1、2010-2011学年东北三省京海夏季大联考数学试卷(卷B)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分第卷一选择题:本卷共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1集合,则为( ) ABMCND2已知,i为虚数单位,且,则的值为( ) AB-1 C2008+2008iD3已知圆与直线及都相切,圆心在直线上,则圆的方程为( )A BC D4设是函数的导函数,的图象如图所示,则的图象最有可能的是O12xyxyyO12yO12xO12xABCDO12xy5若函数的值恒等于2,则点关于原点对称的点的坐标是( ) A(2,0)B(-2,0)C(0,-2)D(-
2、1,1)A6在长方体中,则直线与所成的角的正切值为( ) ABCD7正五边形中,若把顶点染上红,黄,绿三种颜色中的一种,使得相邻顶点所染颜色不同,则不同的染色方法共有( ) A30种B27种C24种D21种8已知是平面上不共线的三点,O为平面ABC内任一点,动点P满足等式开始i=1, S=0i100S= S +ii = i +1输出S结束否是S =1/ S第9题图 且,则P的轨迹一定通过的( ) A内心B垂心C重心DAB边的中点9右图所示的算法流程图中,输出的表达式为A BC D10(理)定义:若数列为任意的正整数n,都有为常数,则称为“绝对和数列”,d叫做“绝对公和” 已知“绝对和数列”中,
3、绝对公和为3,则其前2009项的和的最小值为( ) A-2009B-3010C-3014D3028(文)已知数列的前n项和是且,那么“数列是等比数列”的充要条件是( ) ABCD为任意实数11已知分别为双曲线的左,右焦点,M为双曲线上除顶点外的任意一点,且的内切圆交实轴于点N,则的值为( ) ABCD12函数的定义域为,若对于任意,当时,都有,则称函数在上为非减函数设函数在0,1上为非减函数,且满足以下三个条件: 则等于 ( )A B C1 D第卷二填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在题中横线上13的展开式中第二项与第三项的系数之和等于27,则n等于 ;系数最大的项是第 项14
4、若数列满足,则数列的通项公式 正视图 左视图aaaaaCABa俯视图第15题图15一个多面体的直观图和三视图(正视图、左视图、俯视图)如图所示,则三棱锥的体积为 16(理)已知是正实数,如果不等式组:表示的区域内存在一个半径为1的圆,则的最小值为 (文) 三解答题:本题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17(本小题满分12分)设的内角所对的边分别为且()求角的大小;()若,求的周长的取值范围18(本小题满分12分)某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动活动规则如下:消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次,并获得相应金额的返券,假定指针等可能地停在任一位置 若指针停在A
5、区域返券60元;停在B区域返券30元;停在C区域不返券 例如:消费218元,可转动转盘2次,所获得的返券金额是两次金额之和()若某位顾客消费128元,求返券金额不低于30元的概率;第18题图()若某位顾客恰好消费280元,并按规则参与了活动,他获得返券的金额记为(元)求随机变量的分布列和数学期望 19(本小题满分12分)如图,三棱柱中,侧面底面,,且,O为中点()证明:平面;()求直线与平面所成角的正弦值;()在上是否存在一点,使得平面,若不存在,说明理由;若存在,确定点的位置第19题图 20(本小题满分12分)如图,设抛物线的准线与轴交于,焦点为;以为焦点,离心率的椭圆与抛物线在轴上方的交点
6、为,延长交抛物线于点,是抛物线上一动点,且M在与PyxQ第20题图之间运动()当时,求椭圆的方程;()当的边长恰好是三个连续的自然数时,求面积的最大值21(本小题满分12分)已知函数 ()若函数在区间(其中)上存在极值,求实数的取值范围;()如果当时,不等式恒成立,求实数k的取值范围;()求证请考生在第(22),(23),(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分22(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,在RtABC中,BE平分ABC交AC于点E,点D在AB上,第22题图ECADB()求证:AC是BDE的外接圆的切线;()若,求EC的长23(本小题满分10分)选修44
7、:坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:,求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长24(本小题满分10分)选修45:不等式选讲,求证:京海夏季大联考答案(B)数学一:1-5 DBBCB 6-10 BADA (理)B(文)A 11-12 AA二:13【答案】:9 514【答案】:4n-215【答案】:;16【答案】:(理) (文)-1三:17解:()由得 1分又 3分,又 6分()由正弦定理得:,7分 故的周长的取值范围为 12分()另解:周长 由()及余弦定理 又即的周长的取值范围为 12分18解:设指针落在
8、A,B,C区域分别记为事件A,B,C则3分()若返券金额不低于30元,则指针落在A或B区域6分即消费128元的顾客,返券金额不低于30元的概率是()由题意得,该顾客可转动转盘2次随机变量的可能值为0,30,60,90,120 7分;10分所以,随机变量的分布列为: 0306090120 12分其数学期望 12分19解:()证明:因为,且O为AC的中点,所以1分又由题意可知,平面平面,交线为,且平面, 所以平面4分()如图,以O为原点,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系由题意可知,又;所以得:则有:第19题图设平面的一个法向量为,则有 ,令,得 所以6分 因为直线与平面所成角和向量与所
9、成锐角互余,所以 8分()设即,得所以得 10分 令平面,得 ,即得即存在这样的点E,E为的中点12分20解:()当时, ,则设椭圆方程为,则又,所以所以椭圆C2方程为 4分()因为,则,设椭圆方程为由,得 6分即,得代入抛物线方程得,即,因为的边长恰好是三个连续的自然数,所以 8分此时抛物线方程为,直线方程为:联立,得,即,所以,代入抛物线方程得,即设到直线PQ的距离为 ,则 10分当时,即面积的最大值为 12分21解:()因为, ,则, 1分当时,;当时, 所以在(0,1)上单调递增;在上单调递减, 所以函数在处取得极大值 2分 因为函数在区间(其中)上存在极值, 所以 解得 4分()不等
10、式,即为 记所以 6分 令则, 在上单调递增,从而 故在上也单调递增,所以 8分()由()知:恒成立,即 令,则, 所以 叠加得: 10分则,所以 12分22解()取BD的中点O,连接OEBE平分ABC,CBE=OBE又OB=OE,OBE=BEO,CBE=BEO,BCOE3分C=90,OEAC,AC是BDE的外接圆的切线 5分()设O的半径为r,则在AOE中,即,解得, 7分OA=2OE,A=30,AOE=60CBE=OBE=30EC= 10分23解:曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为,即,直线l的参数方程,化为普通方程为xy1=0,5分曲线C的圆心(2,0)到直线l的距离为,所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长10分24解:左端变形 ,只需证此式即可。4分10分注:柯西不等式:、,则推论: 其中、 其中、