1、2016-2017学年安徽省宿州市高二（上）期末数学试卷（理科）（B卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1直线xy1=0的倾斜角大小（）ABCD2下列命题中，不是公理的是（）A平行于同一条直线的两条直线平行B如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内C如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线D如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补3在长方体ABCDA1B1C1D1中，若=， =， =，则=（）A +B+C +D+4若椭圆+=1上一点P到椭圆一个焦点的距离为4，则P到另一焦点距
2、离为（）A2B4C6D85双曲线=1的渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x6“a=10“是“直线ax+4y2=0与2x5y+b=0互相垂直”的（）A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也必要条件7双曲线y2=1的离心率为（）ABCD8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2BCD49如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AA1=AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（）ABCD10长方体的长、宽、高分别为2、2、2，则其外接球的表面积为（）A64B32C16D811若椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点构成正三角形，则此椭圆的离心率
3、为（）ABCD12已知P为抛物线y2=8x上一点，F为该抛物线焦点，若A点坐标为（3，2），则|PA|+|PF|最小值为（）AB5C7D11二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13命题“x00，x024x0+10”的否定是14已知向量=（2，1，2），=（1，m，n），若，则m+n=15孙子算经是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，一丈等于十尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约为斛【注】这里说明的“圆窖”就是就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”16直线l交椭圆+y2
4、=1于A，B两点，若线段AB的中点坐标为（1，）则直线l的方程为三、解答题：本大题共6小题，共70分解答写出文字说明、证明过程或演算过程17已知p：方程x22x+m=0有实数根，q：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，若p且q为真命题，求实数m的取值范围18已知直线l： xy+1=0，方程x2+y22mx2y+m+3=0表示圆（）求实数m的取值范围；（）当m=3时，试判断直线l与该圆公共点的个数19如图，在边长是2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点（）证明：EF平面ADD1A1；（）求二面角A1ECD大小的余弦值20已知动点P到点M（1，0）的距离与它到直线x=1
5、的距离相等（）求动点P的轨迹方程；（）若直线l：x+y+1=0与动点P的轨迹交于A，B两点，求弦AB的长21如图，在棱锥PABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，平面PCD平面ABCD，M是PB的中点，且BCD=120（）求证：PACD；（）求直线PD与平面CDM所成角的正弦值22已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，且经过点（0，1）（）求椭圆C的标准方程；（）已知直线l：y=kx+m（k0）与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标2016-2017学年安徽省宿州市高二（上）期末数学试卷（理科）（B卷）参考
6、答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1直线xy1=0的倾斜角大小（）ABCD【考点】直线的倾斜角【分析】利用斜率与倾斜角的关系即可得出【解答】解：设直线xy1=0的倾斜角为，0，），则tan=，=故选：B2下列命题中，不是公理的是（）A平行于同一条直线的两条直线平行B如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内C如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线D如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补【考点】平面的基本性质及推论【分析】利用平行公理、公理一、公理二求解【解答】解
7、：在A中，平行于同一条直线的两条直线平行，这是平行公理，故A正确；在B中，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，这是公理一，故B正确；在C中，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，这是公理二，故C正确；在D中，如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，这是平行公理的推论，故D错误故选：D3在长方体ABCDA1B1C1D1中，若=， =， =，则=（）A +B+C +D+【考点】空间向量的加减法【分析】利用空间向量加法法则直接求解【解答】解：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，=， =， =，=故选：C4若椭圆+=1上一点P到椭圆
8、一个焦点的距离为4，则P到另一焦点距离为（）A2B4C6D8【考点】椭圆的简单性质【分析】根据题意，设椭圆的焦点为F1、F2，|PF1|=4，结合椭圆的方程找出a的值，根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10，计算可得|PF2|的值，即可得答案【解答】解：根据题意，设椭圆的焦点为F1、F2，|PF1|=4，又由椭圆的方程为： +=1，则a=5；则有|PF1|+|PF2|=2a=10，又由|PF1|=4，则|PF2|=2a|PF1|=6，即P到另一焦点距离为6；故选：C5双曲线=1的渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x【考点】双曲线的简单性质【分析】根据题意，由双曲线的标
9、准方程可得其焦点在x轴上，以及a、b的值，进而结合渐近线的方程并代入a、b的值计算可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：=1，其中焦点在x轴上，且a=3，b=4，则其渐近线方程为：y=x，故选：B6“a=10“是“直线ax+4y2=0与2x5y+b=0互相垂直”的（）A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】直线ax+4y2=0与2x5y+b=0互相垂直，则=1，解得a即可判断出结论【解答】解：直线ax+4y2=0与2x5y+b=0互相垂直，则=1，解得a=10“a=10“是“直线ax+4y2=0与2x5y+b=0互
10、相垂直”的充要条件故选：A7双曲线y2=1的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得a、b的值，进而由双曲线的几何性质可得c的值，由离心率计算公式计算可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为：y2=1，则其a=2，b=1，故c=，则其离心率e=；故选：D8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2BCD4【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体由上下两部分组成，上面是一个圆锥，下面是一个圆柱【解答】解：由三视图可知：该几何体由上下两部分组成，上面是一个圆锥，下面是一个圆柱该几何体的体积V=+122=故选：B9如图，
11、在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AA1=AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（）ABCD【考点】异面直线及其所成的角【分析】由ACA1C1，知C1A1B是异面直线A1B与AC所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1B与AC所成角的余弦值【解答】解：连结BC1，ACA1C1，C1A1B是异面直线A1B与AC所成角（或所成角的补角），在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AA1=AC=BC=1，AB=，A1B=，BC1=，A1C1=1，cosC1A1B=，异面直线A1B与AC所成角的余弦值为故选：D10长方体的长、宽、高分别为2、2、2，则其外接球的
12、表面积为（）A64B32C16D8【考点】球的体积和表面积【分析】长方体的对角线就是外接球的直径，求出长方体的对角线长，即可求出球的半径，再求球的表面积【解答】解：由题意长方体的对角线就是球的直径，所以长方体的对角线长为： =4，所以球的直径为：4，半径为：2，球的表面积是：4r2=16故选C11若椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点构成正三角形，则此椭圆的离心率为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意画出图形，数形结合得答案【解答】解：如图，椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点构成正三角形，a=2c，则椭圆的离心率e=故选：A12已知P为抛物线y2=8x上一点，F为该抛物线焦点，若A点坐标为（
13、3，2），则|PA|+|PF|最小值为（）AB5C7D11【考点】抛物线的简单性质【分析】利用抛物线的定义，转化为A到准线的距离就是|PA|+|PF|的最小值，即可得出结论【解答】解：将x=3代入抛物线方程y2=8x，得y=2，22，A在抛物线内部设抛物线上的点P到准线l：x=2的距离为d，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d，所以当PAl时，|PA|+d最小，最小值为5故选B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13命题“x00，x024x0+10”的否定是x0，x24x+10【考点】命题的否定【分析】根据已知中的原命题，结合特称命题否定的定义，可得答案【解答】解：命题“x
14、00，x024x0+10”的否定是“x0，x24x+10”，故答案为：x0，x24x+1014已知向量=（2，1，2），=（1，m，n），若，则m+n=【考点】共线向量与共面向量【分析】，则存在实数k使得，即可得出【解答】解：，存在实数k使得，解得k=2，m=，n=1m+n=故答案为：15孙子算经是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，一丈等于十尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约为2700斛【注】这里说明的“圆窖”就是就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”【考点】旋转体（圆柱、圆锥、
15、圆台）【分析】由题意求出圆柱的底面周长和高，由圆的周长公式求出圆柱底面半径，根据圆柱的体积公式求出对应的体积，再除以1.62可得答案【解答】解：由题意知，圆柱的底面周长是54尺，高是18尺，设圆锥的底面半径为r，则2r=54，解得r=9（尺），所以圆柱的体积V=r2h38118=4374（立方尺），因为1斛米的体积约为1.62立方尺，所以出堆放的米约为=2700斛，故答案为：270016直线l交椭圆+y2=1于A，B两点，若线段AB的中点坐标为（1，）则直线l的方程为2x+2y3=0【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2）由=1， =1，相减可得： +（y1+y
16、2）（y1y2）=0，利用中点坐标公式、斜率计算公式代入即可得出【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）. =1， =k=由=1， =1，相减可得： +（y1+y2）（y1y2）=0，1+k=0，解得k=1直线l的方程为：y=（x1），化为：2x+2y3=0故答案为：2x+2y3=0三、解答题：本大题共6小题，共70分解答写出文字说明、证明过程或演算过程17已知p：方程x22x+m=0有实数根，q：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，若p且q为真命题，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】分别求出关于p，q成立的m的范围，根据p且q为真命题，得到关于m的不等式组，解出即可【解答
17、】解：若p为真，即方程有解，42m0，即m2若q为真，即表示焦点在x轴上的椭圆，m+34，即m1因为p且q为真，所以p和q都为真，解得1m2，m（1，218已知直线l： xy+1=0，方程x2+y22mx2y+m+3=0表示圆（）求实数m的取值范围；（）当m=3时，试判断直线l与该圆公共点的个数【考点】直线与圆的位置关系【分析】（）利用4m2+44（m+3）0，即可求实数m的取值范围；（）当m=3时，求出圆心到直线的距离大于半径，即可判断直线l与该圆公共点的个数【解答】解：（）方程x2+y22mx2y+m+3=0表示圆，4m2+44（m+3）0m1或m2（）当m=3时，圆的方程可化为（x3）2
18、+（y1）2=4所以圆心为（3，1），半径为r=2圆心到直线的距离直线与圆相离，即直线与圆没有公共点19如图，在边长是2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点（）证明：EF平面ADD1A1；（）求二面角A1ECD大小的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（）以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明EF平面ADD1A1（）求出平面A1EC的法向量和平面ECD的法向量，利用向量法能求出二面角A1ECD大小的余弦值【解答】（本题满分12分）证明：（）以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直
19、线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则E（2，1，0），A1（2，0，2），C（0，2，0），F（1，1，1）所以，平面ADD1A1的法向量，因为所以平面ADD1A1因为EF平面ADD1A1所以EF平面ADD1A1解：（），设平面A1EC的法向量为由，得令x=1，得y=2，z=1，于是因为平面ECD的法向量为，由图知二面角A1ECD大小为锐角，所以二面角A1ECD大小的余弦值为20已知动点P到点M（1，0）的距离与它到直线x=1的距离相等（）求动点P的轨迹方程；（）若直线l：x+y+1=0与动点P的轨迹交于A，B两点，求弦AB的长【考点】直线与抛物线的位置关系；轨迹方程【分析】
20、（）由题意知动点P的轨迹是以M（1，0）为焦点，顶点为坐标原点的抛物线，即可求动点P的轨迹方程；（）若直线l：x+y+1=0与动点P的轨迹交于A，B两点，由方程组消去x得：y24y4=0，利用韦达定理及弦长公式求弦AB的长【解答】解：（）由题意知动点P的轨迹是以M（1，0）为焦点，顶点为坐标原点的抛物线所以P点轨迹方程为y2=4x（）设A（x1，y1），B（x2，y2），由方程组消去x得：y24y4=0y1+y2=4，y1y2=4所以21如图，在棱锥PABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，平面PCD平面ABCD，M是PB的中点，且BCD=120（）求证：PACD；（）
21、求直线PD与平面CDM所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（）推导出三角形CDA为等边三角形，取CD的中点O，连接AC，AO，PO，则AOCD，POCD，从而CD平面AOP，由此能证明CDPA（）以O为原点，直线OD，OA，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，利用向量法能求出直线PD与平面CDM所成角大小的正弦值【解答】（本题满分12分）证明：（）因为底面ABCD是菱形，且BCD=120，所以CDA=60，所以三角形CDA为等边三角形取CD的中点O，连接AC，AO，PO，则AOCD，POCD，AOPO=O，CD平面AOP，CDPA解：
22、（）平面PCD平面ABCD，OPOA，OP平面ABCD，以O为原点，直线OD，OA，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示，则，设为平面CDM的法向量，则，即，令y=1，则z=1，直线PD与平面CDM所成角大小的正弦值为22已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，且经过点（0，1）（）求椭圆C的标准方程；（）已知直线l：y=kx+m（k0）与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（）由已知求得b，结合离心率及隐含条件求得a，则椭圆方程可求；（）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x
23、的一元二次方程，利用根与系数的关系求得两点横纵坐标的乘积，再由向量数量积为0求得m与k的关系，分类求出直线方程可得直线l过定点的坐标【解答】解：（）点（0，1）在椭圆上，b2=1，即b=1，解得a=2椭圆的标准方程为；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+4k2）x2+8mkx+4（m21）=0，=64m2k216（1+4k2）（m21）0，即1+4k2m20以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），ADBD，x1x22（x1+x2）+4+y1y2=0，即，即5m2+16mk+12k2=0，解得：，且满足1+4k2m20当m=2k时，l：y=k（x2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；当时，直线过定点综上可知，直线l过定点，定点坐标为2017年3月15日
