1、数学试卷一卷一、 选择题（每题5分，每题只有一个正确答案）1.设集合A=2，3，7，B=1，2，3，5，8,则=（ ）A. 1，3，5，7 B. 2，3 C. 2，3，5 D.1，2，3，5，7，8 2. =（ ）A. B. C. D.3.双曲线的焦距是（）A. B.3 C. 2 D.64西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位，阅读过红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值
2、为（ ）A0.5 B0.6 C0.7D0.85.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的 晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心 记为O），地球上一点 A的纬度是指OA与地球赤道所在平面 所成角，点 A 处的水平面是指过点 A 且与OA垂直的平面.在点 A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 A处的纬度为北纬，则晷针与点 A处的水平面所成角为（ ）A. B. C. D. 6.已知与均为单位向量，若，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 7有4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法为（ ）A.6
3、种 B.12种 C.36种 D.72种 8.设定义在上的奇函数满足（），则（）A. B. C. D.二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分）9某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是 （ ） A月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B月跑步平均里程逐月增加C月跑步平均里程高峰期在10月份D1月至5月的月跑步平均里程相对于6
4、月至11月，波动性更小，变化比较平稳10. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则 （ ）A.在上的最小值为 B.在上的最大值1 C.在上的最大值为 D.在上的最小值为11若 ，则（ ）Aln(ab)0 B Ca3b30 Dab12信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.下列正确的为（ ）A若n=1，则H(X)=0B若n=2，则H(X)随着的增大而增大C若，则H(X)随着n的增大而增小D若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则二卷三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.函数的定义域是_.14.已知是等差数列，
5、则的前 n 项和为 15.已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离是_16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1则该半正多面体的棱长为_四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17.（10 分） 在ac=, c sin A =3,c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若
6、问题中的三角形存在,求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问 题 ： 是 否 存 在 DABC ， 它 的内角 A, B,C 的 对边分别 为 ，且, ?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.（12 分）已知公比大于 1 的等比数列满足 （1）求的通项公式；（2）求19 （12分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1（1）证明：BE平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角BECC1的正弦值20.（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：
7、天）：锻炼人次锻炼人次空气质量等级0，200（200，400（400，6001（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”根据所给数据，完成下面的22列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次400人次400空气质量好空气质量不好附：K2=，P（K2k）0.050 0.010 0.001k3.841 6.6
8、35 10.828 21.(12分)已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为(1)证明：；(2)设为的右焦点，为上一点，且证明：，成等差数列，并求该数列的公差22. （12分）已知函数.（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线.答案1-8 BADC ADCD9 CD 10 AB11 ABC12 AD13 14 15 216 17解：方案一：选条件由和余弦定理得由及正弦定理得于是，由此可得由，解得因此，选条件时问题中的三角形存在，此时方案二：选条件由和余弦定理得由及正弦定
9、理得于是，由此可得，由，所以因此，选条件时问题中的三角形存在，此时方案三：选条件由和余弦定理得由及正弦定理得于是，由此可得由，与矛盾因此，选条件时问题中的三角形不存在18 （1） 。 6分 （2） 。 12分19解：（1）由已知得，平面，平面，故又，所以平面。4分（2）由（1）知由题设知，所以，故，以为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则C（0，1，0），B（1，1，0），（0，1，2），E（1，0，1），设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则即所以可取n=.设平面的法向量为m=（x，y，z），则即所以可取m=（1，1，0）于是所以，二面角的正
10、弦值为。12分20解：（1）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为。6分（2）根据所给数据，可得列联表：人次400人次400空气质量好3337空气质量不好228根据列联表得由于，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关 。12分21 (1)设，则，两式相减，并由得由题设知，于是由题设得，故。6分(2)由题意得，设，则由(1)及题设得，又点在上，所以，从而，于是同理所以故，即，成等差数列设该数列的公差为，则将代入得所以的方程为，代入的方程，并整理得故，代入解得所以该数列的公差为或。12分22解：（1）f（x）的定义域为（0，1）（1，+）因为，所以在（0，1），（1，+）单调递增因为f（e）=，所以f（x）在（1，+）有唯一零点x1，即f（x1）=0又，故f（x）在（0，1）有唯一零点综上，f（x）有且仅有两个零点。6分（2）因为，故点B（lnx0，）在曲线y=ex上由题设知，即，故直线AB的斜率曲线y=ex在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，所以曲线在点处的切线也是曲线y=ex的切线。12分
