1、四川省泸县第二中学2020届高三数学下学期第四次学月考试试题 理(含解析)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第I卷选择题一、选择题:在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若集合,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为集合,故选C.2. 设是虚数单位,如果复数的实部与虚部是互为相反数,那么实数的值为 ()A. B.
2、C. D. 【答案】D【解析】分析:由复数代数形式的乘除运算化简复数,再由已知条件列出方程,求解即可得答案详解:=,复数的实部与虚部是互为相反数,即a=故选D点睛:本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的实部与虚部的概念,属于基础题3. 已知向量,则( )A. -14B. -4C. 4D. 14【答案】B【解析】【分析】由条件算出,进而由公式算出.【详解】,.故选:B【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算,考查了学生的基本运算能力.4. 在正项等比数列中,若,则其前3项的和( )A. 3B. 6C. 13D. 24【答案】C【解析】【分析】由等比数列通项公式求出公比,再利用公式求出
3、前3项的和.详解】,又,所以,.故选:C【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式,等比数列的求和,考查了学生的运算求解能力.5. 一场考试之后,甲、乙、丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时,甲说:有一个科目我们三个人都达到了优秀;乙说:我的英语没有达到优秀;丙说:乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的是( )A. 甲同学三个科目都达到优秀B. 乙同学只有一个科目达到优秀C. 丙同学只有一个科目达到优秀D. 三位同学都达到优秀的科目是数学【答案】C【解析】【分析】根据题意推断出乙有两科达到优秀,丙有一科达到优秀,甲至少有一科优秀,从而得出答案.【详解】甲说有一个科目每个人都达
4、到优秀,说明甲乙丙三个人每个人优秀的科目至少是一科,乙说英语没有达到优秀,说明他至多有两科达到优秀,而丙优秀的科目不如乙多,说明只能是乙有两科达到优秀,丙有一科达到优秀,故B错误,C正确;至于甲有几个科目优秀,以及三人都优秀的科目到底是语文还是数学,都无法确定故选:C【点睛】本题主要考查了学生的推理能力,属于中档题.6. 函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性定义可得函数为偶函数,偶函数的图像关于对称,再根据指数函数与幂函数的增长速度的快慢即可得出选项.【详解】易知为偶函数,故排除B,D,又当趋向正无穷时,指数函数增长速度大于幂函数,故知函数值
5、应趋向于0,故选:A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性、指数函数、幂函数的增长形式,属于基础题.7. 执行如图所示的程序框图,令,若,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析:先根据程序框图得解析式,再根据分段函数解三个不等式组,求并集得结果.详解:因为,所以由得所以因此选D.点睛:算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.8. 已知圆的半径为2,在圆内随机取一点,则过点的所有弦的长度都大于
6、的概率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】当是弦中点时,弦长最短,利用垂径定理,得只要点到圆心的距离不大于1即可满足要求,由此可得点所在区域,计算出该区域面积及已知圆面积后可得概率【详解】当是弦中点时,弦长最短,弦长为时,所以过点的所有弦的长度都大于的点落在以点为圆心,半径为1的圆内则所求概率为故选:C【点睛】本题考查几何概型,解题关键是确定点所在的区域利用弦长公式及垂径定理可确定9. 已知是双曲线的左、右焦点,设双曲线的离心率为若在双曲线的右支上存在点,满足,且,则该双曲线的离心率等于A. B. C. D. 【答案】B【解析】依题设, , ,等腰三角形底边上的高为, 底
7、边的长为,由双曲线的定义可得,即, ,解得.点晴:本题考查的是双曲线的定义和双曲线离心率的求法.解决本题的关键是利用题设条件和双曲线的定义可得,即在三角形中寻找等量关系,运用双曲线的a,b,c的关系和离心率公式即可求出双曲线的离心率.10. 已知函数,将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标扩大为原来的倍,再把图象上所有的点向上平移个单位长度,得到函数的图象,则函数的周期可以为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用三角函数图象变换规律得出函数的解析式,然后由绝对值变换可得出函数的最小正周期.【详解】,将函数的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的,可得到函数的图象,再
8、将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的倍,得到函数的图象,再把所得图象向上平移个単位长度,得到,由绝对值变换可知,函数的最小正周期为,故选B.【点睛】本题考查三角函数变换,同时也考查三角函数周期的求解,解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式,考查推理能力,属于中等题.11. 阿波罗尼斯(约公元前年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点、间的距离为,动点满足,则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】以经过、的直线为轴,线段的垂直平分线轴,建立直角坐标系,得出点、的坐标,设点,利
9、用两点间的距离公式结合条件得出点的轨迹方程,然后利用坐标法计算出的表达式,再利用数形结合思想可求出的最小值.【详解】以经过、的直线为轴,线段的垂直平分线轴,建立直角坐标系,则、,设,两边平方并整理得,所以点的轨迹是以为圆心,为半径的圆,则有,如下图所示:当点为圆与轴的交点(靠近原点)时,此时,取最小值,且,因此,故选A.【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法,考查坐标法的应用,解题的关键就是利用数形结合思想,将代数式转化为距离求解,考查数形结合思想的应用以及运算求解能力,属于中等题.12. 已知函数,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用导数判断函数的单调性,结合函数的奇
10、偶性,即可进行判断.【详解】因为函数定义域为,定义域关于原点对称,且,故是偶函数;又当时,故在上恒成立,故在上单调递增,结合函数是偶函数,故在上单调递减.又因为,故可得,则.故选:B.【点睛】本题考查利用导数判断函数单调性,函数奇偶性的判断,涉及利用函数性质比较大小,属综合中档题.第II卷非选择题二、填空题:13. 已知向量,若,则的值为_【答案】1【解析】【分析】由向量的加减法求出,再由垂直的数量积运算求出【详解】,可得,由,可得:,即故答案为:1【点睛】本题考查向量的数量积,考查垂直的坐标表示属于基础题14. (xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为_.【答案】40【解析】【分析】先
11、求出的展开式的通项,再求出即得解.【详解】设的展开式的通项为,令r=3,则,令r=2,则,所以展开式中含x3y3的项为.所以x3y3的系数为40.故答案为:40【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系数,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15. 已知倾斜角为的直线过曲线的焦点F,且与C相交于不同的两点A,B(A在第一象限),则_.【答案】2【解析】【分析】先求得直线方程,联立抛物线方程,即可求得点坐标,根据抛物线定义,即可求得.【详解】因为抛物线方程为,故可得焦点坐标,又直线的倾斜角为,故可得方程为,联立抛物线方程,可得,解得,代入得,故可得点坐标为,由抛物线定义可知:.故答案为:.【点
12、睛】本题考查抛物线中焦半径的求解,属中档题.16. 已知平面内一正六边形的边长为,中心为点将该正六边形沿对角线折成二面角,则当二面角的平面角余弦值为时,三棱锥的外接球表面积为_【答案】【解析】【分析】由题意作图,取线段的中点,连接,根据等边三角形的性质,结合二面角平面角的定义可以判断即为二面角的平面角,结合余弦定理、线面垂直的判定定理和性质、四点共球的性质进行求解即可.【详解】由题意作图,取线段的中点,连接,可知,所以即为二面角的平面角,即,又,由余弦定理可得.又因为所以平面所以,由得因此在三棱锥中, 三棱锥外接球球心为线段的中点,半径为所以外接球表面积为.【点睛】本题考查了二面角定义,考查了
13、三棱锥外接球表面积,考查了推理论证能力和数学运算能力.三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:17. 从某高三年级男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于和之间,将测量结果按如下方式分成6组:第1组,第2组,第6组,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)由频率分布直方图估计该校高三年级男生身高的中位数;(2)在这50名男生身高不低于的人中任意抽取2人,则恰有一人身高在内的概率.【答案】(1).(2)【解析】【分析】(1)由频率分布直方图得频率为0.48,
14、的频率为0.32,由此能求出中位数.(2)在这50名男生身高不低于的人中任意抽取2人,中的学生人数为4人,中的学生人数为2人,可用列举法求出基本事件总数,恰有一人身高在内包含的基本事件个数,再由概率公式计算出概率.【详解】解:(1)由频率分布直方图得频率为:,的频率为:,中位数为:.(2)在这50名男生身高不低于的人中任意抽取2人,中的学生人数为人,编号为,中的学生人数为人,编号为,任意抽取2人的所有基本事件为,共15个,恰有一人身高在内包含的基本事件有,共8个,恰有一人身高在内的概率.【点睛】本题考查频率分布直方图,考查中位数的概念,及古典概型,古典概型问题的关键是求出所求概率事件含有的基本
15、事件的个数可用列举法写出所有基本事件,然后计数18. 在中,角、所对的边分别为、,且满足.(1)求角的大小;(2)若为的中点,且,求的最大值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用正弦定理边角互化思想得出,再利用两角差的余弦公式可得出的值,结合角的范围可得出角的大小;(2)由中线向量得出,将等式两边平方,利用平面向量数量积的运算律和定义,并结合基本不等式得出的最大值,再利用三角形的面积公式可得出面积的最大值.【详解】(1)由正弦定理及得,由知,则,化简得,.又,因此,;(2)如下图,由,又为的中点,则,等式两边平方得,所以,则,当且仅当时取等号,因此,的面积最大值为.【点睛】本题考
16、查正弦定理边角互化思想的应用,同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积的最值问题,对于三角形的中线计算,可以利用中线向量进行计算,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.19. 在如图所示四棱锥中,四边形是等腰梯形,平面,. (1)求证:平面;(2)已知二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】分析】(1)由已知可得,结合,由直线与平面垂直的判定可得平面;(2)由(1)知,则,两两互相垂直,以为坐标原点,分别以,所在直线为,轴建立空间直角坐标系,设,0,由二面角的余弦值为求解,再由空间向量求解直线与平面所成角的正弦值【详解】(1)证明:因为四边
17、形是等腰梯形,所以.又,所以,因此,又,且,平面,所以平面.(2)取的中点,连接,由于,因此,又平面,平面,所以.由于,平面,所以平面,故,所以为二面角的平面角.在等腰三角形中,由于,因此,又,因为,所以,所以以为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系,则,设平面的法向量为所以,即,令,则,则平面的法向量,设直线与平面所成角为,则 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用空间向量求解空间角,属于中档题20. 已知函数(1)当时,求的单调区间;(2)当时,求的最小值【答案】(1)在上为减函数在上为增函数;(2)见解析.【解析】【分析】(1)求出导函数,由确定增区间,
18、由确定减区间;(2)由,可分类讨论得出函数在上的单调性,得出最小值【详解】解:当时,由,解得,由,解得故在上为减函数在上为增函数.当时,在上为增函数当时,在上为减函数,在上为增函数,当时,在上为减函数,综上所述,当时,当时,当时,【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间,用导数求函数有最值,解题关键是由导数确定函数的单调性21. 已知曲线C:y=,D为直线y=上动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点:(2)若以E(0,)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.【答案】(1)见详解;(2) 3或.【解析】【分析】(1)可设,然后求出
19、A,B两点处的切线方程,比如:,又因为也有类似的形式,从而求出带参数直线方程,最后求出它所过的定点.(2)由(1)得带参数的直线方程和抛物线方程联立,再通过为线段的中点,得出的值,从而求出坐标和的值,分别为点到直线的距离,则,结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明:设,则又因为,所以.则切线DA的斜率为,故,整理得.设,同理得.,都满足直线方程.于是直线过点,而两个不同的点确定一条直线,所以直线方程为.即,当时等式恒成立所以直线恒过定点.(2)由(1)得直线的方程为.由,可得,于是.设分别为点到直线的距离,则.因此,四边形ADBE的面积.设M为线段AB的中点,则,由于,而,与向
20、量平行,所以,解得或.当时,;当时因此,四边形的面积为3或.【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型,属于常规题型,按部就班的求解就可以思路较为清晰,但计算量不小(二)选考题:选修4-4:坐标系与参数方程22. 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点.轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求和的直角坐标方程;(2)若与恰有4个公共点,求的取值范围.【答案】(1),;(2)【解析】【分析】(1)直接利用转化公式转化即可;(2)和相切时,可得,与恰有3个公共点时,可得,故当与恰有4个公共点时,的取值范围为.【详解】(1)曲线的参数方程为(
21、为参数),则,得,故的直角坐标方程为;由,得,故的直角坐标方程为.(2)因为与恰有4个公共点,则,当和相切时,此时与恰有2个公共点,圆的圆心到直线的距离,解得;当与恰有3个公共点时,此时圆过点,解得;故当与恰有4个公共点时,的取值范围为.【点睛】本题考查将参数方程化为普通方程,极坐标方程化为直角坐标方程,考查直线与圆的位置关系,属于中档题.选修4-5:不等式选讲23. 已知不等式的解集与关于的不等式的解集相等.(1)求实数值;(2)求函数的最大值,以及取得最大值时的值.【答案】(1);(2)时等号成立,.【解析】【分析】(1)先根据绝对值不等式的公式求解,再利用根与系数关系求a,b即可;(2)根据(1)利用柯西不等式求最大值即可.【详解】(1)由,得或,即或 不等式的解集为不等式的解集为从而1、3为方程的两根, 解得,(2) 的定义域为,由柯西不等式可得:当且仅当,时等号成立,此时【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法,根与系数的关系,柯西不等式,属于中档题.