1、第三章函数的应用3.13.2综合拔高练五年高考练考点1函数零点及其应用1.(2018课标全国,9,5分,)已知函数f(x)=ex,x0,lnx,x0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.-1,0)B.0,+)C.-1,+)D.1,+)2.(2020天津,9,5分,)已知函数f(x)=x3,x0,-x,x0,函数f(x)=x2+2ax+a,x0,-x2+2ax-2a,x0.若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是.4.(2018浙江,15,6分,)已知R,函数f(x)=x-4,x,x2-4x+3,x.当=2时,不等式f(x)0的解
2、集是.若函数f(x)恰有2个零点,则的取值范围是. 考点2函数模型的综合运用5.(2020北京,15,5分,)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-f(b)-f(a)b-a的大小评价在a,b这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论:在t1,t2这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;在t3时刻,甲,乙两企业的污水排放都已达标;甲企业在0,t1,t1,t2,t2,t3这三段时
3、间中,在0,t1的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是.6.(2018上海,19,14分,)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S 中x%(0x100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)=30,0x30,2x+1800x-90,30x0.若方程f(x)=12有两个不相等的实数根,则a的取值范围是()A.-12a12B.0a12C.0a1D.-12a0三年模拟练1.(2020江西南昌豫章中学高一月考,)如图,在直角梯形ABCD中,ABBC,AD=DC=2,CB=2,动点P从点A出发,由A
4、DCB沿边运动,点P在AB上的射影为Q.设点P运动的路程为x,APQ的面积为y,则y=f(x)的图象大致是()2.(2020山东枣庄高一月考,)已知函数f(x)=x2-6x+1,x0,12x+1,x0),x-14x+3(x0),若f(x)的两个零点分别为x1,x2,则|x1-x2|=()A.3-ln 2B.3ln 2C.22D.35.(2020天津静海高一期末,)某新能源汽车公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2018年全年投入研发资金5 300万元,在此基础上,以后每年投入的研发资金比上一年增长8%,则该公司全年投入的研发资金开始超过7 000万元的年份是年.(参考数据:lg
5、1.080.033,lg 5.30.724,lg 70.845)6.(2020山东日照高一期末校际联考,)设x1,x2分别是函数f(x)=x-a-x和g(x)=xlogax-1的零点(其中a1),则x1+100x2的取值范围是.7.(2019湖北武汉外国语学校高一上期中,)已知f(x)=a-12x+1是R上的奇函数.(1)求a;(2)判断f(x)的单调性(不要求证明),并求f(x)的值域;(3)设关于x的函数F(x)=f(log2x)2-b)+f(log12x),x12,2有两个零点,求实数b的取值范围.8.(2020福建龙岩六校高一上期中联考,)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好
6、的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是关于养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数.当养殖密度x不超过4尾/立方米时,v为2千克/年;当4x20时,v是关于x的一次函数,且当养殖密度x达到20尾/立方米时,因缺氧等原因,v为0千克/年.(1)当00,1,x0.当k=0时,y=2,如图1,y=2与h(x)=f(x)|x|有1个交点,不满足题意;当k0时,如图3,当y=kx-2与y=x2相切时,联立方程,得x2-kx+2=0,令=0,得k2-8=0,解得k=22(负值舍去),所以k22时,y=|kx-2|与h(x)=f(x)|x|的图象有3
7、个交点,满足题意.综上,k的取值范围为(-,0)(22,+).故选D.3.答案(4,8)解析设g(x)=f(x)-ax=x2+ax+a,x0,-x2+ax-2a,x0,方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,即函数y=g(x)有2个零点,即y=g(x)的图象与x轴有2个交点,满足条件的y=g(x)的图象有以下两种情况.情况一:则1=a2-4a0,2=a2-8a0,4a8.情况二:则1=a2-4a0,不等式组无解.综上,满足条件的a的取值范围是(4,8).4.答案(1,4);(1,3(4,+)解析当=2时,函数f(x)的图象如图所示,f(x)0的解集为(1,4).当1时,f(x)只有1个零点为4
8、;当13时,f(x)有2个零点为1和4;当34时,f(x)有2个零点为1和3.故当14时,f(x)有2个零点.5.答案信息提取污水排放量W与时间t的关系为W=f(t);用-f(b)-f(a)b-a的大小评价在a,b这段时间内企业污水治理能力的强弱;甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系图象;给定四个待判定的结论.数学建模以污水的排放与治理为情境,构建污水排放量W与时间t的关系,结合给定的图象信息以及评判标准对给出的结论进行推理判断.解析设甲企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),乙企业的污水排放量W与时间t的关系为W=g(t).对于,在t1,t2这段时间内,甲企业的污水治理能力为-f(t
9、2)-f(t1)t2-t1,乙企业的污水治理能力为-g(t2)-g(t1)t2-t1.由题图可知,f(t1)-f(t2)g(t1)-g(t2),-f(t2)-f(t1)t2-t1-g(t2)-g(t1)t2-t1,即甲企业的污水治理能力比乙企业强,故正确;对于,由题图可知,f(t)在t2时刻的减小速度比g(t)在t2时刻的减小速度快,在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强,故正确;对于,在t3时刻,甲,乙两企业的污水排放量都小于污水达标排放量,在t3时刻,甲,乙两企业的污水排放都已达标,故正确;对于,由题图可知,甲企业在0,t1,t1,t2,t2,t3这三段时间中,在t1,t2的污水治理能
10、力最强,故错误.正确结论的序号是.6.解析(1)由题意知,当30x40,即x2-65x+9000,解得x45,当x(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.(2)当0x30 时,g(x)=30x%+40(1-x%)=40-x10;当30x100 时,g(x)=2x+1800x-90x%+40(1-x%)=x250-1310x+58.g(x)=40-x10,0x30,x250-1310x+58,30x100.当0x32.5时,g(x)单调递减;当32.5x100 时,g(x)单调递增.说明该地上班族S有小于32.5% 的人自驾时,人均通勤时间是递减的;有大于32.5%
11、的人自驾时,人均通勤时间是递增的;当自驾人数为32.5% 时, 人均通勤时间最少.7.B当x0时,a0,则当x0时, f(x)=ln(x+a)ln a,f(x)的大致图象如图1所示,图1若方程f(x)=12有两个不相等的实数根,则由图1,得a121+a,lna12a12,a-12,ae,解得0a0时, f(x)=ln(x+a)R,此时f(x)=12有一个解.f(x)的大致图象如图2所示.图2由图2知,只有当a=0时,函数的定义域才为R,所以a=0.综上所述,0a12,故选B.三年模拟练1.D2.D3.A4.D1.D易知DAB=45,当P点在AD上运动时,APQ是等腰直角三角形,此时f(x)=1
12、222x22x=14x2(0x2),是二次函数,排除A,B,当P在DC上运动时,PQ不变,AQ增加,是递增的一次函数,排除C,故选D.2.Dg(x)=f(x)-a恰好有3个零点,等价于方程f(x)=a有3个根,等价于函数y=f(x)与y=a的图象有3个交点.如图所示,画出函数y=f(x),y=a的图象,由图可知,当12a1时,y=f(x)与y=a的图象有3个交点,即当12a1时,g(x)=f(x)-a恰好有3个零点,所以a的取值范围是12,1,故选D.3.A由题图知,开始输液时,瓶内药液容积为8229+4223=156(cm3).因为瓶内药液恰好156 min滴完,所以每分钟滴下 cm3药液.
13、当4h13时,x=42(13-h),即h=13-x16,此时0x144;当1h4时,x=429+22(4-h),即h=40-x4,此时144x156.故函数h=f(x)单调递减,且当1440时,令f(x)=0,得log4x=3-x,作出函数y=log4x与y=3-x的图象,设交点为A(x1,y1),当x0时,令f(x)=0,得14x=x+3,作出函数y=14x与y=x+3的图象,设交点为B(x2,y2),显然x10x2.作出函数y=4x(x0)的图象,设它与直线y=3-x交于点C(x3,y3).y=14x与y=4x的图象关于y轴对称,y=x+3与y=3-x的图象关于y轴对称,B,C两点关于y轴
14、对称,x3=-x2.y=4x与y=log4x互为反函数,y=4x与y=log4x的图象关于直线y=x对称,又直线y=3-x关于直线y=x对称,A,C两点关于直线y=x对称,x3=y1,y3=x1,x2=-y1,|x1-x2|=x1-x2=x1+y1,又A(x1,y1)在直线y=3-x上,x1+y1=3.5.答案2022解析设第n年开始超过7 000万元,则5 300(1+8%)n-20187 000,整理,得(n-2 018)lg 1.08lg 7-lg 5.3,则n-2 0180.845-0.7240.0333.7,所以n=2 022.因此开始超过7 000万元的年份是2022年.6.答案(
15、101,+)解析由已知得1x1=ax1,1x2=logax2,因为当a1时,y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称,y=1x的图象关于直线y=x对称,所以点x1,1x1与点(x2,logax2)关于直线y=x对称,所以1x1=x2,且0x11,设y=x1+100x2=x1+100x1,则y=x1+100x1在(0,1)上单调递减,所以y1+1001=101,故x1+100x2的取值范围是(101,+).7.解析(1)由题意得f(0)=0,得a=12,此时f(x)=12-12x+1=122x-12x+1,满足f(-x)=-f(x),即满足f(x)在R上是奇函数.(2)f(x)是R上的增
16、函数.2x+11,012x+11,-1212-12x+112,f(x)的值域为-12,12.(3)令F(x)=0,得f(log2x)2-b)=-f(log12x)=f(-log12x)=f(log2x),由(2)知f(x)是R上的增函数,(log2x)2-b=log2x,即b=(log2x)2-log2x,令log2x=t,x12,2,t-1,1,问题转化为b=t2-t在t-1,1上有两个不相等的实数根,即函数y=t2-t的图象与直线y=b有两个不同的交点,作出函数的图象如图所示,由图象可知,实数b的取值范围为-14,0.8.解析(1)由题意得,当0x4时,v=2;当4x20时,设v=ax+b
17、(a,b为常数,a0),由已知得20a+b=0,4a+b=2,解得a=-18,b=52,所以v=-18x+52.故v=2,0x4,-18x+52,4x20.(2)依题意及(1),可得f(x)=2x,0x4,-18x2+52x,4x20.当0x4时,f(x)为增函数,故f(x)max=f(4)=42=8;当4x20时,f(x)=-18x2+52x=-18(x2-20x)=-18(x-10)2+252,所以f(x)max=f(10)=252=12.5.因为812.5,所以当0x20时,f(x)的最大值为12.5.所以当养殖密度x为10尾/立方米时,该种鱼的年生长量f(x)可以达到最大,最大为12.5千克/立方米.
