1、安徽省黄山市2015届高三上学期第一次质量检测数学（理）试题 本试卷分第I卷（选择题50分）：和第卷（非选择题100分）两部分，满分150分，考试时间120分钟【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的性质及图象、三角函数、解三角形、数列、平面向量、立体几何、导数的应用、圆锥曲线、概率、离散随机变量的分布列与期望、正态分布、复数、集合、程序框图、极坐标等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好
2、的试卷.第I卷（选择题满分50分）【题文】一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1若复数z满足方程Z2 +2 =0，则z=（ ） A B C D【知识点】复数的运算L4【答案】【解析】A 解析：因为，所以选A.【思路点拨】可结合选项，利用复数的运算进行检验，即可确定正确选项.【题文】2函数f（x）=lgx的零点所在的区间是（ ）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，10）【知识点】零点存在性定理B9【答案】【解析】C 解析：因为，由零点存在性定理知选C.【思路点拨】判断零点所在的区间，可结合零点存在性定理，判断在区间
3、端点的函数值符号即可.【题文】3“”是“”成立的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分条件D既不充分也不必要条件【知识点】充分、必要条件A2【答案】【解析】B 解析：若，则或，则充分性不成立，若，则一定有，则必要性成立，所以选B.【思路点拨】判断充分必要条件时，可先分清条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性成立，若由结论能推出条件，则必要性成立.【题文】4从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点之间的距离不小于该正方形边长的概率为（ ） ABC D【知识点】古典概型K2【答案】【解析】A 解析：从5个点中，任取2个点，有种方法，其中2个点之间的距离不小于该正方形边
4、长的情况有4个边长和2个对角线长共6种情况，所以所求的概率为，则选A.【思路点拨】遇到概率问题先分析概率特征是否为古典概型，若是古典概型，则依据古典概型概率计算公式进行计算即可.【题文】5已知三个正态分布密度函数（x）=的图象如图所示，则（ ）A BCD【知识点】正态分布I3【答案】【解析】D 解析：三个正态分布密度函数的对称轴分别为，由图象可知，又形状一样，比瘦高，所以，所以选D.【思路点拨】理解正态分布密度函数中反应的数据的特征是解题的关键.【题文】6已知双曲线的离心率，则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是（ ）ABCD【知识点】双曲线的几何性质H6【答案】【解析】C 解析：因为，所以，得
5、一条渐近线的倾斜角的范围为，所以选C.【思路点拨】求一条渐近线与实轴所成角的取值范围可转化为求双曲线的渐近线的倾斜角范围进行解答.【题文】7如图，已知点E、F、G分别是棱长为a的正方体ABCDA1 B1Cl D1的棱AA1、CC1、DD1的中点，点M、N、Q、P分别在线段DF、 AG、BE、C1B1上运动，当以M、N、Q、P为顶点的三棱锥PMNQ的俯视图是如图所示的等腰三角形时，点P到平面MNQ的距离为（ ）A B C Da【知识点】三视图G2【答案】【解析】D 解析：若三棱锥PMNQ的俯视图是如图所示的等腰三角形，则M与D重合，Q与E重合，此时点P到平面MNQ的距离等于点P到侧面的距离，等于
6、正方体的棱长a，所以选D.【思路点拨】可先由俯视图的特征判断出M,Q的位置，再求点到平面MNQ的距离即可.【题文】8数列an满足a=，若a1=，则a=（ ）ABCD【知识点】数列的递推公式D1【答案】【解析】B 解析：因为，所以数列以4为周期，又2015=5034+3，所以，则选B.【思路点拨】由数列的递推公式求数列的项时，可依次进行递推求出前几项，再观察有无周期性或等差数列或等比数列特征即可.【题文】9已知函数f（x）= tx，g（x）=（2- t）x24x+l若对于任一实数x0，函数值f（x0）与g（x0）中至少有一个为正数，则实数t的取值范围是（ ） A（,-2）（0，2 B（-2，0）
7、（0，2 C（-2，2 D（0，+）【知识点】二次函数的图象B5【答案】【解析】A 解析：当t=0时，f(x)=0,因为，所以g(x)不是恒正的，不满足题意，排除C，若t=3，当x0，则f(x)0,又，图象开口向下，所以当x0时不能满足恒正，不合题意，排除D，若t=-3,因为，=1620=-40,所以在R上g(x)0，则满足题意，所以排除B，综上可知选A.【思路点拨】当直接求解不方便时，可结合选项用特例法进行排除，以达到确定选项的目的.【题文】10由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实
8、数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足MN=Q，MN=，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割（M，N）,下列选项中，不可能成立的是（ ） AM没有最大元素，N有一个最小元素 BM没有最大元素，N也没有最小元素 CM有一个最大元素，N有一个最小元素 DM有一个最大元素，N没有最小元素【知识点】集合A1【答案】【解析】C 解析：因为M与N满足MN=Q，MN=，不妨设分界点为， M为(,的子集,N为(,+
9、 )的子集，或M为(,)的子集,N为,+ )的子集,此时M没有最大值,N没有最小值，若分界点为1，M为(,1的子集,N为(1,+ )的子集时M有最大值1，N没有最小值，若M为(,1)的子集,N为1,+ )的子集，则M没有最大值，N有最小值1，综上可知选C.【思路点拨】可结合所给的分割定义，以实际例子进行判断排除选项.第卷（非选择题 满分100分）【题文】三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡的相应位置上）【题文】11在极坐标系中，点P（2，）到极轴的距离为 .【知识点】极坐标N3【答案】【解析】 解析：点P（2，）到极轴的距离为.【思路点拨】理解极坐标的意义是解题的关
10、键.【题文】12已知两点A（1，0），B（1，1），O为坐标原点，点C在第二象限，且AOC =135o，设R），则的值为 【知识点】向量的坐标运算F2【答案】【解析】 解析：因为,又AOC =135o，所以.【思路点拨】可先利用向量的坐标运算求出向量坐标，再结合点C位置求的值即可.【题文】13已知x0，y0，且2y+x- xy=0，若x+2y-m0恒成立，则实数m的取值范围是_ 【知识点】基本不等式E6【答案】【解析】(-,8) 解析：因为x+2y=xy=,解得x+2y8,所以x+2y-m8-m0,得m8，所以实数m的取值范围是(-,8).【思路点拨】一般遇到不等式式恒成立问题，可转化为求函数
11、的最值问题进行解答，本题利用基本不等式先求出x+2y的最小值，再求m的范围.【题文】14执行如图所示的程序框图，则输出结果S的值为_ 【知识点】程序框图L1【答案】【解析】 解析：由程序框图可知.【思路点拨】遇到循环结构的程序框图，可依次执行循环体，发现其周期性等规律，再判断最后一项的值，即可解答.【题文】15在直角坐标系中，定义两点P（x1，yl），Q（x2，y2）之间的“直角距离为d（P，Q）= 现有以下命题：若P，Q是x轴上两点，则d（P，Q）= ；已知两点P（2，3），Q（）,则d（P，Q）为定值；原点O到直线xy+1=0上任意一点P的直角距离d（O，P）的最小值为；若|PQ|表示P、
12、Q两点间的距离，那么|PQ|d（P，Q）；其中为真命题的是 （写出所有真命题的序号）。【知识点】命题A2【答案】【解析】 解析：若P，Q是x轴上两点，两点纵坐标均为0，则d（P，Q）= ，所以正确；若两点P（2，3），Q（）,则d（P，Q）=，所以说法正确；，设直线上任意一点为(x,x+1)，则原点O到直线xy+1=0上任意一点P的直角距离d（O，P）=，即其最小值为1，所以命题错误；由基本不等式得，所以命题成立，综上所述，正确的命题为.【思路点拨】可结合所定义两点P（x1，yl），Q（x2，y2）之间的“直角距离对各个命题进行判断解答即可.【题文】三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写
13、出文字说明、证明过程或演算步骤解答写在答题卡上的指定区域内）【题文】16（本小题满分12分） 己知其中（0，），且/。（1）求sin的值；（2）已知ABC中，A=，BC=2+1，求边AC的最大值。【知识点】向量的坐标运算 解三角形F2 C8【答案】【解析】(1)；(2) 解析：(1)因为，且/，所以，又（0，），所以；(2) ABC中，由正弦定理得：，即，所以，当且仅当sinB=1，即时AC取得最大值.【思路点拨】结合向量共线的坐标表示即可得到关于的三角函数式，通过角的变换进行求值，再利用正弦定理得AC边长求最值即可.【题文】17（本小题满分12分）四棱锥PABCD中，PD面ABCD，底面AB
14、CD是菱形，且PD=DA=2，CDA=60o，过点B作直线lPD，Q为直线l上一动点 （1）求证：QPAC； （2）当二面角QACP的大小为120o时，求QB的长；【知识点】线线垂直 二面角G5 G11【答案】【解析】(1)略；) 解析：(1) PD面ABCD, PDAC.又菱形ABCD中，两对角线垂直，即ACBD,又BDPD=D, AC面PDBQ, ACPQ;(2) PAC和QAC都是以AC为底的等腰三角形，设AC和BD的交点为O，连接OP,OQ，则POD是二面角P-AC-D的平面角，由知，二面角P-AC-B大于120，所以点Q与点P在平面ABCD的同侧，如图所示，则POQ是二面角P-AC-
15、Q的平面角，故POQ=120.在RtPOD中，,设QB=x，则RtOBQ中，在直角梯形PDBQ中，在POQ中，由余弦定理得，故64x0且，解得，即QB=.【思路点拨】证明线线垂直通常转化为线面垂直进行证明，遇到二面角条件可先找出其对应的平面角再进行应用解答.【题文】18（本小题满分12分） 甲、乙两人参加某种选拔测试在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的5道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，得分低于o分时记为0分（即最低为0分），至少得15分才能入选 （1）求乙得分的分布列和数学期望； （2）
16、求甲、乙两人中至少有一人入选的概率【知识点】离散随机变量的分布列与期望 概率K2 K6【答案】【解析】(1) ；(2) 解析：（1）设乙得分为，则的所有可能取值为0,15,30，又,所以的分布列为： ； （）设“甲入选”为事件A，“乙入选”为事件B，则，由(1)知： ，所求概率.【思路点拨】求离散随机变量的分布列与期望时，可先分析随机变量的所有取值，再计算各个取值的概率，即可得其分布列，再利用公式求期望.【题文】19（本小题满分13分） 已知函数f（x）=lnx+cosx（）x的导数为（x），且数列an满足。 （1）若数列an是等差数列，求a1的值： （2）若对任意nN*，都有an+ 2n20
17、成立，求a1的取值范围【知识点】导数的计算 等差数列B11 D2【答案】【解析】(1) ；(2) -2,15 解析：，则，故(1)若数列是等差数列，则，由 得：，解得：d=2,；(2)由得，两式相减得，故数列是首项为，公差为4的等差数列；数列是首项为，公差为4的等差数列，又，所以；当n为奇数时，由an+ 2n20即，转化为对任意的奇数n恒成立，令当n为偶数时，由an+ 2n20即，转化为对任意的奇数n恒成立，令，解得，综上，a1的取值范围是-2,15.【思路点拨】(1)先求导，再利用等差数列通项公式得到首项与公差即可；(2)可先求出数列的通项公式，再对不等式分离参数转化为最值问题进行解答.【题
18、文】20（本小题满分13分） 如图，已知椭圆C：的离心率e=，右短轴的端点为A， M（1，0）为线段OA的中点 （1）求椭圆C的方程； （2）过点M任作一条直线与椭圆C相交于两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点N，使得PNM =QNM?若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由【知识点】椭圆的标准方程 直线与椭圆的位置关系H5 H8【答案】【解析】(1) ；(2) 满足条件的点N存在，坐标为(4,0) 解析：(1)由题意得，所以椭圆C的方程为；(2)若存在满足条件的点N，坐标为(t,0)，其中t为常数，由题意直线PQ的斜率不为0，直线PQ的方程可设为：x=my+1(mR)，设，联立，消去x得：
19、，且，由PNM =QNM知：，即，即，展开整理得：，即，即m(t-4)=0，又m不恒为0，t=4,故满足条件的点N存在，坐标为(4,0).【思路点拨】一般遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，通常联立方程，结合韦达定理寻求系数关系进行解答.【题文】21（本小题满分13分） 已知函数f（x）= ax11n x （1）若f（x）0对任意的x（0，+）恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证：对任意的xN*，e（其中e为自然对数的底，e271828）。【知识点】导数的应用 不等式的证明方法B12 E7【答案】【解析】(1) 1,+ ) ；(2) 解析：(1)由f（x）0 得：对任意的x(0,+ )恒成立，令
20、，转化为求g(x)的最大值，当x(0,1)时，g(x)为增函数；当x(1,+ )时，g(x)为减函数，故，a1，即实数a的取值范围是1,+ ). (2)由(1)知lnxx-1对任意的x(0,+ )恒成立，当且仅当x=1时取等号. 对任意成立，即，即.故2ln2-1ln11+ln2; 3ln3-2ln21+ln3; ; (1+n)ln(1+n)-nlnn1+ln(1+n).累加得：(1+n)ln(1+n) n+(ln2+ln3+lnn)+ ln(1+n),即n ln(1+n) n+ln(n！)，即,即e，得证. 【思路点拨】一般遇到不等式恒成立问题，可通过分离参数转化为函数的最值问题进行解答，在导数综合题中证明不等式，可借助已知函数构建不等式，再利用累加求和法证明所要证明的不等式.
