1、53万有引力定律与天文学的新发现1能够应用万有引力定律分析研究人们观测到的天体运动的一些精彩事例2会用万有引力定律计算天体的质量(重点难点)一、笔尖下发现的行星历史上天文学家曾经根据万有引力定律计算太阳系中天王星的运动轨道，由于计算值与实际情况有较大偏差，促使天文学家经过进一步的研究发现了海王星这颗星的发现进一步证明了万有引力定律的正确性，而且也显示了万有引力定律对天文学研究的重大意义二、哈雷彗星的预报英国天文学家哈雷根据万有引力定律计算出了哈雷彗星的椭圆轨道，并发现它的周期约为76年哈雷彗星的准确预报再一次证明了万有引力定律的正确性三、把天体的质量“称”出来1地球质量的计算利用地球表面的物体
2、：若不考虑地球自转，质量为m的物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mgG，则M，只要知道g、R的值，就可计算出地球的质量2太阳质量的计算利用某一行星：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G，由此可得太阳质量M，由此式可知只要测出行星绕太阳运动的周期和轨道半径就可以计算出太阳的质量根据月球绕地球做圆周运动的规律应用万有引力定律求出的天体的质量是地球的还是月球的？月球的质量怎么求？提示：求出的是地球的质量，利用Gmr求出的质量M为中心天体的质量，做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉要想求月球的质量，要考虑绕月球做圆周运动的卫星的运动规律天体质量的计算方法1研
3、究天体运动的公式行星绕恒星运动(或卫星绕行星运动)所需的向心力是由行星与恒星间(或卫星与行星间)的万有引力提供的，则FGmm2rmrma向其中是万有引力提供的向心力，m是圆周运动所需的向心力2计算被环绕天体质量的几种方法应用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法已知条件求解方法已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r由mr得M已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运行的线速度v由m得M已知卫星运行的线速度v和运行周期T由mv和m得M已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g由mgG得M若计算出天体的质量后，可
4、利用估算天体的密度，常用两种方法：(1)由天体表面的重力加速度g和半径R求此天体的密度由mgG和MR3，得(2)若天体的某个卫星的轨道半径为r，周期为T，则由Gmr和MR3，得当天体的卫星绕天体表面运行时，其轨道半径r等于天体的半径R，则天体密度为过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的该中心恒星与太阳的质量比约为()AB1C5 D10解析行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得Gmr，则1，选项B正确答案
5、B求天体质量的方法主要有两种：一种方法是根据天体表面的物体所受重力等于万有引力，即mgG，求得M；另一种方法是根据万有引力等于向心力，即Gmr，求得M当然，无论哪种方法只能求出中心天体的质量 1假设地球可视为质量均匀分布的球体已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G地球的密度为()A BC D解析：选B物体在地球的两极时，mg0G，物体在赤道上时，mgmRG，则故选项B正确，选项A、C、D错误万有引力定律的应用1应用万有引力定律解题的两条思路(1)万有引力提供天体运动的向心力GMm/r2mv2/rm42r/T2m2r；(2)黄金代换在天体表面
6、上，天体对物体的万有引力近似等于物体的重力，即GMm/R2mg，从而得出GMgR22几个常用公式(1)由Gm可得：v，r越大，v越小(2)由Gm2r可得：，r越大，越小(3)由Gmr可得：T2，r越大，T越大(4)由Gma可得：a，r越大，a越小(5)辅助公式：；VR33需注意的几个问题(1)Gma中的a是向心加速度，根据问题的条件可分别选用：a，a2r，ar(2)由于G和M(地球质量)这两个参数往往不易记住，而g和R容易记住所以粗略计算时，一般都采用代换GMgR2(3)应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题目中的隐含条件如地球公转一周是365天，自转一周是24小时，其表面的重力加速度约为98
7、m/s2等(多选)假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是()A地球的向心力变为缩小前的一半B地球的向心力变为缩小前的C地球绕太阳公转周期与缩小前的相同D地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半思路点拨 解此题的关键要注意“天体直径”“天体间距”都发生变化的前提解析地球的向心力FG，其中，太阳的质量为MR3，地球的质量为mR3若天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半，则地球的向心力FGG，选项B正确；由Gmr得地球绕太阳公转的周期为T2，所以TT，选项C正确答案BC2(多选)为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船
8、在以该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2，则()AX星球的质量为MBX星球表面的重力加速度为gXC登陆舱在r1与r2轨道上运动时的速度大小之比为D登陆舱在半径为r2轨道上做圆周运动的周期为T2T1解析：选AD由万有引力提供向心力可得：Gm，得M，T，可知A、D正确；由Gm得v，知C错误；由于轨道r1不是X星的近地轨道，故B错误多星模型由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同
9、的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：(1)A星体所受合力大小FA；(2)B星体所受合力大小FB；(3)C星体的轨道半径RC；(4)三星体做圆周运动的周期T解析(1)由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为FBAGGFCA，方向如图所示，则合力大小为FA2G(2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为FABGG，FCBGG，方向如图所示由FBxFABcos 60FCB2G，FByFABsin 60G，可得FBG(3)通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，则
10、RC ，可得RCa(或由对称性可知OBOCRC，cos OBD，得RCa)(4)三星体运动周期相同，对C星体，由FCFBGmRC，可得T 答案(1)2G(2)G(3)a(4) (1)模型特点：宇宙中，由于天体之间的相互作用而呈现出诸如双星、三星、四星等组成的系统，在这些天体系统中，只考虑系统内各天体之间的万有引力作用，不考虑系统外天体对它们的万有引力作用(2)解题规律求解这类问题时应把握两个关键点：求出某一天体所受系统内各个天体对其万有引力的合力，根据牛顿第二定律列方程；根据几何关系找出系统内各天体做圆周运动的半径 随堂检测1下列说法正确的是()A海王星和冥王星是人们依据实验观察而直接发现的B
11、天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的C天王星的运动轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用D以上说法均不正确解析：选C海王星的发现是因为在1781年发现的天王星的运行轨道，总是与万有引力定律计算出来的有一定的偏离，经过计算、预测、观察发现了海王星，冥王星的发现是基于同样的原理所以天王星的轨道偏离是因为受其他行星引力的作用，C正确2天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期由此可推算出()A行星的质量B行星的半径C恒星的质量 D恒星的半径解析：选C由Gmr可知，M，可求出恒星的质量3如图，拉格朗日
12、点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小以下判断正确的是()Aa2a3a1 Ba2a1a3Ca3a1a2 Da3a2a1解析：选D空间站和月球绕地球运动的周期相同，由ar知，a2a1；对地球同步卫星和月球，由万有引力定律和牛顿第二定律得Gma，可知a3a2，故选项D正确4冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为71，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动由此可知
13、，冥王星绕O点运动的()A轨道半径约为卡戎的B角速度大小约为卡戎的C线速度大小约为卡戎的7倍D向心力大小约为卡戎的7倍解析：选A本题是双星问题，设冥王星的质量、轨道半径、线速度分别为m1、r1、v1，卡戎的质量、轨道半径、线速度分别为m2、r2、v2，由双星问题的规律可得，两星间的万有引力分别给两星提供做圆周运动的向心力，且两星的角速度相等，故B、D均错；由Gm12r1m22r2(L为两星间的距离)，因此，故A对，C错5宇航员站在一星球表面上某高处，沿水平方向抛出一个小球经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L若抛出时初速度增大到原来的2倍则抛出点与落地点之间的距离为L已
14、知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常量为G求该星球的质量M解析：设抛出点的高度为h，由平抛运动的特点可得：2，设该星球上的重力加速度为g，由平抛运动规律得：hgt2由万有引力定律与牛顿第二定律得mgG联立以上各式得M答案：课时作业学生用书P121(单独成册)一、单项选择题1发现海王星的天文学家是()A哈雷、吉尔伯特B开普勒、哥白尼C勒维烈、亚当斯D牛顿、第谷解析：选C海王星是勒维烈与亚当斯根据万有引力定律，通过计算各自独立地发现的，故C正确2科学家们推测，太阳系还有一颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄
15、弟”由以上信息可以确定()A这颗行星的公转周期与地球相等B这颗行星的半径等于地球的半径C这颗行星的密度等于地球的密度D这颗行星上同样存在着生命解析：选A因为只知道这颗行星的轨道半径，所以只能判断出其公转周期与地球的公转周期相等因为Gm，行星的质量在方程两边可以消去，因此无法知道其密度3近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T，则火星的平均密度的表达式为(k为某个常数)()AkT BCkT2 D解析：选D火星探测器环绕火星做“近地”
16、匀速圆周运动时，mR，又MR3，可得：，故只有D正确4一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体的重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N已知引力常量为G，则这颗行星的质量为()A BC D解析：选B设卫星的质量为m由万有引力提供向心力，得Gmmmg由已知条件：m的重力为N得Nmg由得g，代入得：R代入得M，故A、C、D三项均错误，B项正确5月球与地球质量之比约为180有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为()A16
17、 400 B180C801 D6 4001解析：选C双星系统中的向心力大小相等，角速度相同据此可得Mm，M2r1m2r2，联立得，故C项正确6质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的()A线速度vB角速度C运行周期T2D向心加速度a解析：选A由mm2RmRmgma得v，A对；，B错；T2，C错；a，D错7若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T，引力常量为G，那么该行星的平均密度为()A BC D解析：选B设飞船的质量为m，它做圆周运动的半径为行
18、星半径R，则GmR，所以行星的质量M，行星的平均密度，B项正确二、多项选择题8科学家在研究地月组成的系统时，从地球向月球发射激光，测得激光往返时间为t若还已知万有引力常量G，月球绕地球旋转(可看成匀速圆周运动)的周期T，光速c(地球到月球的距离远大于它们的半径)则由以上物理量可以求出()A月球到地球的距离 B地球的质量C月球受地球的引力 D月球的质量解析：选AB根据激光往返时间为t和激光的速度可求出月球到地球的距离，A正确；又因知道月球绕地球旋转的周期T，根据Gmr可求出地球的质量M，B正确；我们只能计算中心天体的质量，D不对；因不知月球的质量，无法计算月球受地球的引力，C也不对9一行星绕恒星
19、做圆周运动由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则()A恒星的质量为B行星的质量为C行星运动的轨道半径为D行星运动的加速度为解析：选ACD行星绕恒星转一圈，运行的距离等于圆的周长，即2rvT得r，故C正确；ar2r，故D正确；由Gmr得M，故A正确；行星绕恒星的运动与其自身质量无关，行星的质量由已知条件求不出来，故B错误三、非选择题101881年，科学家佐利设计了一个测量地球质量的方法：首先，在长臂天平的两盘放入质量同为m的砝码，天平处于平衡状态；然后，在左盘正下方放入一质量为M的大球，且球心与砝码有一很小的距离d；接着又在右盘中加质量为m的砝码，使天平又恢复平衡状态试导出地
20、球质量M0的估算式 (地球半径为R)解析：设大球M对m的引力为F，由天平再次平衡得mgFmgmg，即Gmg地球对大球的引力等于大球的重力，有GMg由解得地球的质量M0答案：11宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一物体，经过时间t物体落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一物体，需经过时间5t物体落回原处(取地球表面重力加速度g10 m/s2，空气阻力不计)(1)求该星球表面附近的重力加速度g的大小；(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星R地14，求该星球的质量与地球质量之比M星M地解析：(1)由竖直上抛运动规律可知地面上竖直上抛物体落回原地经历的时间为：t在该星球表面竖直上抛的物体落回原地所用时间为：5t，所以gg2 m/s2(2)星球表面物体所受重力等于其所受星体的万有引力，则有：mgG，所以M可解得M星M地180答案：(1)2 m/s2(2)18012在登月计划中，要测算地月之间的距离已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，在地面附近，物体受到地球的万有引力近似等于物体在地面上的重力，又知月球绕地球运动的周期为T，引力常量为G，则：(1)地球的质量为多少？(2)地月之间的距离为多少？解析：(1)设地球质量为M，对地面附近的任何物体m，有mg所以M(2)设地月之间的距离为r，月球的质量为m，则mr得r答案：(1)(2)
