1、2020-2021学年度高二年级9月份月考数学试题（理） 第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)（1题图）1沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的正视图、侧视图与俯视图分别为() A B C D（2题图）2.如图所示的正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A6 cm B8 cm C(23) cm D(22) cm 3下列命题中，错误的是( )A平行于同一平面的两个平面平行B平行于同一直线的两个平面平行C一条直线与两个平行平面中的一个相交，
2、那么这条直线必和另一个平面相交D一条直线与两个平行平面所成的角相等（4题图）4.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有( )A14斛 B22斛 C36斛 D66斛 5.设a，b是异面直线，则以下四个命题：存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面；存在分别经过直线a和b的两个平行平面；经过直线a有且只有一个平面垂直
3、于直线b；经过直线a有且只有一个平面平行于直线b，其中正确的个数为()（6题图）A1 B2 C3 D46.如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF，且EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为() （7题图）A. B5 C6 D.7如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的直径为()A. B1 C2 D4（8题图）8九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为() A2 B42 C44 D649.点P在正方体侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持APBD1，
4、则点P的轨迹为()（10题图）A 线段B1C B. BB1的中点与CC1的中点连成的线段C线段BC1 DBC的中点与B1C1的中点连成的线段 10如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD2AB4，EFBA，则EF与CD所成的角为()A90 B45 C60 D30 11已知直二面角l，A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足若AB2，ACBD1，则D到平面ABC的距离等于()A. B C. D12已知三棱锥P ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥PABC的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.第卷(非
5、选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13已知P为ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正确命题的个数是_（14题图）14如图,在ABC中,ACB=90,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点Pl,当点P逐渐远离点A时,PCB的大小会.(填“变大”“变小”或“不变”)15已知平面平面，P是，外一点，过P点的两条直线AC，BD分别交于点A，B，交于点C，D，且PA6，AC9，AB8，则CD的长为_（16题图）16. 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，给出下列四个命题：对角
6、线AC1被平面A1BD和平面B1CD1三等分；正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为123；以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是； 正方体与以A为球心，1为半径的球的公共部分的体积是.其中正确命题的序号为_三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)（17题图）17(本小题10分)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABCA1B1C1中，AC9，BC12，AB15，AA112，点D是AB的中点(1)求证：ACB1C；(2)求证：AC1平面CDB1.（18题图）18.(本小题12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A
7、B,AA1的中点.求证:(1)E,C,D1,F四点共面;(2)CE, D1F, DA三线共点.（19题图）19.(本小题12分)在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，AA1A1CACABBC2，且点O为AC中点(1)证明：A1O平面ABC；(2)求三棱锥C1ABC的体积（20题图）20 (本小题12分)如图，已知四棱锥PABCD，底面四边形ABCD为菱形，AB2，BD2，M，N分别是线段PA，PC的中点(1)求证：MN平面ABCD；(2)求异面直线MN与BC所成角的大小（21题图）21.(本小题12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，PA2，ABC90，A
8、B，BC1，AD2，ACD60，E为CD的中点(1)求证：BC平面PAE；(2)求点A到平面PCD的距离(22题图）22.(本小题12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(1)证明：PA平面DBE；(2)证明：PB平面EFD；(3)求二面角CPBD 的大小.高二九月月考理数答案ABBBC DCCAD CD133 14.不变 1520或4 16. 17.证明(1)三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，CC1平面ABC，又AC平面ABC，CC1AC.又AC9，BC12，AB15，AC2BC2AB2，ACBC.C
9、C1，BC平面BB1C1C，CC1BCC，AC平面BB1C1C，又B1C平面BB1C1C，ACB1C.(2)取A1B1的中点D1，连接C1D1，D1D和AD1，ADD1B1，且ADD1B1，四边形ADB1D1为平行四边形，AD1DB1，又AD1平面CDB1，DB1平面CDB1，AD1平面CDB1.CC1DD1，且CC1DD1，四边形CC1D1D为平行四边形，C1D1CD，又CD平面CDB1，C1D1平面CDB1，C1D1平面CDB1，AD1C1D1D1，AD1，C1D1平面AC1D1，平面AC1D1平面CDB1，又AC1平面AC1D1，AC1平面CDB1.18.（1)如图,连接EF,CD1,B
10、A1.因为E,F分别是AB,AA1的中点,所以EFBA1.又BA1CD1,所以EFCD1.所以E,C,D1,F四点共面.(2)因为EFCD1,EFCD1,所以CE与D1F必相交,设交点为P.由PCE,CE平面ABCD,得P平面ABCD.同理,得P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1=DA,所以P直线DA.所以CE,D1F,DA三线共点.19.(1)证明：因为AA1A1C，且O为AC的中点，所以A1OAC，又平面AA1C1C平面ABC，平面AA1C1C平面ABCAC，且A1O平面AA1C1C，所以A1O平面ABC.(2)解：因为A1C1AC，A1C1平面ABC，AC平面ABC，所以A
11、1C1平面ABC，即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离由(1)知A1O平面ABC且A1O，所以VC1ABCVA1ABCSABCA1O21.20.(1)证明连接AC交BD于点O，M，N分别是线段PA，PC的中点，MNAC，MN平面ABCD，AC平面ABCD，MN平面ABCD.(2)解由(1)知，ACB就是异面直线MN与BC所成的角或其补角四边形ABCD为菱形，AB2，BD2，在RtBOC中，BC2，BO，OCB60，异面直线MN与BC所成的角为60.21.解析：(1)证明：AB，BC1，ABC90，AC2，BCA60.在ACD中，AD2，AC2，ACD60，AD2AC2CD22AC
12、CDcosACD，CD4，AC2AD2CD2，ACD是直角三角形，又E为CD中点，AECDCE，ACD60，ACE为等边三角形，CAE60BCA，BCAE，又AE平面PAE，BC平面PAE，BC平面PAE.(2)设点A到平面PCD的距离为d，根据题意可得，PC2，PDCD4，SPCD2，VPACDVAPCD，SACDPASPCDd，2222d，d，点A到平面PCD的距离为.22.(1)证明连接AC交BD于点O，连接OE.在PAC中，O，E分别是AC，PC的中点，OE是PAC的中位线，OEPA，又PA平面DBE，OE平面DBE，PA平面DBE.(2)证明PD平面ABCD，又DC平面ABCD，PDDC.又PDDC，PDC是等腰直角三角形，而E是斜边PC的中点，DEPC.同理可证PDBC.底面ABCD是正方形，DCBC，又PDDCD，PD，DC平面PDC，BC平面PDC.又DE平面PDC，BCDE，BCPCC，BC，PC平面PBC，DE平面PBC，又PB平面PBC，DEPB，又EFPB且DEEFE，DE，EF平面DEF，PB平面EFD.(3)解由(2)知PBDF，EFD是二面角CPBD的平面角.设正方形ABCD的边长为a，则PDDCa，BDa，PBa，PCa，DEPCa，在RtPDB中，DFa，在RtEFD中，sinEFD，EFD60.二面角CPBD的大小为60.
