1、考点规范练30等差数列及其前n项和基础巩固1.已知Sn为等差数列an的前n项和,a2+a8=6,则S9等于()A.272B.27C.54D.108答案:B解析:S9=9(a1+a9)2=9(a2+a8)2=27.2.记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n2-8nD.Sn=12n2-2n答案:A解析:由题意可知,S4=4a1+432d=0,a5=a1+4d=5,解得a1=-3,d=2.故an=2n-5,Sn=n2-4n,故选A.3.已知等差数列an的前4项和为30,前8项和为100,则它的前12项和为()A.110B.2
2、00C.210D.260答案:C解析:设an的前n项和为Sn.在等差数列an中,S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,又S4=30,S8=100,30,70,S12-100成等差数列,270=30+S12-100,解得S12=210.4.已知数列an是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,an的前n项和为Sn,则使得Sn达到最大的n是()A.18B.19C.20D.21答案:C解析:a1+a3+a5=105a3=35,a2+a4+a6=99a4=33,则an的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此当Sn取得最大值时,n=20.5.
3、设Sn为等差数列an的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,则n=()A.5B.6C.7D.8答案:D解析:(方法一)由题知Sn=na1+n(n-1)2d=n+n(n-1)=n2,Sn+2=(n+2)2,由Sn+2-Sn=36,得(n+2)2-n2=4n+4=36,所以n=8.(方法二)Sn+2-Sn=an+1+an+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8.6.记Sn为等差数列an的前n项和.若a10,a2=3a1,则S10S5=.答案:4解析:设等差数列an的公差为d.a10,a2=3a1,a1+d=3a1,即d=2a1.S10S5=10a1+10
4、92d5a1+542d=100a125a1=4.7.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是斤.(注:“斤”为非国际通用单位)答案:184解析:用a1,a2,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵斤数,由题意,得数列a1,a2,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,即8a1+87217=996,解得a1=65.所以a8=65+717=184.8.记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1
5、=-7,S3=-15.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解:(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以an的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.能力提升9.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)(
6、)A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块答案:C解析:由题意可知,从上到下,从内到外,每环的扇面形石板数构成以9为首项,9为公差的等差数列,设为an.设上层有n环,则上层扇面形石板总数为Sn,中层扇面形石板总数为S2n-Sn,下层扇面形石板总数为S3n-S2n,三层扇面形石板总数为S3n.因为an为等差数列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列,公差为9n2.因为下层比中层多729块,所以9n2=729,解得n=9.所以S3n=S27=279+272629=3402.故选C.10.已知数列an为等差数列,其前n项和为Sn,且2a1+3a3=S6,给出以下
7、结论:a10=0;S10最小;S7=S12;S19=0.其中一定正确的结论是()A.B.C.D.答案:B解析:设等差数列an的公差为d,则2a1+3a1+6d=6a1+15d,即a1+9d=0,a10=0,故正确;若a10,d0,d10,d20.Sn=na1+n(n-1)d12=d12n2+a1-d12n.又Sn=S1+(n-1)d2=a1+(n-1)d2,Sn=a1+d22(n-1)2+2a1d2(n-1)=d22n2+(2a1d2-2d22)n+d22-2a1d2+a1,d12=d22,a1-d12=2a1d2-2d22,d22-2a1d2+a1=0,d22=d12,d2=a1,即d1=2
8、a1,a2=a1+d1=3a1.若选设等差数列an的公差为d.因为a2=3a1,所以a1+d=3a1,所以d=2a1,所以Sn=na1+n(n-1)2d=na1+n(n-1)a1=n2a1,所以当n2时,Sn-Sn-1=na1-(n-1)a1=a1.所以Sn是首项为a1,公差为a1的等差数列.若选设数列Sn的公差为d,则S2-S1=d,即a1+a2-a1=d.a2=3a1,4a1-a1=d,即d=a1,Sn=S1+(n-1)d=a1+(n-1)a1=na1,即Sn=n2a1,当n2时,an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,当n=1时,an=(2n-1)a1也成立,
9、an=(2n-1)a1,nN*.又an+1-an=(2n+1)a1-(2n-1)a1=2a1,所以数列an是等差数列.12.已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn,且满足a3a4=117,a2+a5=22.(1)求通项公式an;(2)求Sn的最小值;(3)若数列bn是等差数列,且bn=Snn+c,求非零常数c.解:(1)数列an为等差数列,a3+a4=a2+a5=22.又a3a4=117,a3,a4是方程x2-22x+117=0的两实根.又公差d0,a3a4,a3=9,a4=13,a1+2d=9,a1+3d=13,a1=1,d=4.通项公式an=4n-3.(2)由(1)知a1=1,d=4
10、,Sn=na1+n(n-1)2d=2n2-n=2n-142-18.当n=1时,Sn最小,最小值为S1=a1=1.(3)由(2)知Sn=2n2-n,bn=Snn+c=2n2-nn+c,b1=11+c,b2=62+c,b3=153+c.数列bn是等差数列,2b2=b1+b3,即62+c2=11+c+153+c,2c2+c=0,c=-12(c=0舍去),故c=-12.高考预测13.已知各项均为正数的等差数列an满足:a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)求同时满足下列条件的所有an的和:20n116;n能够被5整除.解:(1)a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列,a1+3d=2(a1+d),a1(a1+3d)=16,解得a1=2,d=2.数列an的通项公式为an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.(2)n同时满足:20n116;n能够被5整除,满足条件的n组成等差数列bn,且b1=20,d=5,bn=115,项数为115-205+1=20.bn的所有项的和为S20=2020+1220195=1350.又an=2n,即an=2bn,满足条件的所有an的和为2S20=21350=2700.
