1、第二章 平面向量章末综合检测(二)第二章 平面向量一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1化简AB BD AC CD 等于()AAD B0CBCDDA解析:选 B.AB BD AC CD AD(AC CD)AD AD 0.第二章 平面向量2已知MA(2,4),MB(2,6),则12AB()A(0,5)B(0,1)C(2,5)D(2,1)解析:选 D.因为AB MB MA(4,2),所以12AB(2,1)第二章 平面向量3设非零向量 a、b、c 满足|a|b|c|,abc,则a,b()A150B120C60D30解析:选 B.由题意可得
2、,c 为 a,b 的和向量,如图所示,OA a,OB b,OC cab,由|a|b|c|得,OAC 为等边三角形,所以a,bAOCBOC6060120.第二章 平面向量4下列说法正确的是()A(ab)ca(bc)Bacbc 且 c0,则 abC若 a0,ab0,则 b0D|ab|a|b|解析:选 D.对于 A,向量的数量积不满足结合律;对于 B,向量的数量积不满足消去律;对于 C,只要 a 与 b 垂直时就有 ab0;对于 D,由数量积定义有|ab|a|b|cos|a|b|,这里 是 a 与 b 的夹角,只有 0 或 时,等号成立第二章 平面向量5设向量 a(1,0),b(12,12),则下列
3、结论中正确的是()A|a|b|Bab 22Cab 与 b 垂直Dab解析:选 C.a(1,0),b(12,12),所以|a|1,|b|141422,所以 A 错误;因为 ab11201212,所以 B 错误;因为 ab(12,12),所以(ab)b121212120,所以 C 正确;因为 112012120,所以 D 错误第二章 平面向量6已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(1,2),C(3,1),且BC 2AD,则顶点 D 的坐标为()A2,72B2,12C(3,2)D(1,3)解析:选 A.设点 D 的坐标为(x,y),由BC 2AD 可得(4,3)2(x,y2),所以2x
4、42(y2)3,解之得x2y72,所以点 D 的坐标为2,72.第二章 平面向量7a,b 为平面向量,已知 a(4,3),2ab(3,18),则 a,b 夹角的余弦值等于()A 865B 865C1665D1665解析:选 C.因为 a(4,3),所以 2a(8,6)又 2ab(3,18),所以 b(5,12),所以 ab203616.又|a|5,|b|13,所以 cosa,b 165131665.第二章 平面向量8若AB BC|AB|20,则ABC 为()A直角三角形B钝角三角形C锐角三角形D等腰直角三角形解析:选 A.0AB BC|AB|2AB(BC AB)AB AC,所以AB AC,所以
5、BAC90.故选 A.第二章 平面向量9在ABC 中,若|AB|1,|AC|3,|AB AC|BC|,则AB BC|BC|()A 32B12C12D 32解析:选 B.由向量的平行四边形法则,知当|AB AC|BC|时,A90.又|AB|1,|AC|3,故B60,C30,|BC|2,所以AB BC|BC|AB|BC|cos 120|BC|12.第二章 平面向量10已知平面上不共线的四点 O、A、B、C,若OA 4OB 3OC0,则|AB|AC|()A43B12C2D34第二章 平面向量解析:选 D.OA 4OB 3OC(OA OB)3(OC OB)0,得BA 3CB,如图所示,|AB|AC|3
6、4.第二章 平面向量11点 P 在平面上做匀速直线运动,速度向量 v(4,3)(即点 P 的运动方向与 v 相同,且每秒移动的距离为|v|个单位),设开始时 P 的坐标为(10,10),则 5 秒后 P 的坐标为()A(2,4)B(30,25)C(10,5)D(5,10)解析:选 C.设 5 秒后 P 的坐标为(x,y),则由已知得 x104510,y10(3)55.所以 P(10,5)第二章 平面向量12设 A1,A2,A3,A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若A1A3 A1A2(R),A1A4 A1A2(R),且112,则称A3,A4 调和分割 A1,A2,已知点 C(c,0),D(
7、d,0),(c,dR)调和分割点 A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是()AC 可能是线段 AB 的中点BD 可能是线段 AB 的中点CC,D 可能同时在线段 AB 上DC,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上第二章 平面向量解析:选 D.依题意,若点 C,D 调和分割点 A,B,则有AC AB,AD AB,且112.若 C 是线段 AB 的中点,则有AC12AB,此时 12.又112,所以10,不可能成立因此A 不对,同理 B 不对 第二章 平面向量当 C,D 同时在线段 AB 上时,由AC AB,AD AB 知 01,02,与已知条件112 矛盾,因此 C 不对 若 C,D 同
8、时在线段 AB 的延长线上,则AC AB 时,1,ADAB 时,1,此时112,与已知112 矛盾,故 C,D不可能同时在线段 AB 的延长线上第二章 平面向量二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分13与向量 a(1,1)平行的单位向量为_解析:与 a 平行的单位向量为 a|a|22,22.答案:22,22 或 22,22第二章 平面向量14已知向量 a,b 满足(a2b)(ab)6,且|a|1,|b|2,则 a 与 b 的夹角为_解析:由(a2b)(ab)6 得 a22b2ab6.因为|a|1,|b|2,所以 1222212cosa,b6,所以 cosa,b12.因为a,b0,所以a,
9、b3.答案:3第二章 平面向量15在平面直角坐标系 xOy 中,四边形 ABCD 的边 ABDC,ADBC,已知点 A(2,0),B(6,8),C(8,6),则 D 点的坐标为_解析:因为四边形 ABCD 的边 ABDC,ADBC,所以四边形 ABCD 为平行四边形,所以AB DC,设 D(x,y),又因为AB(8,8),DC(8x,6y),所以8x86y8,所以x0y2,所以 D 点的坐标为(0,2)答案:(0,2)第二章 平面向量16关于平面向量 a,b,c,有下列三个命题:若 abac,则 bc;若 a(1,k),b(2,6),ab,则 k3;非零向量 a 和 b 满足|a|b|ab|,
10、则 a 与 ab 的夹角为60.其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)第二章 平面向量解析:当 a0 时,不成立;对于,若 ab,则2k6,所以 k3,成立;对于,由于|a|b|ab|,则以|a|,|b|为邻边的平行四边形为菱形,如图 易知BAD60,AC ab,由菱形的性质可知,a 与 ab 的夹角为BAC30,不成立 答案:第二章 平面向量三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 10 分)已知 O,A,B 是平面上不共线的三点,直线 AB 上有一点 C,满足 2AC CB 0,(1)用OA,OB 表示OC;(2)若点 D 是 OB 的中点,证明四边形 OC
11、AD 是梯形解:(1)因为 2AC CB 0,所以 2(OC OA)(OB OC)0.所以 2OC 2OA OB OC 0.所以OC 2OA OB.第二章 平面向量(2)证明:如图,DA DO OA 12OB OA 12(2OA OB)故DA 12OC,所以 DAOC 且 DAOC,故四边形 OCAD 为梯形第二章 平面向量18(本小题满分 12 分)已知 A(2,4),B(3,1),C(3,4),且CM 3CA,CN 2CB,求点 M,N 及MN 的坐标解:因为 A(2,4),B(3,1),C(3,4)所以CA(1,8),CB(6,3),所以CM 3CA(3,24),CN 2CB(12,6)
12、设 M(x,y),则有CM(x3,y4),所以x33,y424,所以x0,y20.即 M(0,20)同理可求得 N(9,2),因此MN(9,18),故所求点 M,N的坐标分别为(0,20),(9,2),MN 的坐标为(9,18)第二章 平面向量19(本小题满分 12 分)已知直角梯形 ABCD 中,ADBC,ADC90,AD2,BC1,P 是腰 DC 上的动点,求|PA3PB|的最小值解:法一:以 D 为原点,分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设 DCa,DPx.第二章 平面向量所以 D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),P
13、A(2,x),PB(1,ax),所以PA3PB(5,3a4x),|PA3PB|225(3a4x)225,所以|PA3PB|的最小值为 5.第二章 平面向量法二:设DP xDC(0 x1),所以PC(1x)DC,因为PADA DP DA xDC,PBPCCB(1x)DC 12DA,所以PA3PB52DA(34x)DC,所以|PA3PB|2254|DA|2252(34x)DA DC(34x)2|DC|225(34x)2|DC|225,所以|PA3PB|的最小值为 5.第二章 平面向量20(本小题满分 12 分)已知向量 a,b 不共线,ckab,dab,(1)若 cd,求 k 的值,并判断 c,d
14、 是否同向;(2)若|a|b|,a 与 b 夹角为 60,当 k 为何值时,cd?解:(1)cd,故可设 cd,即 kab(ab)又 a,b 不共线,所以k,1.得1,k1.即 cd,故 c 与 d 反向 第二章 平面向量(2)cd(kab)(ab)ka2kababb2(k1)a2(1k)|a|2cos 60,又 cd,故(k1)a21k2 a20.即(k1)1k2 0,解得 k1.即 k1 时,cd.第二章 平面向量21(本小题满分 12 分)已知|F1|F2|F3|a(a0),且两两向量的夹角相等,求|F1F2F3|的值解:因为向量 F1,F2,F3 两两向量的夹角相等,当三个向量共线且同
15、向时,两两向量的夹角均为 0,于是有F1F2F3,故|F1F2F3|3|F1|3a.设三个向量两两的夹角为,则 2,所以 23.又因为|F1|F2|F3|a0,所以 F21F22F23a2,且三个向量均非零 第二章 平面向量所以 F1F2F2F3F1F3a2cos23 12a2.所以|F1F2F3|2F21F22F232(F1F2F1F3F2F3)3a22312a2 0.所以|F1F2F3|0.综上所述,所求值为 3a 或 0.第二章 平面向量22(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点A(1,2),B(2,3),C(2,1)(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数 t 满足(AB tOC)OC 0,求 t 的值第二章 平面向量解:(1)由题设知AB(3,5),AC(1,1),则AB AC(2,6),AB AC(4,4)所以|AB AC|2 10,|AB AC|4 2.故所求的两条对角线的长分别为 4 2,2 10.(2)由题设知OC(2,1),则AB tOC(32t,5t)由(AB tOC)OC 0,得(32t,5t)(2,1)0,从而 5t11,所以 t115.第二章 平面向量本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放