1、第二章函数单元能力测试一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分每小题中只有一项符合题目要求)1已知A0,1,B1,0,1,f是从A到B的映射,则满足f(0)f(1)的映射有()A3个B4个C5个 D2个答案A解析当f(0)1时f(1)可以是0或1,则有2个映射当f(0)0时,f(1)1,则有1个映射2函数y的定义域为()A(1,)B1,)C(1,2)(2,) D(1,2)3,)答案C解析由ln(x1)0得x10且x11,由此解得x1且x2,即函数y的定义域是(1,2)(2,)3已知f(x)a|xa|(a0),则“a0”是“f(x)在区间(0,1)内单调递减”的()A充分不必要条件 B
2、必要非充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析f(x)a|xa|(a0)在(0,1)内单调递减的充要条件是a0或a1,故选A.4函数f(x)|log3x|在区间a,b上的值域为0,1,则ba的最小值为()A2 B.C. D1答案B解析由题可知函数f(x)|log3x|在区间a,b上的值域为0,1,当f(x)0时x1,当f(x)1时x3或,所以要使值域为0,1,定义域可以为,3,1,3,1,所以ba的最小值为.故选B.5设f(x)是R上的偶函数,且当x(0,)时,f(x)x(1),则当x(,0)时,f(x)等于()Ax(1) Bx(1)Cx(1) Dx(1)答案C解析令x0f(x)x
3、(1)x(1)f(x)f(x)x(1)6函数f(x)62x的零点一定位于区间()A(3,4) B(2,3)C(1,2) D(5,6)答案B解析f(1)30,f(2)0,故选B.7已知定义域为R的函数f(x)在(8,)上为减函数,且函数yf(x8)为偶函数,则()Af(6)f(7) Bf(6)f(9)Cf(7)f(9) Df(7)f(10)答案D解析yf(x8)可看作是yf(x)左移8个单位yf(x)关于x8对称,两侧单调性相反8已知函数f1(x)ax,f2(x)xa,f3(x)logax(其中a0,且a1),在同一坐标系中画出其中的两个函数在第一象限内的图象,正确的是()答案B解析观察选项,在
4、0a1情况下,对三个函数的图象分析可知,A、C、D均不符合选B.9已知函数f(x)x2axb3(xR)图象恒过点(2,0),则a2b2的最小值为()A5 B.C4 D.答案B解析f(x)x2axb3的图象恒过点(2,0),42ab30,即2ab10,则a2b2a2(12a)25a24a15(a)2,a2b2的最小值为.10已知偶函数yf(x)满足条件f(x1)f(x1),且当x1,0时,f(x)3x,则f(log5)的值等于()A1 B.C. D1答案D解析由f(x1)f(x1),知f(x2)f(x),函数yf(x)是以2为周期的周期函数因为log5(2,1),log52log(0,1),又f
5、(x)为偶函数且x1,0,f(x)3x,当x0,1时,f(x)3x,所以f(log5)f(log52)f(log)3log3log31,故选D.11已知函数f(x)2xlnx,若an0.1n(其中nN*),则使得|f(an)2010|取得最小值的n的值是()A100 B110C11 D10答案B解析分析|f(an)2010|的含意,估算2xlnx与2010最接近的整数注意到2101024,21120482010,ln11(2,3),x11时,2xlnx与2010最接近,于是,0.1n11,n110.12.如图是由底为1,高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成,函数SS(a)(a0)是图形
6、介于平行线y0及ya之间的那一部分面积,则函数S(a)的图形大致为()答案C解析(1)当0a1时,S(a)21aa1(1a)(a3)2(2)1a2时,S(a)2a(3)2a3时,S(a)a(4)a3时,S(a)综上S(a)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)13已知f(x)ax,f(lga),则a的值为_答案10或10解析alga,两边取10为底的对数得(lga)lga,解得lga1或lga,故a10或a10.14已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x2),当2x3时,f(x)x,则f(1.5)_.答案2.5解析f(x2),f(x4)f(x),故T4,
7、f(1.5)f(1.54)f(2.5)f(2.5)2.5.15某厂有形状为直角梯形的边角料,现从中截取矩形铁片(如图所示),当矩形面积最大时,矩形的两边x,y分别应为_答案x15,y12解析由三角形相似的性质可得:,16x48020y,y24x.Sxyx(24x)24xx2(x15)2152.当x15,y12时,S最大16用二分法求函数yf(x)在区间(2,4)上的近似解,验证f(2)f(4)0,给定精确度0.01,取区间(a,b)的中点x13,计算得f(2)f(x1)0,则此时零点x0_.(填区间)答案(2,3)解析f(2)f(4)0,f(2)f(3)0,故x0(2,3)三、解答题(本大题共
8、6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知函数f(x)(1)写出f(x)的单调区间;(2)若f(x)16,求相应x的值解析(1)当x0时,f(x)在(0,2上递减,在(2,)上递增综上,f(x)的单调增区间为(2,0),(2,),单调减区间为(,2,(0,2(2)当x0时,f(x)16,即(x2)216,解得x6.故所求x的值为6或6.18(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f(x).(1)求x0时,f(x)的解析式;(2)试证明函数yf(x)(x0)在0,1上为减函数解析(1)任取x0,f(x)是偶函数,f(x)f(
9、x)(x0)(2)任取x1,x20,1,且x1x2,则f(x1)f(x2).当0x1x21时,x1x20,x1x210,xx210,f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),yf(x)(x0)在0,1上为减函数19(本小题满分12分)已知定义在实数集R上的函数yf(x)满足f(2x)f(2x)(1)若函数f(x)有三个零点,并且已知x0是f(x)的一个零点求f(x)的另外两个零点;(2)若函数f(x)是偶函数,且当x0,2时,f(x)2x1.求f(x)在4,0上的解析式解析(1)由题意,可知f(2x)f(2x)恒成立,即函数图象关于x2对称又因为f(0)0,0关于x2对称的数为4,得f(
10、4)f(0)0.4也是f(x)的一个零点图象关于x2对称且有三个零点,则只有f(2)0.f(x)另外两个零点为2,4.(2)设x2,4,则该区间关于x2对称的区间为0,2x关于x2对称的点为4x,即4x0,2,4x满足f(x)2x1,得f(x)72x.在x0,4时,f(x)又f(x)为偶函数,可得x4,0的解析式为f(x)20已知f(x)x2xk,且log2f(a)2,f(log2a)k(a0,a1)(1)求a,k的值;(2)当x为何值时,f(logax)有最小值?并求出该最小值解析(1)由题得由(2)得log2a0或log2a1解得a1(舍去)或a2由a2得k2(2)f(logax)f(lo
11、g2x)(log2x)2log2x2当log2x即x时,f(logax)有最小值,最小值为.21(本小题满分12分)某厂家拟在2010年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x3(k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件已知2010年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用)(1)将2010年该产品的利润y(万元)表示为m的函数(2)该厂家2010的促销费用为多少万元时,厂家的利润
12、最大分析(1)本题含有多个计算公式:年利润年销售收入总成本;年销售收入年销售量销售价格;总成本产品成本促销费用;销售价格1.5每件产品平均成本;产品成本固定投入再投入;每件产品年平均成本产品成本/年销售量(2)转化为求函数yf(m)的最大值解析(1)由题意可知当m0时,x1(万件),13k,即k2.x3.由题意,得每件产品的销售价格为1.5(元),则2010年的利润yx1.5(816xm)48xm48(3)mm28(m0),即ym28(m0)(2)下面证明当0m3时,函数ym28是增函数设0m1m23,则y1y2(m128)(m228)()(m2m1)(m2m1)(m1m2)1,0m1m23,
13、m1m20,0(m21)(m11)16.1.10.y1y2.当0m3时,函数ym28是增函数同理可证,当m3时,函数ym28是减函数则当m3(万元)时,ymin21(万元),该厂家2010年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,最大值为21万元注:也可用导数法求最值22(12分)(1)已知函数yln(x2xa)的定义域为(2,3),求实数a的取值范围;(2)已知函数yln(x2xa)在(2,3)上有意义,求实数a的取值范围解(1)据题意,不等式x2xa0的解集为(2,3),方程x2xa0的两根分别为2和3.a(2)36.(2)据题意,不等式x2xa0的解集x|x2xa0(2,3),方程f(x)x2xa0的两根分别在(,2和3,)内.a的取值范围为a6.