1、4.1.2 无理数指数幂及其运算性质课标解读课标要求素养要求1.认识实数指数幂（axa0a0 且a1 ，xR ）的含义.2.了解指数幂的拓展过程,掌握实数指数幂的运算性质.1.逻辑推理能推导分数指数幂的运算性质.2.数学运算能用指数幂的运算性质对代数式进行化简或求值.自主学习必备知识 教材研习教材原句要点一 无理数指数幂一般地，无理数指数幂a （a0 ，c 为无理数）是一个确定的 实数 .要点二 实数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r ，s ，均有下面的运算性质.（1）aras= ar+s(a0,r,sR) .（2）(ar)s= ars(a0,r,sR)
2、.（3）(ab)r= arbr(a0,b0,rR) .自主思考1.因为2 是无限不循环小数，所以(-1)2 是一个不确定的数，这个说法正确吗？答案：提示 不正确.2.计算：3(13)+(222)2+15答案：提示 原式=(313)+2222+1=1+24+1=18 .名师点睛1.因为aras=aras=ara-s=ar-s ，所以对于a0,r,sR,有aras=ar-s 成立.2.化简指数幂的几个常用技巧（1）(ba)-p=(ab)p(ab0);（2）a=(a1m)m,anm=(a1m)n(a 使式子有意义）;（3）1的代换,如1=a-1a,1=a-12a12(a 使式子有意义）等;（4）乘法
3、公式的常见变形,如(a12+b12)(a12-b12)=a-b,(a12b12)2=a2a12b12+b,(a13b13)(a23a13b13+b23)=ab 均使（a,b 式子有意义）.互动探究关键能力探究点一 实数指数幂的运算自测自评1.计算:3(-4)3-(12)0+0.2512(-12)-6 .答案： 原式=-4-1+0.5(-2)6=-1 .2.化简：(a23)23bba-13b12 （其中a0,b0).答案： 原式=a23b12a-13b12=a .3.a23b12(-3a12b13)(13a16b56) .答案：原式=-9a23+12-16b12+13-56=-9a .解题感悟在
4、进行幂和根式的化简时,一般原则是：先将负指数幂化为正指数幂，将小数化为分数，将根式化为分数指数幂，将底数化成指数幂的形式，再利用幂的运算性质在系数、同底数幂间进行运算，达到化简和求值的目的探究点二 条件求值问题精讲精练 例 已知x+x-1=3, 求x2+x-2 的值.答案： (x+x-1)2=x2+x-2+2,x+x-1=3 ，x2+x-2=(x+x-1)2-2=9-2=7 .解题感悟利用整体代换法求分数指数幂（1）整体代换法是计算常用的方法技巧，分析条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是解题关键.（2）利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题时，常常运用完全平方式及其变形公式求解.迁移应用1.
5、（变结论）若不改变例题中的条件,求x4+x-4,x2-x-2 的值.答案： 由例题解析知x2+x-2=7 ，x4+x-4=(x2+x-2)2-2=47 ，(x2-x-2)2=x4-2+x-4=45 ，x2-x-2=35 .2.（变条件）若将例题中的条件变为x-x-1=3 ，求x2+x-2 的值.答案： (x-x-1)2=x2+x-2-2=9 ，x2+x-2=11 .见学用76页评价检测素养提升课堂检测1.2353= ( )A.103 B.103 C.310 D.73答案： B解析：由实数指数幂的运算性质(ab)n=anbn 知,2353=(25)3=103 .2.（）（2020江苏太湖高级中学
6、高一期中）已知a12+a-12=4 ，则a2-a-2a-a-1 的值是( )A.2B.4C.14D.16答案：C解析：因为a12+a-12=4 ，所以(a12+a-12)2=42 ，即a+a-1+2=16 ，所以a+a-1=14 ，所以a2-a-2a-a-1=(a+a-1)(a-a-1)a-a-1=a+a-1=14 ，故选C.3.若a0 ，且ax=3 ，ay=5 ，则a2x+y2= .答案： 95解析： 因为a0 ，ax=3 ，ay=5 ，所以a2x+y2=(ax)2(ay)12=32512=95.4.（1）计算：(279)12-(23-)0-(21027)-13+0.25-32;（2）化简：
7、5a-23b12(-14a-1b12)(-56a13b-16) .答案： （1）原式=(259)12-1-(6427)-13+(14)-32=(53)212-1-(43)3-13+(12)2-32=53-1-34+8=9512 .（2）原式=5(-4)(-65)a-23-(-1)-13b12-12-(-16)=24a0b16=24b16 .素养演练 逻辑推理运用指数幂运算公式求值1.已知a0 ，b0 ，且ab=ba ，b=9a ，求a 的值.答案： ab=ba,b=9a ，a9a=(9a)a ，即(a9)a=(9a)a ，a9=9a,a8=9,a=43 .素养探究：指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则对指数变形，以达到代入、消元等目的，从而考查了逻辑推理的核心素养.迁移应用 1.已知67x=27 ，603y=81 ，求3x-4y 的值.答案： 由67x=33 ，得67=33x ，由603y=81 ，得603=34y ，34y-3x=60367=9=32 ，4y-3x=2 ,故3x-4y=-2 .
