1、高考资源网（） 您身边的高考专家22.2双曲线的简单几何性质1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程3.掌握标准方程中a，b，c，e间的关系4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题双曲线的几何性质类型1(a0，b0)1(a0，b0)图象性质焦点(c，0)(0，c)焦距2c2c范围xa或xaya或ya对称性以坐标轴为对称轴，以原点为对称中心的对称图形顶点(a，0)(0，a)轴实轴A1A2，虚轴B1B2离心率e1渐近线yxyx1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同()(2)双
2、曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点()(3)方程1(a0，b0)的渐近线方程为yx.()答案：(1)(2)(3)2双曲线1的渐近线方程为()A3x4y0B4x3y0C9x16y0 D16x9y0答案：A3双曲线1的焦点坐标为_，离心率为_答案：(7，0)4双曲线的实轴和虚轴等长，且一个焦点是F1(6，0)，则其标准方程为_解析：因为双曲线的焦点为(6，0)，所以c6，又a2b2，所以2a236，a218.所以双曲线的标准方程为1.答案：1双曲线的几何性质求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.【解】将9y24x236化为标准方程1，即1，
3、所以a3，b2，c.因此顶点为A1(3，0)，A2(3，0)，焦点为F1(，0)，F2(，0)，实轴长2a6，虚轴长2b4，离心率e，渐近线方程为yxx.由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤 1.双曲线x2y21的顶点到其渐近线的距离等于()A.B.C1 D.解析：选B.双曲线x2y21的顶点坐标为(1，0)，渐近线为yx，所以xy0，所以顶点到渐近线的距离为d.2已知F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，P为该双曲线上一点，若PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为()A.1 B.1C2 D2解析：选B.不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a.因为PF1F2是等腰直角三
4、角形，所以只能是PF2F190，所以|PF2|F1F2|2c，所以|PF1|2a|PF2|2a2c，所以(2a2c)22(2c)2，即c22aca20，两边同除以a2，得e22e10.因为e1，所以e1.由双曲线的几何性质求标准方程分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)顶点在x轴上，两顶点间的距离为8，离心率是；(2)焦距为20，渐近线方程为yx；(3)与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)【解】(1)由已知设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则2a8，所以a4.由e得c5.所以b2c2a252429.所以所求双曲线方程为1.(2)当焦点在x轴上时，设所求双曲线方程为1(
5、a0，b0)所以，且2c20.所以c10，又c2a2b2.所以a280，b220.所以所求双曲线方程为1.当焦点在y轴上时，设所求双曲线方程为1(a0，b0)所以，即b2a.又2c20，所以c10.又c2a2b2，所以a220，b280.所以所求双曲线方程为1.(3)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2k(k0)，将点(2，2)代入得k(2)22，所以双曲线的标准方程为1. (1)求双曲线的标准方程的方法解决此类问题的常用方法是先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定a2，b2的值)要特别注意a2b2c2的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混淆如果已知双曲线的方程为标准式，但不知焦点所处
6、的位置，也可把双曲线方程设为mx2ny21(m，n同号)，然后由条件求m，n.(2)共渐近线的双曲线标准方程的求法与双曲线1具有共同渐近线的双曲线的标准方程可设为(0)，然后再结合其他条件求出的值即可得到双曲线方程 求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)以直线2x3y0为渐近线，过点(1，2)；(2)过点(2，0)，与双曲线1离心率相等；(3)与椭圆1有公共焦点，离心率为.解：(1)法一：由题意可设所求双曲线方程为4x29y2(0)，将点(1，2)的坐标代入方程解得32.因此所求双曲线的标准方程为1.法二：由题意可设所求双曲线方程为1(mn0)由题意，得解得因此所求双曲线的标准方程为1.(2
7、)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为(0)，将点(2，0)的坐标代入方程得，故所求双曲线的标准方程为y21；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为(0)，将点(2，0)的坐标代入方程得0，b0)因为e，所以a2，则b2c2a25，故所求双曲线的标准方程为1.法二：因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为1(160)，不妨设一个焦点为F(c，0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB.又渐近线的斜率为，所以由直线垂直关系得1(显然不符合)，即b2ac，又c2a2b2，故c2a2ac，两边同除以a2，得方程e2e10，解得e(负值舍去)【答案】D本题依据直线FB与该双曲线的渐近线垂
8、直的条件建立参数a、b、c的等式进而转化为离心率e的一元二次方程，解关于e的方程从而求得离心率 双曲线1(a1，b0)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(1，0)到直线l的距离之和sc.求双曲线的离心率e的取值范围解：直线l的方程为1，即bxayab0.由点到直线的距离公式，且a1，得到点(1，0)到直线l的距离d1.同理得到点(1，0)到直线l的距离d2，sd1d2.由sc，得c，即5a2c2.于是得52e2，即4e425e2250.解不等式，得e25.由于e1，所以e， 直线与双曲线的位置关系已知双曲线3x2y23，直线l过其右焦点F2，与双曲
9、线交于A、B两点，且倾斜角为45，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求出线段AB的长【解】因为a1，b，c2，又直线l过点F2(2，0)，且斜率ktan 451，所以l的方程为yx2.由消去y并整理得2x24x70.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为x1x20，所以A、B两点分别位于双曲线的左、右两支上因为x1x22，x1x2，所以|AB|x1x2|6.讨论直线与双曲线的位置关系，一般化为关于x(或y)的一元二次方程，这时首先要看二次项的系数是否等于0.当二次项系数等于0时，就转化成x(或y)的一元一次方程，只有一个解这时直线与双曲线相交只有一个交点当二次项的系数不为0时，利用
10、根的判别式，判断直线与双曲线的位置关系 已知曲线C：x2y21及直线l：ykx1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值解：(1)由(1k2)x22kx20.因为直线与双曲线有两个不同的交点，则k0，b0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程反之由渐近线方程axby0变为a2x2b2y2，再结合其他条件求得就可得双曲线方程3等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是yx，离心率为e.1双曲线y21的离心率是()A.B.C. D.解析：选B.因为a24，b21，所以c25.所以e.2双曲线1的焦
11、点到渐近线的距离为()A2 B2C. D1解析：选A.双曲线1的焦点为(4，0)、(4，0)渐近线方程为yx.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d2.3若双曲线1(a0，b0)的离心率是2，则的最小值为()A. B.C2 D1解析：选A.由e2得，2，从而ba0，所以a22，当且仅当a，即a时，“”成立故选A.4若双曲线1(b0)的渐近线方程为yx，则b等于_解析：双曲线1的渐近线方程为0，即yx(b0)，所以b1.答案：1A基础达标1下面双曲线中有相同离心率，相同渐近线的是()A.y21，1B.y21，y21Cy21，x21D.y21，1解析：选A.B中渐近线相同但e不同
12、；C中e相同，渐近线不同；D中e不同，渐近线相同故选A.2若双曲线1(a0)的离心率为2，则a等于()A2 B.C. D1解析：选D.因为c，所以2，所以a1.3双曲线与椭圆4x2y264有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为()Ay23x236 Bx23y236C3y2x236 D3x2y236解析：选A.椭圆4x2y264即1，焦点为(0，4)，离心率为，所以双曲线的焦点在y轴上，c4，e，所以a6，b212，所以双曲线方程为y23x236.4已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为()A.y21 Bx21C.1 D.1解析
13、：选A.由题意得c，则a2，b1，所以双曲线的方程为y21.5已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选A.因为双曲线1的渐近线方程为yx，圆C的标准方程为(x3)2y24，所以圆心为C(3，0)又渐近线方程与圆C相切，即直线bxay0与圆C相切，所以2，所以5b24a2.又因为1的右焦点F2(，0)为圆心C(3，0)，所以a2b29.由得a25，b24.所以双曲线的标准方程为1.6中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是_解析：由双
14、曲线的实轴在x轴上知其焦点在x轴上，直线3x4y120与x轴的交点坐标为(4，0)，故双曲线的一个焦点为(4，0)，即c4.设等轴双曲线方程为x2y2a2，则c22a216，解得a28，所以双曲线方程为x2y28.答案：x2y287已知点(2，3)在双曲线C：1(a0，b0)上，C的焦距为4，则它的离心率为_解析：由题意知1，c2a2b24得a1，b，所以e2.答案：28设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为_解析：设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：
15、xc或xc，代入1得y2b2，所以y，故|AB|，依题意4a，所以2，所以e212，所以e.答案：9求以椭圆1的两个顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程解：椭圆的焦点F1(，0)，F2(，0)，即为双曲线的顶点因为双曲线的顶点和焦点在同一直线上，所以双曲线的焦点应为椭圆长轴的端点A1(4，0)，A2(4，0)，所以c4，a，所以b3，故所求双曲线的方程为1.实轴长为2a2，虚轴长为2b6，离心率e，渐近线方程为yx.10过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，求双曲线C的离心率解：
16、如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c，0)，则直线l的方程为y(xc)因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得1，化简得yb或yb(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，b)，代入直线方程得b(2ac)，化简可得离心率e2.B能力提升11已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选D.根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形双曲线的渐近线方程为yx，圆的方程为x2y24，不妨设交点A在第一象限，由
17、yx，x2y24，得xA，yA，故四边形ABCD的面积为4xAyA2b，解得b212，故所求的双曲线方程为1，故选D.12已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点若0，则y0的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A.由题意知a22，b21，所以c23，不妨设F1(，0)，F2(，0)，所以(x0，y0)，(x0，y0)，所以x3y3y10，所以y0.13已知双曲线E：1.(1)若m4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；(2)若双曲线E的离心率为e，求实数m的取值范围解：(1)m4时，双曲线方程化为1，所以a2，b，c3，所以焦点坐标为(3，0)，
18、(3，0)，顶点坐标为(2，0)，(2，0)，渐近线方程为yx.(2)因为e21，e，所以12，解得5m10，所以实数m的取值范围是(5，10)14(选做题)已知双曲线C1：x21.(1)求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程；(2)直线l：yxm分别交双曲线C1的两条渐近线于A，B两点当3时，求实数m的值解：(1)双曲线C1的焦点坐标为(，0)，(，0)，设双曲线C2的标准方程为1(a0，b0)，则解得所以双曲线C2的标准方程为y21.(2)双曲线C1的渐近线方程为y2x，y2x，设A(x1，2x1)，B(x2，2x2)由消去y化简得3x22mxm20，由(2m)243(m2)16m20，得m0.因为x1x2，x1x2(2x1)(2x2)3x1x2，所以m23，即m.高考资源网版权所有，侵权必究！
