1、4.4 对数函数4.4.1 对数函数的概念课标解读课标要求素养要求1.通过具体实例，理解对数函数的概念.2.会求简单的对数型函数的定义域.数学抽象能通过具体实例领会对数函数的概念.自主学习必备知识教材研习教材原句一般地，函数y=logax（a0，且a1）叫做对数函数，其中 x 是自变量，定义域是 (0,+) .自主思考1.函数y=lnx 和y=lgx 的底数分别是什么？答案：提示 底数分别为e 和10.名师点睛在对数函数中，自变量是对数式中的真数，函数值为对数，这一点在运用对数时要谨记.当对数式中的底数为自变量时，此函数不是对数函数.互动探究关键能力探究点一 对数函数的概念精讲精练例（2020
2、北京临川学校高一期中）若函数y=(a2-4a+4)logax 是对数函数，则实数a 的值是 .答案：3解析：由题意得a2-4a+4=1,a0,a1a=3 .解题感悟 若一个函数是对数函数，则其必须是y=logax （a0 ，且a1 ）的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量x .迁移应用1.已知下列函数：y=log12(-x)(x1) ；y=lnx(x0) ；y=log(a2+a)x （x0 ，a 是常数）.其中一定为对数函数的是 （填序号）答案：解析：由对数函数的定义知，不是对数函数；对于，lnx 的系数为1，自变量是x ，故
3、是对数函数；对于，底数a2+a=(a+12)2-14 ，当a=-12 时，底数小于0，故一定不是对数函数.2.判断下列函数是不是对数函数.（1）y=log6x ；（2）y=logx3 ；（3）y=log2x+1 .答案：（1）符合对数函数的结构形式，是对数函数.（2）自变量在底数的位置上，故不是对数函数.（3）不符合对数函数的结构形式，故不是对数函数.探究点二 对数型函数的定义域精讲精练例 函数f(x)=log2(2x-1)x+1 的定义域是 .答案：(12,+)解析：由题意得2x-10,x+10, 解得x12 .故函数f(x) 的定义域是(12,+) .解题感悟解决对数型函数的定义域问题时，
4、除了要特别注意真数和底数，还要遵循前面学习过的求函数定义域的知识，比如函数解析式为分式（分母不能为0）、根式（根指数为偶数时，被开方数非负）等情形.迁移应用1.函数f(x)=log2(3-x) 的定义域为 .答案：(-,3)解析：由题意得3-x0 ，解得x0,x-30, 解得x2 且x3 ，所以函数f(x) 的定义域为(2,3)(3,+) .探究点三 对数函数的实际应用精讲精练例 某工厂生产一种溶液，市场要求其杂质含量不超过0.1% ，若开始时溶液中含杂质2% ，每过滤一次可使杂质含量减少13 ，则至少应过滤 次才能达到市场要求.（已知lg20.3010 ，lg30.4771 ）答案：8解析：
5、设过滤n 次时达到市场要求.由题意可得2%(1-13)n0.1% ，即(23)n120 ，nlg23lg120 ，n1+lg2lg3-lg27.4 .故至少应过滤8次才能达到市场要求.解题感悟解决此类问题时，应根据条件建立数学模型，先利用指数式和对数式的互化转化为对数式，再根据对数的运算性质及所给的数据计算求值.迁移应用1.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361 ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080 ，则下列各数中与MN 最接近的是（参考数据:lg30.48 ）( )A.10103 B.1093 C.1073 D.105答案：B解析：由题意得M3361 ，N108
6、0 ，根据对数的运算性质有3=10lg3100.48 ，所以M3361103610.4810173 ，所以MN10173-80=1093 .故选B .评价检测素养提升课堂检测1.下列函数是对数函数的是( )A.y=loga2x B.y=log22xC.y=log2x+1 D.y=lgx答案：D2.若某对数函数的图象过点(4,2) ，则该对数函数的解析式为 .答案：y=log2x3.（2020浙江台州启超中学高一期中）函数f(x)=log2(2-x)x-1 的定义域为 .答案：(-,1)(1,2)4.已知函数f(x)=log2x,x0,3x,x0, 则f(f(14)= .答案：19解析： 140 ，f(14)=log214=-2 ，f(f(14)=f(-2)=3-2=19 .素养演练数学运算求对数型函数的定义域1.函数f(x)=14-x+log2(x-2) 的定义域为 .答案： (2,4)解析： 由题意得4-x0,x-20, 解得2x0 ，解得x12 ，则x 的取值范围是(12,+) .2.函数f(x)=1x-2+lg(5-x) 的定义域为 .答案：(2,5)解析：由题意得x-20,5-x0, 解得2x5 ，则函数f(x) 的定义域为(2,5) .
