23-)=0 .探究点四 用同角三角函数的基本关系式与诱导公式求值精讲精练例 设A 是三角形的内角，且sinA 和cosA 是关于x 的方程25x2-5ax-12a=0 的两个根（1）求a 的值;（2）求tan(2021+A) 的值.答案：（1）因为sinA 和cosA 是关于x 的方程25x2-5ax-12a=0 的两个根，所以由根与系数的关系得sinA+co
15、sA=15a,sinAcosA=-1225a,将式等号两边分别平方得sin2A+2sinAcosA+cos2A=125a2 ，即1-2425a=125a2 ，解得a=-25 或a=1 .当a=-25 时，sinA+cosA=-5 ，此等式显然不成立，故a=1 .（2）由A(0,) ，且sinAcosA0 ，得sinA0,cosA0 ，又由（1）知a=1 ，所以sinA=45,cosA=-35 .所以tan(2021+A)=tanA=sinAcosA=-43 .解题感悟利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形注意角的取值范围对三角函数
16、符号的影响.迁移应用1.已知sin(+3)=-23 ，则tan(-5-)cos(-2)sin(-3-)tan(-2)tan(72+)sin(-4+)+2tan(6-)cos(-+)= .答案：2解析：因为sin(+3)=-23 ，所以sin=23 ，所以原式=-tancossin-sin(2+)cos(2+)-sin(2-)cos(2-)sin+2(-tan)(-cos)=-tancossincossin-cossinsin+2(-tan)(-cos)=3sin ，所以原式=323=2 .评价检测素养提升课堂检测1.（2020江西南昌新建一中高一月考）如果角 的终边过点(2sin30,-2co
17、s30) ，那么sin 的值等于( )A.12 B.-12C.-32 D.-33答案：C2.（2020山东潍坊高一检测）设 是第二象限角，P(x,4) 为其终边上的一点，且cos=15x ，则tan= ( )A.-43 B.34 C.43 D.-34答案：A3.（2020广西南宁第三中学高一月考）已知cos(-6)=33 ，则sin(43+)= .答案：-33解析：设=-6 ，则=+6 ，故sin(43+)=sin(43+6)=sin(+32)=-cos=-33 .4.（2020吉林辽源第五中学高一月考）已知cos=13 ，且-20 ，则cos(-)sin(2+)tan(2-)sin(32-)
18、cos(2+)= .答案：-22解析：因为cos=13 ，且-20 ，所以sin=-1-(13)2=-223 ，所以cos(-)sin(2+)tan(2-)sin(32-)cos(2+)=-cossin(-tan)-cos(-sin)=tan=sincos=-22 .素养演练逻辑推理、数学运算分类讨论思想在三角函数化简求值中的应用1.已知kZ ，求sin(k-)cos(k-1)-sin(k+1)+cos(k+) 的值.答案：当k=2n(nZ) 时，原式=sin(2n-)cos(2n-1)-sin(2n+1)+cos(2n+)=sin(-)cos(-)sin(+)cos=-sin(-cos)-s
19、incos=-1=-sin(-cos)-sincos=-1 ；当k=2n+1(nZ) 时，原式=sin(2n+1)-cos(2n+1-1)-sin(2n+1+1)+cos(2n+1)+=sin(-)cossincos(+)=sincossin(-cos)=-1 .综上，原式=-1.素养探究：本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查运算求解的能力，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.迁移应用1.化简：sin(4k-14-)+cos(4k+14-)(kZ) .答案：当k 为奇数时，原式=sin(-4-)+cos(+4-)=sin(4+)-cos(4-)=sin2-(4-)-cos(4-)=cos(4-)-cos(4-)=0 .当k 为偶数时，原式=sin(2-4-)+cos(2+4-)=-sin(4+)+cos(4-)=-sin2-(4-)+cos(4-)=-cos(4-)+cos(4-)=0 .综上，原式=0.
