1、2015-2016学年安徽省江淮十校高三（上）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1已知全集为R，集合A=x|2x1，B=x|x23x+20，则ARB=( )Ax|x0Bx|1x2Cx|0x1或x2Dx|0x1或x22已知a0，b0且a1，则“logab0”是“（a1）（b1）0”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3若某市8所中学参加中学生比赛的得分用茎叶图表示（如图）其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是( )A91 5.5B91 5C92 5
2、.5D92 54执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )ABC0D5在等腰ABC中，BAC=90，AB=AC=2，则的值为( )ABCD6若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是( )A2cm2Bcm3C3cm3D3cm37已知函数的图象经过点（0，1），则该函数的一条对称轴方程为( )ABCD8设不等式组所表示的区域为M，函数y=的图象与x轴所围成的区域为N，向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为( )ABCD9函数f（x）=+ln|x|的图象大致为( )ABCD10已知映射设点A（1，3），B（2，2），点M是线段AB上一动
3、点，f：MM当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M所经过的路线长度为( )ABCD二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11在数列an中，a1=2，an=3an1+2（n2，nN+），则通项an=_12已知：P是直线l：3x+4y+13=0的动点，PA是圆C：x2+y22x2y2=0的一条切线，A是切点，那么PAC的面积的最小值是_13已知max（a，b）表示a，b两数中的最大值若f（x）=maxe|x|，e|x2|，则f（x）的最小值为_14已知函数f（x）=（a）sinx+（a+1）cosx，将f（x）图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若对任意
4、xR，都有g（x）|g（）|成立，则a的值为_15已知An=x|2nx2n+1，x=3m，mN+，若|An|表示集合An中元素的个数则|A1|+|A2|+|A3|+|A10|=_三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16已知圆x2+y24x+2y3=0和圆外一点M（4，8）（1）求圆心坐标和半径长；（2）过点M作直线与圆交于A，B两点，若|AB|=4，求直线AB的方程17已知函数f（x）=cosxcos（x+）（）求f（x）的最小正周期；（）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（c）=，a=2，且ABC的面积为2，求边长c的值18
5、某种产品按质量标准分成五个等级，等级编号x依次为1，2，3，4，5，现从一批产品中随机抽取20件，对其等级编号进行统计分析，得到频率分布表如下：x12345频率a0.30.35bc（1）若所抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有2件，等级编辑为5的恰有4件，求a，b，c的值（2）在（1）的条件下，将等级编辑为4的2件产品记为x1、x2，等级编辑为5的4件产品记为y1，y2，y3，y4，现从x1、x2，y1，y2，y3，y4，这6件产品中任取两件（假定每件产品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率19（13分）如图，在四面体ABCD中，已知ABD=CBD
6、=60，AB=BC=2，（1）求证：ACBD；（2）若平面ABD平面CBD，且BD=，求二面角CADB的余弦值20（13分）已知函数f（x）=lg（axkbx）（k0，a1b0）的定义域恰为（0，+），是否存在这样的a，b，使得f（x）恰在（1，+）上取正值，且f（3）=lg4？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由21（13分）在xOy平面上有一系列点P1（x1，y1），P2（x2，y2），Pn（xn，yn）对每个正整数n，点Pn位于函数y=x2（x0）的图象上，以点Pn为圆心的圆Pn与H轴都相切，且圆Pn与圆Pn+1又彼此外切若x1=1，且xn+1xn（nN+）（1）求证：数列是等差
7、数列（2）设圆Pn的面积为Sn，Tn=+，求证：Tn2015-2016学年安徽省江淮十校高三（上）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1已知全集为R，集合A=x|2x1，B=x|x23x+20，则ARB=( )Ax|x0Bx|1x2Cx|0x1或x2Dx|0x1或x2【考点】交、并、补集的混合运算 【专题】集合【分析】先求出集合AB，再求出B的补集，根据交集的定义即可求出【解答】解：全集为R，集合A=x|2x1=x|x0，B=x|x23x+20=x|1x2，RB=x|x1或x2，ARB=x|0x1或x2
8、故选：C【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2已知a0，b0且a1，则“logab0”是“（a1）（b1）0”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】计算题【分析】已知logab0，解出a，b的值，再根据充分条件和必要条件的定义进行求解；【解答】解：a0，b0且a1，若logab0，a，b1或0a1，0b1，（a1）（b1）0，若“（a1）（b1）0，或，可以推出a，b1或0a1，0b1，“logab0，“logab0”是“（a1）（b1）0”的充分必要条件，故选C【点评】
9、本题以对数的定义与运算为载体，考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题3若某市8所中学参加中学生比赛的得分用茎叶图表示（如图）其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是( )A91 5.5B91 5C92 5.5D92 5【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数 【专题】概率与统计【分析】由茎叶图得到这组数据为：87，88，90，91，92，93，93，94，由此能求出这组数据的平均数和方差【解答】解：由茎叶图得到这组数据为：87，88，90，91，92，93，93，94，这组数据的平均数为：=（87+88+90+91+92+93+93+94）=91，这组数
10、据的方差为：S2=（8791）2+（8891）2+（9091）2+（9191）2+（9291）2+（9391）2+（9391）2+（9491）2=5.5故选：A【点评】本题考查一组数据的平均数和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图性质的合理运用4执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )ABC0D【考点】程序框图 【专题】算法和程序框图【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当i=1时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=2；当i=2时，执行完循环体后：S=
11、，满足继续循环的条件，故i=3；当i=3时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=3；当i=4时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=5；当i=5时，执行完循环体后：S=0，满足继续循环的条件，故i=6；当i=6时，执行完循环体后：S=0，满足继续循环的条件，故i=7；当i=7时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=8；当i=8时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=9；当i=9时，执行完循环体后：S=，不满足继续循环的条件，故输出结果为，故选：A【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题5在
12、等腰ABC中，BAC=90，AB=AC=2，则的值为( )ABCD【考点】平面向量数量积的运算 【专题】平面向量及应用【分析】将所求利用三角形法则表示为AB，AC对应的向量表示，然后利用向量的乘法运算求值【解答】解：由已知得到=（）（）=2，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，AB=AC=2，所以上式=；故选：A【点评】本题考查了向量的三角形法则以及向量的数量积公式的运用，用到了向量垂直的数量积为0的性质6若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是( )A2cm2Bcm3C3cm3D3cm3【考点】由三视图求面积、体积 【专题】空间位置
13、关系与距离【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为的四棱锥，其中直角梯形两底长分别为1和2，高是2故这个几何体的体积是（1+2）2=（cm3）故选：B【点评】本题考查由几何体的三视图求原几何体的体积问题，属于基础题7已知函数的图象经过点（0，1），则该函数的一条对称轴方程为( )ABCD【考点】正弦函数的对称性 【专题】计算题【分析】点在线上，点的坐标适合方程，求出，然后确定函数取得最大值的x值就是对称轴方程，找出选项即可【解答】解：把（0，1）代入函数表达式，知sin= 因为| 所以=当2x+=+
14、2k（kZ）时函数取得最大值，解得对称轴方程x=+k（kZ）令k=0得故选C【点评】本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，是基础题取得最值的x值都是正弦函数的对称轴8设不等式组所表示的区域为M，函数y=的图象与x轴所围成的区域为N，向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为( )ABCD【考点】几何概型；简单线性规划 【专题】概率与统计【分析】画出图形，求出区域M，N的面积，利用几何概型的公式解答【解答】解：如图，区域M的面积为2，区域N的面积为，由几何概型知所求概率为P=故选B【点评】本题考查了几何概型的运用；关键是求出区域的面积，利用几何概型的公式解答9函数f（x）=+ln|x|的图象大
15、致为( )ABCD【考点】函数的图象 【专题】函数的性质及应用【分析】当x0时，函数f（x）=，由函数的单调性，排除CD；当x0时，函数f（x）=，此时，代入特殊值验证，排除A，只有B正确，【解答】解：当x0时，函数f（x）=，由函数y=、y=ln（x）递减知函数f（x）=递减，排除CD；当x0时，函数f（x）=，此时，f（1）=1，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确，故选：B【点评】题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力10已知映射设点A（1，3），B（2，2），点M是线段AB上一动点，f：MM当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束
16、时，点M的对应点M所经过的路线长度为( )ABCD【考点】映射 【专题】函数的性质及应用【分析】根据所给的两个点的坐标写出直线的方程，设出两个点的坐标，根据所给的映射的对应法则得到两个点坐标之间的关系，代入直线的方程求出一个圆的方程，得到轨迹是一个圆弧，求出弧长【解答】解：设点M从A开始运动，直到点B结束，由题意知AB的方程为：x+y=4设M（x，y），则M（x2，y2），由点M在线段AB上可得 x2+y2=4按照映射f：P（m，n）P（，），可得 A（1，3）A（1，），B（3，1）B（，），故tanAOX=，AOX=tanBOX=1，BOX=，故AOB=AOXBOX=，点M的对应点M所经过
17、的路线长度为弧长为=AOBr=2=；故选：B【点评】本题考查弧长公式和轨迹方程，本题解题的关键是利用相关点法求出点的轨迹，题目不大，但是涉及到的知识点不少，属于基础题二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11在数列an中，a1=2，an=3an1+2（n2，nN+），则通项an=3n1【考点】数列递推式 【专题】等差数列与等比数列【分析】把数列递推式两边同时加1，得到新的等比数列an+1，由等比数列的通项公式求解后得答案【解答】解：由an=3an1+2，得：an+1=3（an1+1）（n2），a1=2，a1+1=30，数列an+1构成以3为首项，以3为公比的等比数列则故答案为：3n
18、1【点评】本题考查数列递推式，考查了由an=pan1+q型递推式求数列通项公式的方法，是中档题12已知：P是直线l：3x+4y+13=0的动点，PA是圆C：x2+y22x2y2=0的一条切线，A是切点，那么PAC的面积的最小值是2【考点】圆的切线方程 【专题】直线与圆【分析】求出圆的标准方程，以及三角形的面积，将面积的最值问题转化为点到直线的距离问题是解决本题的关键【解答】解：圆的标准方程为（x1）2+（y1）2=4，则圆心坐标为C（1，1），半径R=2，则PAC的面积S=，要使PAC的面积的最小，则PA最小，即PC最小即可，此时最小值为圆心C到直线的距离d=，即PC=d=4，此时PA=2，即
19、PAC的面积的最小值为S=2，故答案为：2【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，将三角形的面积进行转化，以及利用数形结合是解决本题的关键13已知max（a，b）表示a，b两数中的最大值若f（x）=maxe|x|，e|x2|，则f（x）的最小值为e【考点】函数最值的应用 【专题】新定义；函数的性质及应用【分析】化简函数的解析式，讨论x的范围，由指数函数的单调性，可得最小值【解答】解：由于f（x）=maxe|x|，e|x2|=，当x1时，f（x）e，且当x=1时，取得最小值e；当x1时，f（x）e故f（x）的最小值为f（1）=e故答案为：e【点评】本题主要考查指数函数的单调性，分段函数的应
20、用，属于基础题14已知函数f（x）=（a）sinx+（a+1）cosx，将f（x）图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若对任意xR，都有g（x）|g（）|成立，则a的值为2【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换 【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件利用辅助角公式化简f（x）的解析式，再利用y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得a的值【解答】解：已知函数f（x）=（a）sinx+（a+1）cosx=sinx+acosx+cosxsinx=asin（x+）+2cos（x+）=sin（x+），（cos=，sin=），将f（x）图象向右平移个单位长度得到函
21、数g（x）的图象，得到g（x）=sin（x+）=sin（x+）|sin（+）|=，=，=，求得a=2，故答案为：2【点评】本题主要考查辅助角公式，y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题15已知An=x|2nx2n+1，x=3m，mN+，若|An|表示集合An中元素的个数则|A1|+|A2|+|A3|+|A10|=682【考点】数列的求和 【专题】等差数列与等比数列【分析】An=x|2nx2n+1，x=3m，mN+，可得A1x|2x22，x=3m，mN+=3，|A1|=1；A2=x|22x23，x=3m，mN+=6，|A2|=1；A3=x|23x24，x=3m，m
22、N+=9，12，15，|A3|=3；，A10=x|210x211，x=3m，mN+=1026，1029，2046，|A10|=301由于3，6，9，2046，组成等差数列an，首项为3，公差为3，即可得出个数【解答】解：An=x|2nx2n+1，x=3m，mN+，A1x|2x22，x=3m，mN+=3，|A1|=1；A2=x|22x23，x=3m，mN+=6，|A2|=1；A3=x|23x24，x=3m，mN+=9，12，15，|A3|=3；A4=x|24x25，x=3m，mN+=18，21，24，27，30，|A2|=5；，A10=x|210x211，x=3m，mN+=1026，1029，2
23、046，|A10|=301由于3，6，9，2046，组成等差数列an，首项为3，公差为3，2046=3+3（n1），解得n=682|A1|+|A2|+|A3|+|A10|=682故答案为：682【点评】本题考查了等差数列的通项公式、指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16已知圆x2+y24x+2y3=0和圆外一点M（4，8）（1）求圆心坐标和半径长；（2）过点M作直线与圆交于A，B两点，若|AB|=4，求直线AB的方程【考点】直线与圆相交的性质 【专题】直线与圆【分析】（1）求出圆的标准方程，
24、即可得到圆心与半径（2）设出割线的方程，利用圆心距与半径半弦长的关系，求解斜率，得到直线方程【解答】解：（1）圆x2+y24x+2y3=0化为标准方程为：（x2）2+（y+1）2=8，圆心为P（2，1），半径r=2（2）若割线斜率存在，设AB：y+8=k（x4），即kxy4k8=0设AB的中点为N，则|PN|=，由|PN|2+=r2，得k=，此时AB的直线方程为45x+28y+44=0若割线斜率不存在，AB：x=4，代入圆方程得y2+2y3=0，解得y1=1，y2=3，符合题意 综上，直线AB的方程为45x+28y+44=0或x=4【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，割线方程的求法，考查
25、计算能力17已知函数f（x）=cosxcos（x+）（）求f（x）的最小正周期；（）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（c）=，a=2，且ABC的面积为2，求边长c的值【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法 【专题】解三角形【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=cos（2x+）+，由周期公式可得；（2）结合（1）可得C=，由题意和面积公式可得ab的值，进而由余弦定理可得c值【解答】解：（1）化简可得f（x）=cosxcos（x+）=cosx（cosxsinx）=cos2xsinxcosx=sin2x=cos（2x+）+，f（x）的最小正周期T=；（2）由题意可得
26、f（C）=cos（2C+）+=，cos（2C+）=1，C=，又ABC的面积S=absinC=ab=2，ab=8，b=4，由余弦定理可得c2=a2+b22abcosC=12，c=2【点评】本题考查余弦定理，涉及三角函数的周期性和三角形的面积公式，属中档题18某种产品按质量标准分成五个等级，等级编号x依次为1，2，3，4，5，现从一批产品中随机抽取20件，对其等级编号进行统计分析，得到频率分布表如下：x12345频率a0.30.35bc（1）若所抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有2件，等级编辑为5的恰有4件，求a，b，c的值（2）在（1）的条件下，将等级编辑为4的2件产品记为x1、x2，等级编
27、辑为5的4件产品记为y1，y2，y3，y4，现从x1、x2，y1，y2，y3，y4，这6件产品中任取两件（假定每件产品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率【考点】古典概型及其概率计算公式 【专题】概率与统计【分析】（1）由频率分布表得a+0.3+0.35+b+c=1，b=0.1，c=0.2，由此能求出结果（2）从产品x1，x2，y1，y2，y3，y4中任取两件，所有可能的结果共15个，利用列举法能写出所有可能结果，设A表示“从x1、x2，y1，y2，y3，y4，这6件产品中任取两件这两件产品的等级编号恰好相同”A包含的基本事件7个，由此能求出结果【解
28、答】解：（1）由频率分布表得a+0.3+0.35+b+c=1，即a+b+c=0.35，抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有2件，b=0.1，等级编号为5的恰有4件，c=0.2，a=0.35bc=0.05故a=0.05，b=0.10，c=0.20（2）从产品x1，x2，y1，y2，y3，y4中任取两件，所有可能的结果为：x1，x2，x1，y1，x1，y2，x1，y3，x1，y4，x2，y1，x2，y2，x2，y3，x2，y4，y1，y2，y1，y3，y1，y4，y2，y3，y2，y4，y3，y4，共15个设A表示“从x1、x2，y1，y2，y3，y4，这6件产品中任取两件这两件产品的等级编号恰
29、好相同”则A包含的基本事件为：x1，x2，y1，y2，y1，y3，y1，y4，y2，y3，y2，y4，y3，y4，共7个，故所求概率为：p=【点评】本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要注意列举法的合理运用19（13分）如图，在四面体ABCD中，已知ABD=CBD=60，AB=BC=2，（1）求证：ACBD；（2）若平面ABD平面CBD，且BD=，求二面角CADB的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系 【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）由已知得ABDCBD，从而AD=CD，取AC的中点E，连结BE，DE，则BEA
30、C，DEAC，从而AC平面BED，由此能证明ACBD（2）过C作CHBD于点H，由已知得CH平面ABD，过H做HKAD于点K，连接CK，则CKH为二面角CADB的平面角，由此能求出二面角CADB的余弦值【解答】（1）证明：ABD=CBD，AB=BC，BD=BDABDCBD，AD=CD取AC的中点E，连结BE，DE，则BEAC，DEAC又BEDE=E，BE平面BED，BD平面BED，AC平面BED，ACBD（2）解：过C作CHBD于点H则CH平面BCD，又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，CH平面ABD 过H做HKAD于点K，连接CK CH平面ABD，CHAD，又HKCH=H，A
31、D平面CHK，CKADCKH为二面角CADB的平面角 连接AHABDCBD，AHBDABD=CBD=60，AB=BC=2，AH=CH=，BH=1BD=，DH= AD=，HK=tan=，cos，二面角CADB的余弦值为【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20（13分）已知函数f（x）=lg（axkbx）（k0，a1b0）的定义域恰为（0，+），是否存在这样的a，b，使得f（x）恰在（1，+）上取正值，且f（3）=lg4？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由【考点】对数函数图象与性质的综合应用 【专题】计算题【分析
32、】先带着参数求出函数f（x）=lg（axkbx）的定义域，为（k，+），因为已知函数的定义域为（0，+），所以可知k=0，求出k值为1这样函数可化简为f （x）=lg（axbx）假设存在适合条件的a，b，使得f（x）恰在（1，+）上取正值，且f（3）=lg4，则f （3）=lg（a3b3）=lg4且lg（axbx）0 对x1恒成立，根据函数的单调性知，x1时f （x）f （1），又因为f（1）=0，所以ab=1 又a3b3=4，即可求出a，b的值【解答】解axkbx0，即 （）xk又 a1b0，1xk为其定义域满足的条件，又函数f （x） 的定义域恰为（0，+），k=0，k=1f （x）=lg
33、（axbx）若存在适合条件的a，b，则f （3）=lg（a3b3）=lg4且lg（axbx）0 对x1恒成立，又由题意可知f （x）在（1，+）上单调递增x1时f （x）f （1），由题意可知f （1）=0 即ab=1 又a3b3=4注意到a1b0，解得a=，b=存在这样的a，b满足题意【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，考察了学生的理解力，转化能力以及计算能力21（13分）在xOy平面上有一系列点P1（x1，y1），P2（x2，y2），Pn（xn，yn）对每个正整数n，点Pn位于函数y=x2（x0）的图象上，以点Pn为圆心的圆Pn与H轴都相切，且圆Pn与圆Pn+1又彼此外切若x1=1
34、，且xn+1xn（nN+）（1）求证：数列是等差数列（2）设圆Pn的面积为Sn，Tn=+，求证：Tn【考点】数列的求和；数列与解析几何的综合 【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）依题意，Pn的半径，由于Pn与Pn+1彼此外切，可得|PnPn+1|=rn+rn+1，化简整理利用等差数列的通项公式即可得出（2）由（1）可得，可得Sn，再利用“裂项求和”即可得出【解答】（1）证明：依题意，Pn的半径，Pn与Pn+1彼此外切，|PnPn+1|=rn+rn+1，两边平方，化简得，即xnxn+10，xnxn+1=2xnxn+1，数列是等差数列 （2）解：由题设，x1=1，=【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、圆的性质及其面积计算公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于难题
