1、第四节直线与圆、圆与圆的位置关系 考点一直线与圆、圆与圆的位置关系 例1(1)(2013陕西高考)已知点M(a,b)在圆O:x2y21外,则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切 B相交 C相离 D不确定(2)(2014南昌模拟)若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x2y2kx2yk2150相切,则实数k的取值范围是_自主解答(1)因为M(a,b)在圆O:x2y21外,所以a2b21,而圆心O到直线axby1的距离d0,解得k0,即(k2)(k3)0,解得k2或k0,所以直线与圆相交又圆x2y21的圆心坐标为(0,0),且001,所以直线不过圆心法二:圆x2y21的圆心坐标为(0,0),半
2、径长为1,则圆心到直线yx1的距离d.因为0r1r2,两圆外离,两圆有4条公切线考点二与圆有关的弦长问题 例2(1)(2013安徽高考)直线x2y50被圆x2y22x4y0截得的弦长为()A1 B2 C4 D4(2)(2013江西高考)过点(,0)引直线l与曲线y相交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于()A. B C D自主解答(1)因为圆心(1,2)到直线x2y50的距离d1,且圆的半径r.所以所得弦长24.(2)由于y,即x2y21(y0),直线l与x2y21(y0)交于A,B两点,如图所示,SAOB11sinAOB,且当AOB90时,SAOB取得最大值
3、,此时AB,点O到直线l的距离为,则OCB30,所以直线l的倾斜角为150,则斜率为.答案(1)C(2)B【方法规律】计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算(2)代数方法运用韦达定理及弦长公式|AB|xAxB|.1直线yx被圆x2(y2)24截得的弦长为_解析:法一:几何法:圆心到直线的距离为d,圆的半径r2,所以弦长l222.法二:代数法:联立直线和圆的方程消去y可得x22x0,所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2),(0,0),弦长为2.答案:22(2014济南模拟)已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半
4、轴上,直线l:yx1被圆C所截得的弦长为2,则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为_解析:由题意,设所求的直线方程为xym0,设圆心坐标为(a,0),则由题意知22(a1)2,解得a3或a1,又因为圆心在x轴的正半轴上,所以a3,故圆心坐标为(3,0)因为圆心(3,0)在所求的直线上,所以有30m0,即m3,故所求的直线方程为xy30.答案:xy30高频考点考点三 圆的切线问题1与圆有关的切线问题,是近年来高考在本节命题的一个热点问题,多以选择、填空题的形式呈现,试题难度不大,多为中、低档题目2高考对圆的切线问题的考查主要有以下几个命题角度:(1)过圆上一点求圆的切线方程;(2)过圆外一点求圆的
5、切线方程;(3)与切线长有关的问题;(4)与切线夹角有关的问题例3(1)(2012江西高考)过直线xy20上点P作圆x2y21的两条切线,若两条切线的夹角是60,则点P的坐标是_(2)(2013江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y2x4.设圆C的半径为1,圆心在l上若圆心C也在直线yx1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;若圆C上存在点M,使MA2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围自主解答(1)如图所示,|OP|2,设P(x,y),则故P(,)(2)由题意知,圆心C是直线y2x4和yx1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在设过A(0,3)的圆C的切
6、线方程为ykx3,依题意知,1,所以k0或,因此,切线方程为y3或yx3,即切线方程为y30或3x4y120.因为圆心在直线y2x4上,所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x,y),因为MA2MO,所以2,化简得x2y22y30,即x2(y1)24,所以点M在以D(0,1)为圆心,2为半径的圆上由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|21|CD21,即13.由5a212a80,得aR;由5a212a0,得0a.所以点C的横坐标a的取值范围为0,.答案(1)(,)与圆的切线有关的问题的常见类型与解题策略(1)过圆上一点求圆的切线方程首先考虑切线斜率不存在时,是
7、否符合要求,其次考虑斜率存在时,由直线与圆相切,求出斜率k,进而得出切线方程(2)过圆外一点求圆的切线方程方法同上(3)与切线长有关的问题解题时应注意圆心与切点的连线与切线垂直,从而得出一个直角三角形,然后求解(4)与切线有关的夹角问题与(3)相同,利用直角三角形解决问题1(2014大庆模拟)已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x4y40与圆C相切,则圆C的方程为()Ax2y22x30 Bx2y24x0Cx2y22x30 Dx2y24x0解析:选D设圆心的坐标为(a,0)(a0),又因为直线3x4y40与圆C相切,所以2,解得a2或(舍),因此圆的方程为(x2)2y222,即x2y
8、24x0.2(2014豫东、豫北十校联考)圆心在曲线y(x0)上,且与直线3x4y30相切的面积最小的圆的方程为()A(x2)229B(x3)2(y1)22C(x1)2(y3)22D(x)2(y)29解析:选A设所求圆的圆心坐标是(a0),则点(a0)到直线3x4y30的距离d3,当且仅当3a,即a2时取等号,因此所求圆的圆心坐标是,半径是3,圆的方程为(x2)229.课堂归纳通法领悟2种方法解决直线与圆位置关系的两种方法见本节考点一方法规律3个注意点直线与圆相切、相交的三个注意点(1)涉及圆的切线时,要注意过切点的半径与切线垂直;(2)当直线与圆相交时,半弦、弦心距、半径所构成的直角三角形在解题中起到关键的作用,解题时要注意把它与点到直线的距离公式结合起来使用;(3)判断直线与圆相切,特别是过圆外一点求圆的切线时,应有两条在解题中,若只求得一条,则说明另一条的斜率不存在,这一点经常忽视,应注意检验、防止出错