1、第3讲 机械能守恒定律考点 1 重力势能和弹性势能1.重力势能(1)重力做功的特点重力做功与_无关，只与初、末位置的_有关.路径高度差重力势能重力做功引起物体_的变化.(2)重力势能概念：物体由于被_而具有的能.表达式：Ep_.矢标性：重力势能是_，正负表示其_.(3)重力做功与重力势能变化的关系减少量Ep定性关系：重力对物体做正功，重力势能就_；重力对物体做负功，重力势能就_.定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的_.即 WG(Ep2Ep1)_.举高mgh标量大小减少增加重力势能具有相对性，同一物体位于同一位置时，由于选择不同的水平面作为零势能面，其重力势能的数值(包括正、负)也不同.
2、2.弹性势能：物体由于发生弹性形变而具有的能量.弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量_，劲度系数_，弹簧的弹性势能越大.考点 2 机械能守恒定律越大越大1.机械能：_和势能统称为机械能.2.机械能守恒定律的内容：在只有_或_做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变.动能重力弹力Ek2Ep23.机械能守恒定律的表达式：Ek1Ep1_.【基础自测】1.如图 5-3-1 所示，质量为 m 的小球，从离桌面 H 高处由静止下落，桌面离地高度为 h.若以桌面为参考平面，那么小球)落地时的重力势能及整个过程中重力势能的变化分别是(A.mgh，减少 mg(Hh)B.
3、mgh，减少 mg(Hh)C.mgh，减少 mg(Hh)图 5-3-1D.mgh，减少 mg(Hh)答案：D)2.关于机械能是否守恒，下列说法正确的是(A.做匀速直线运动的物体机械能一定守恒B.做匀速圆周运动的物体机械能一定守恒C.做变速运动的物体机械能可能守恒D.合外力对物体做功不为零，机械能一定不守恒答案：C3.质量为 1 kg 的物体从倾角为 30、长 2 m 的光滑斜面顶端由静止开始下滑，若选初始位置为零势能点，那么，当它滑到斜面中点时具有的机械能和重力势能分别是(g 取 10 m/s2)()A.0 J，5 JC.10 J,5 JB.0 J，10 JD.20 J，10 J解析：物体下滑
4、时机械能守恒，故它下滑到斜面中点时的机械能等于在初始位置的机械能，下滑到斜面中点时的重力势答案：A能 EpmgL2sin 3011022sin 30 J5 J.A 正确.4.如图 5-3-2 所示的光滑轻质滑轮，阻力不计，M12 kg，M21 kg，M1 离地高度为 H0.5 m.M1 与 M2 从静止开始释放，)M1 由静止下落 0.3 m 时的速度为(图 5-3-2A.2 m/s B.3 m/s C.2 m/s D.1 m/s答案：A解析：对系统运用机械能守恒定律得，(M1M2)gh12(M1M2)v2，代入数据解得 v 2 m/s，A 正确，B、C、D错误.热点 1 机械能守恒的判断方法
5、热点归纳【典题 1】(多选)如图 5-3-3 所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是()甲乙丙丁图 5-3-3A.图甲中，物体 A 将弹簧压缩的过程中，A 机械能守恒B.图乙中，A 置于光滑水平面上，物体 B 沿光滑斜面下滑，物体 B 机械能守恒C.图丙中，不计任何阻力和定滑轮质量时 A 加速下落，B加速上升过程中，A、B 系统机械能守恒D.图丁中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒解析：图甲中重力和弹力做功，物体 A 和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体 A 机械能不守恒，A 错误；图乙中物体 B除受重力外，还受弹力，弹力对 B 做负功，机械能不守恒，但从能量特点看 A、B
6、组成的系统机械能守恒，B 错误；图丙中绳子张力对 A 做负功，对 B 做正功，代数和为零，A、B 系统机械能守恒，C 正确；图丁中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，D 正确.答案：CD易错提醒：(1)机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力做功”不等于“只受重力作用”.(2)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒.(3)对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断.热点 2 机械能守恒定律的应用热点归纳1.表达式2.一般步骤3.选用技巧(1)在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零
7、势能面.(2)在处理连接体问题时，通常应用转化观点和转移观点，都不用选取零势能面.考向 1 单个物体的机械能守恒(1)求小球在 B、A 两点的动能之比.(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C 点.图 5-3-4【典题 2】(2016 年新课标卷)如图 5-3-4 所示，在竖直平面内有由14圆弧 AB 和12圆弧 BC 组成的光滑固定轨道，两者在最低点 B 平滑连接.AB 弧的半径为 R，BC 弧的半径为R2.一小球在A 点正上方与 A 相距R4处由静止开始自由下落，经 A 点沿圆弧轨道运动.解：(1)设小球的质量为 m，小球在 A 点的动能为 EkA，由机械能守恒得EkAmgR4 设小球在
8、B 点的动能为 EkB，同理有EkBmg5R4 由式得EkBEkA51 (2)若小球能沿轨道运动到 C 点，小球在 C 点所受轨道的正压力 FN 应满足FN0 设小球在 C 点的速度大小为 vC，由牛顿第二定律和向心加速度公式有FNmgmv2CR2 由式得 mgm2v2CR vCRg2 对全程应用机械能守恒定律得 mgR412mvC2 由式可知，vCvC，即小球恰好可以沿轨道运动到C 点.考向 2 用机械能守恒定律解决非质点问题【典题 3】如图 5-3-5 所示，露天娱乐场空中列车是由许多节完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为 R 的空中圆形光滑轨道，若列车全长
9、为 L(L2R)，R 远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆形光滑轨道前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆形轨道(车厢间的距离不计).图 5-3-5解：当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满圆形轨道时的速度最小，设此时的速度为 v，列车的质量为 M，轨道上那部分列车的质量为 MML2R由机械能守恒定律可得12Mv2012Mv2MgR又因圆形轨道顶部车厢应满足 mgmv2R可求得 v0gR14RL.方法技巧：在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将会发生形变，其重心位置相对物体也会发生变化，因此这类物体
10、不能再看成质点来处理.物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒.一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初末状态物体重力势能的变化列式求解.热点 3 含弹簧类机械能守恒问题热点归纳1.由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒.2.在相互作用过程特征方面，弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大.3.如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释
11、放).【典题 4】(2018 年内蒙古包头模拟)如图5-3-6 所示，在竖直方向上 A、B 两物体通过劲度系数为 k 的轻质弹簧相连，A 放在水平地面上，B、C 两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的光滑斜面上.用手拿住 C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证 ab 段的细线竖直、cd 段的细线与斜面平行.已知A、B 的质量均为 m，C 的质量为 4m，重力加速度为 g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释放 C 后 C 沿斜面下滑，A 刚离开地面时，B 获得最大速度.求：(1)斜面倾角.(2)B 的最大速度 v.图 5-3-6解：(1)当物体 A 刚刚离开地面时，
12、设弹簧的伸长量为xA，对A有kxAmg.此时B受到重力mg、弹簧的弹力kxA、细线拉力FT三个力的作用，设B的加速度为a，根据牛顿第二定律，对B有FTmgkxAma，对C有4mgsin FT4ma，当B获得最大速度时，有a0，由此解得sin 0.5，所以30.(2)开始时弹簧压缩的长度为 xBmgk，显然 xAxB.当物体 A刚离开地面时，B 上升的距离以及 C 沿斜面下滑的距离为 xAxB.由于 xAxB，弹簧处于压缩状态和伸长状态时的弹性势能相等，且物体 A 刚刚离开地面时，B、C 两物体的速度相等，设为v，由机械能守恒定律得 4mg(xAxB)sin mg(xAxB)12(4mm)v2，
13、代入数值解得 v2gm5k.方法技巧：一般来说，我们说一个物体的机械能就是这个物体的重力势能和动能，物体和弹簧组成的系统的机械能包括重力势能、弹性势能和动能.【迁移拓展】(2018 届四川乐山第二次调研)如图5-3-7 所示，在固定倾斜光滑杆上套有一个质量为 m 的圆环，杆与水平方向的夹角30，圆环与竖直放置的轻质弹簧上端相连，弹簧的另一固定在地面上的 A 点，弹簧处于原长 h，让圆环沿杆由静止滑下，当圆环下滑到杆的底端时速度恰为零，则在圆环下滑过程中()图 5-3-7A.圆环和地球组成的系统机械能守恒B.当弹簧垂直于光滑杆时圆环的动能最大C.圆环在底端时，弹簧的弹性势能达最大为 mghD.弹
14、簧转过 60角时，圆环的动能为12mgh解析：在圆环下滑过程中，弹簧的拉力对圆环做功，所以圆环和地球组成的系统的机械能不守恒，A 错误；当圆环沿杆的加速度为零时，其速度最大，动能最大，此时弹簧处于伸长状态，给圆环一个斜向左下方的拉力，B 错误；圆环和地球以及弹簧组成的系统机械能守恒，根据系统的机械能守恒，圆环的机械能减少了 mgh，那么圆环的机械能的减小量等于弹性势能增大量，为 mgh，C 正确；弹簧转过 60角时，此时弹簧仍为答案：CD原长，以圆环为研究对象，利用动能定理得 mgh212mv2，即圆环的动能等于mgh2，D 正确.机械能守恒定律在绳(杆)连接体模型中的应用1.常见情景(1)轻
15、杆连接的物体系统甲乙丙丁图5-3-8(2)轻绳连接的物体系统甲乙丙丁图5-3-92.四点提醒(1)通过杆相连的同轴转动的两物体角速度相等，如图 5-3-8甲、乙、丙.(2)通过绳直拉的两物体速度大小相等，如图 5-3-9 甲、乙、丙.(3)通过绳、杆斜拉的两个物体，两物体沿绳、杆方向的分速度相等，分别如图 5-3-9 丁、5-3-8 丁.(4)对于绳(杆)和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒.【典题 5】(2017 年广东肇庆二模)如图 5-3-10 所示，一个长直轻杆两端分别固定一个小球 A 和 B，两球质量均为 m，两球半径忽略不计，杆的长度为 l
16、.先将杆 AB 竖直靠放在竖直墙上，轻轻振动小球 B，使小球 B 在水平面上由静止开始向右滑动，摩擦)()图 5-3-10当小球 A 沿墙下滑距离为12l 时，下列说法正确的是(不计一切A.小球 A 和 B 的速度都为12 glB.小球 A 和 B 的速度都为12 3glC.小球 A 的速度为12 3gl，小球 B 的速度为12 glD.小球 A 的速度为12 gl，小球 B 的速度为12 3gl 答案：C解析：当小球 A 沿墙下滑距离为12l 时，设此时 A 球的速度为 vA，B 球的速度为 vB.根据系统机械能守恒，得 mgl212mv2A12mv2B两球沿杆子方向上的速度相等，则有 vA
17、cos 60vBcos 30.联立两式解得 vA12 3gl，vB12 gl.C 正确，A、B、D 错误.【触类旁通】一半径为 R 的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸长的细绳连接的 A、B 两球悬挂在圆柱面边缘两侧，A 球质量为 B 球质量的 2 倍，现将 A 球从圆柱边缘处由静止释放，如图 5-3-11 所示.已知 A 球始终不离开圆柱内表面，且细绳足够长，若不计一切摩擦，求：(1)A 球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小.(2)A 球沿圆柱内表面运动的最大位移.图 5-3-11解：(1)设 A 球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小为 v，B 球的质量为 m，则根据机械能守恒定律有甲乙图 D332mgR 2mgR122mv212mv2B由图 D33 甲可知，A 球速度 v 与 B 球速度 vB 的关系为vBv1vcos 45联立解得 v2 2 25gR.(2)当 A 球的速度为零时，A 球沿圆柱内表面运动的位移最大，设圆柱体内细绳长为 x，如图乙所示，由几何关系可知 A球下降的高度 h根据机械能守恒定律有 2mghmgx0解得 xx2R 4R2x23R.
