1、第二章 平面向量章末综合检测(二)第二章 平面向量一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1化简AB BD AC CD 等于()AAD B0CBCDDA解析：选 B.AB BD AC CD AD(AC CD)AD AD 0.第二章 平面向量2已知MA(2，4)，MB(2，6)，则12AB()A(0，5)B(0，1)C(2，5)D(2，1)解析：选 D.因为AB MB MA(4，2)，所以12AB(2，1)第二章 平面向量3设非零向量 a、b、c 满足|a|b|c|，abc，则a，b()A150B120C60D30解析：选 B.由题意可得
2、，c 为 a，b 的和向量，如图所示，OA a，OB b，OC cab，由|a|b|c|得，OAC 为等边三角形，所以a，bAOCBOC6060120.第二章 平面向量4下列说法正确的是()A(ab)ca(bc)Bacbc 且 c0，则 abC若 a0，ab0，则 b0D|ab|a|b|解析：选 D.对于 A，向量的数量积不满足结合律；对于 B，向量的数量积不满足消去律；对于 C，只要 a 与 b 垂直时就有 ab0；对于 D，由数量积定义有|ab|a|b|cos|a|b|，这里 是 a 与 b 的夹角，只有 0 或 时，等号成立第二章 平面向量5设向量 a(1，0)，b(12，12)，则下列
3、结论中正确的是()A|a|b|Bab 22Cab 与 b 垂直Dab解析：选 C.a(1，0)，b(12，12)，所以|a|1，|b|141422，所以 A 错误；因为 ab11201212，所以 B 错误；因为 ab(12，12)，所以(ab)b121212120，所以 C 正确；因为 112012120，所以 D 错误第二章 平面向量6已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，2)，B(1，2)，C(3，1)，且BC 2AD，则顶点 D 的坐标为()A2，72B2，12C(3，2)D(1，3)解析：选 A.设点 D 的坐标为(x，y)，由BC 2AD 可得(4，3)2(x，y2)，所以2x
4、42（y2）3，解之得x2y72，所以点 D 的坐标为2，72.第二章 平面向量7a，b 为平面向量，已知 a(4，3)，2ab(3，18)，则 a，b 夹角的余弦值等于()A 865B 865C1665D1665解析：选 C.因为 a(4，3)，所以 2a(8，6)又 2ab(3，18)，所以 b(5，12)，所以 ab203616.又|a|5，|b|13，所以 cosa，b 165131665.第二章 平面向量8若AB BC|AB|20，则ABC 为()A直角三角形B钝角三角形C锐角三角形D等腰直角三角形解析：选 A.0AB BC|AB|2AB(BC AB)AB AC，所以AB AC，所以
5、BAC90.故选 A.第二章 平面向量9在ABC 中，若|AB|1，|AC|3，|AB AC|BC|，则AB BC|BC|()A 32B12C12D 32解析：选 B.由向量的平行四边形法则，知当|AB AC|BC|时，A90.又|AB|1，|AC|3，故B60，C30，|BC|2，所以AB BC|BC|AB|BC|cos 120|BC|12.第二章 平面向量10已知平面上不共线的四点 O、A、B、C，若OA 4OB 3OC0，则|AB|AC|()A43B12C2D34第二章 平面向量解析：选 D.OA 4OB 3OC(OA OB)3(OC OB)0，得BA 3CB，如图所示，|AB|AC|3
6、4.第二章 平面向量11点 P 在平面上做匀速直线运动，速度向量 v(4，3)(即点 P 的运动方向与 v 相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)，设开始时 P 的坐标为(10，10)，则 5 秒后 P 的坐标为()A(2，4)B(30，25)C(10，5)D(5，10)解析：选 C.设 5 秒后 P 的坐标为(x，y)，则由已知得 x104510，y10（3）55.所以 P(10，5)第二章 平面向量12设 A1，A2，A3，A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3 A1A2(R)，A1A4 A1A2(R)，且112，则称A3，A4 调和分割 A1，A2，已知点 C(c，0)，D(
7、d，0)，(c，dR)调和分割点 A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是()AC 可能是线段 AB 的中点BD 可能是线段 AB 的中点CC，D 可能同时在线段 AB 上DC，D 不可能同时在线段 AB 的延长线上第二章 平面向量解析：选 D.依题意，若点 C，D 调和分割点 A，B，则有AC AB，AD AB，且112.若 C 是线段 AB 的中点，则有AC12AB，此时 12.又112，所以10，不可能成立因此A 不对，同理 B 不对 第二章 平面向量当 C，D 同时在线段 AB 上时，由AC AB，AD AB 知 01，02，与已知条件112 矛盾，因此 C 不对 若 C，D 同
8、时在线段 AB 的延长线上，则AC AB 时，1，ADAB 时，1，此时112，与已知112 矛盾，故 C，D不可能同时在线段 AB 的延长线上第二章 平面向量二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分13与向量 a(1，1)平行的单位向量为_解析：与 a 平行的单位向量为 a|a|22，22.答案：22，22 或 22，22第二章 平面向量14已知向量 a，b 满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则 a 与 b 的夹角为_解析：由(a2b)(ab)6 得 a22b2ab6.因为|a|1，|b|2，所以 1222212cosa，b6，所以 cosa，b12.因为a，b0，所以a，
9、b3.答案：3第二章 平面向量15在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 的边 ABDC，ADBC，已知点 A(2，0)，B(6，8)，C(8，6)，则 D 点的坐标为_解析：因为四边形 ABCD 的边 ABDC，ADBC，所以四边形 ABCD 为平行四边形，所以AB DC，设 D(x，y)，又因为AB(8，8)，DC(8x，6y)，所以8x86y8，所以x0y2，所以 D 点的坐标为(0，2)答案：(0，2)第二章 平面向量16关于平面向量 a，b，c，有下列三个命题：若 abac，则 bc；若 a(1，k)，b(2，6)，ab，则 k3；非零向量 a 和 b 满足|a|b|ab|，
10、则 a 与 ab 的夹角为60.其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)第二章 平面向量解析：当 a0 时，不成立；对于，若 ab，则2k6，所以 k3，成立；对于，由于|a|b|ab|，则以|a|，|b|为邻边的平行四边形为菱形，如图 易知BAD60，AC ab，由菱形的性质可知，a 与 ab 的夹角为BAC30，不成立 答案：第二章 平面向量三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 10 分)已知 O，A，B 是平面上不共线的三点，直线 AB 上有一点 C，满足 2AC CB 0，(1)用OA，OB 表示OC；(2)若点 D 是 OB 的中点，证明四边形 OC
11、AD 是梯形解：(1)因为 2AC CB 0，所以 2(OC OA)(OB OC)0.所以 2OC 2OA OB OC 0.所以OC 2OA OB.第二章 平面向量(2)证明：如图，DA DO OA 12OB OA 12(2OA OB)故DA 12OC，所以 DAOC 且 DAOC，故四边形 OCAD 为梯形第二章 平面向量18(本小题满分 12 分)已知 A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)，且CM 3CA，CN 2CB，求点 M，N 及MN 的坐标解：因为 A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)所以CA(1，8)，CB(6，3)，所以CM 3CA(3，24)，CN 2CB(12，6)
12、设 M(x，y)，则有CM(x3，y4)，所以x33，y424，所以x0，y20.即 M(0，20)同理可求得 N(9，2)，因此MN(9，18)，故所求点 M，N的坐标分别为(0，20)，(9，2)，MN 的坐标为(9，18)第二章 平面向量19(本小题满分 12 分)已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P 是腰 DC 上的动点，求|PA3PB|的最小值解：法一：以 D 为原点，分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 DCa，DPx.第二章 平面向量所以 D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，P
13、A(2，x)，PB(1，ax)，所以PA3PB(5，3a4x)，|PA3PB|225(3a4x)225，所以|PA3PB|的最小值为 5.第二章 平面向量法二：设DP xDC(0 x1)，所以PC(1x)DC，因为PADA DP DA xDC，PBPCCB(1x)DC 12DA，所以PA3PB52DA(34x)DC，所以|PA3PB|2254|DA|2252(34x)DA DC(34x)2|DC|225(34x)2|DC|225，所以|PA3PB|的最小值为 5.第二章 平面向量20(本小题满分 12 分)已知向量 a，b 不共线，ckab，dab，(1)若 cd，求 k 的值，并判断 c，d
14、 是否同向；(2)若|a|b|，a 与 b 夹角为 60，当 k 为何值时，cd?解：(1)cd，故可设 cd，即 kab(ab)又 a，b 不共线，所以k，1.得1，k1.即 cd，故 c 与 d 反向 第二章 平面向量(2)cd(kab)(ab)ka2kababb2(k1)a2(1k)|a|2cos 60，又 cd，故(k1)a21k2 a20.即(k1)1k2 0，解得 k1.即 k1 时，cd.第二章 平面向量21(本小题满分 12 分)已知|F1|F2|F3|a(a0)，且两两向量的夹角相等，求|F1F2F3|的值解：因为向量 F1，F2，F3 两两向量的夹角相等，当三个向量共线且同
15、向时，两两向量的夹角均为 0，于是有F1F2F3，故|F1F2F3|3|F1|3a.设三个向量两两的夹角为，则 2，所以 23.又因为|F1|F2|F3|a0，所以 F21F22F23a2，且三个向量均非零 第二章 平面向量所以 F1F2F2F3F1F3a2cos23 12a2.所以|F1F2F3|2F21F22F232(F1F2F1F3F2F3)3a22312a2 0.所以|F1F2F3|0.综上所述，所求值为 3a 或 0.第二章 平面向量22(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数 t 满足(AB tOC)OC 0，求 t 的值第二章 平面向量解：(1)由题设知AB(3，5)，AC(1，1)，则AB AC(2，6)，AB AC(4，4)所以|AB AC|2 10，|AB AC|4 2.故所求的两条对角线的长分别为 4 2，2 10.(2)由题设知OC(2，1)，则AB tOC(32t，5t)由(AB tOC)OC 0，得(32t，5t)(2，1)0，从而 5t11，所以 t115.第二章 平面向量本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放