1、专题强化练1数列通项公式的求法一、选择题1.()数列2,5,22,11,的一个通项公式是() A.an=3n-3B.an=3n-1C.an=3n+1D.an=3n+32.(2019吉林舒兰一中高二月考,)数列an中,a1=1,且an+1=an+2n,则a9=()A.1 024B.1 023C.510D.5113.(2021河南郑州九校高二上联考,)在数列an中,a1=12,an=1-1an-1(n2,nN+),则a2 020=()A.12B.1C.-1D.24.(2020四川绵阳南山中学高三上月考,)在数列an中,已知a1=2,an=2an-1an-1+2(n2),则an等于(深度解析)A.2
2、n+1B.2nC.3nD.3n+15.()已知数列an中,前n项和为Sn,且Sn=n+23an,则anan-1的最大值为()A.-3B.-1C.3D.16.()已知数列an的首项a1=a,其前n项和为Sn,且满足Sn+Sn-1=4n2(n2,nN+),若对任意nN+,anan+1恒成立,则a的取值范围是()A.-,163B.5,163C.3,163D.(3,5)二、填空题7.(2021广西岑溪第一中学高二上月考,)若数列an满足a1a2a3an=n2+3n+2,则数列an的通项公式为.深度解析8.(2021吉林长春外国语学校高二上开学考试,)设数列an中,a1=2,an+1=an+n+1,则通
3、项公式为an=.深度解析9.()数列an满足an+1=3an+1,且a1=1,则数列an的通项公式为an=.10.()已知数列an满足a1=1,a2=13,若an(an-1+2an+1)=3an-1an+1(n2,nN+),则数列an的通项公式为an=.三、解答题11.()设数列an的前n项和为Sn,数列Sn的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,nN+.(1)求a1的值;(2)求数列an的通项公式.12.()已知数列an满足an+1=3an+23n+1,a1=3,求数列an的通项公式.答案全解全析专题强化练1数列通项公式的求法一、选择题1.B统一数列各项表达式,可化为2,5,8,11,所以
4、数列的通项公式为an=3n-1,所以选B.2.D由题意可得an+1-an=2n,则a9=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a9-a8)=1+21+22+28=29-1=511.故选D.3.Aa2=1-1a1=1-2=-1,a3=1-1a2=1+1=2,a4=1-1a3=1-12=12,数列an是以3为周期的周期数列,a2 020=a3673+1=a1=12.4.Ban=2an-1an-1+2,a1=2,an0,1an=1an-1+12,1an-1an-1=12,又1a1=12,1an是以12为首项,12为公差的等差数列,1an=n2,an=2n.方法总结递推公式为an=man-1an-1
5、+m(n2,m0)型的数列,两边取倒数得1an=1an-1+1m(n2),令bn=1an,则bn=bn-1+1m(n2),从而可知数列bn为等差数列,求出bn即得an.5.C由Sn=n+23an得,当n2时,Sn-1=n+13an-1,两式作差可得an=Sn-Sn-1=n+23an-n+13an-1,整理得anan-1=n+1n-1=1+2n-1,由此可得,当n=2时,anan-1取得最大值,最大值为3.6.DSn+Sn-1=4n2,Sn+1+Sn=4(n+1)2,Sn+1-Sn-1=8n+4(n2),即an+1+an=8n+4,an+2+an+1=8n+12,an+2-an=8(n2),a1
6、=a,S2+S1=a2+2a1=422=16,a2=16-2a1=16-2a.由an+1+an=8n+4,得a3+a2=20,a3=20-a2=4+2a.同理可得,a4=24-2a.若对任意nN+,anan+1恒成立,则a1a2a3a4,即a16-2a4+2a24-2a,解得3a5.故选D.二、填空题7.答案an=6,n=1n+2n,n2,nN+解析a1a2a3an=n2+3n+2,当n=1时,a1=6;当n2时,a1a2a3an=(n+1)(n+2),a1a2a3an-1=n(n+1),并化简,得an=n+2n,所以an=6,n=1,n+2n,n2,nN+.方法总结对于由数列前n项积组成的递
7、推公式求其通项公式问题,常将前n项积转化为前n-1项积,再相除即得an,此法即为阶商法.利用阶商法求通项公式时要注意对n=1进行验证.8.答案n(n+1)2+1解析因为an+1=an+n+1,所以当n2时,an-an-1=(n-1)+1,a3-a2=2+1,a2-a1=1+1,将以上各式相加得an-a1=(n-1)+(n-2)+(n-3)+2+1+n-1=n(n+1)2-1(n2),即an=n(n+1)2+1(n2),当n=1时,a1=2也满足上式,所以an=n(n+1)2+1.方法总结当已知关系式为an-an-1=f(n)(或an=an-1+f(n)时,常利用累加法求通项公式,此法的操作原理
8、为an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1(n2,nN+).利用累加法求解时,要注意对n=1进行验证.9.答案12(3n-1)解析由an+1=3an+1可得an+1+12=3an+12,所以an+12是以a1+12=32为首项,3为公比的等比数列,所以an+12=323n-1,即an=12(3n-1).10.答案12n-1解析由题知anan-1+2anan+1=3an-1an+1,an0,1an+1+2an-1=3an,1an+1-1an=21an-1an-1,即1an+1-1an1an-1an-1=2,数列1an+1-1an是首项为2,公比为2的等比数列,1an
9、+1-1an=22n-1=2n.利用累加法,得1a1+1a2-1a1+1a3-1a2+1an-1an-1=1+2+22+2n-1(n2),即1an=1-2n1-2=2n-1,an=12n-1(n2).又当n=1时,a1=1=121-1,满足上式,an=12n-1.三、解答题11.解析(1)当n=1时,T1=2S1-1,因为T1=S1=a1,所以a1=2a1-1,所以a1=1.(2)当n2时,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2,则Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-2Sn-1-(n-1)2=2(Sn-Sn-1)-2n+1=2an-2n+1,因为当n=1时,a1=S1=1也满足上式,所以Sn=2a
10、n-2n+1(n1),当n2时,Sn-1=2an-1-2(n-1)+1,-,得an=2an-2an-1-2,所以an=2an-1+2(n2),所以an+2=2(an-1+2),因为a1+2=30,所以数列an+2是以3为首项,2为公比的等比数列,所以an+2=32n-1,所以an=32n-1-2.12.解析an+1=3an+23n+1两边同时除以3n+1,得an+13n+1=an3n+23+13n+1,则an+13n+1-an3n=23+13n+1,故an3n=an3n-an-13n-1+an-13n-1-an-23n-2+an-23n-2-an-33n-3+a232-a131+a13=23+13n+23+13n-1+23+13n-2+23+132+33=2(n-1)3+13n+13n-1+13n-2+132+1(n2),因此an3n=2(n-1)3+13n(1-3n-1)1-3+1=2n3+12-123n(n2),当n=1时,a1=3也满足此式,所以an=23n3n+123n-12.
