1、章末综合检测(三)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知向量a(2，4，5)，b(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1l2，则()Ax6，y15Bx3，yCx3，y15 Dx6，y解析：选D.因为l1l2，所以ab，则，所以x6，y.2若直线l的方向向量为a(1，0，2)，平面的法向量为u(2，0，4)，则()Al BlCl Dl与斜交解析：选B.因为u2a，所以ua.所以l.3已知A(1，2，1)关于平面xOy的对称点为B，而B关于x轴的对称点为C，则等于()A(0，4，2) B(0，
2、4，2)C(0，4，0) D(2，0，2)解析：选B.因为B(1，2，1)，C(1，2，1)，所以(0，4，2)4已知向量a(0，2，1)，b(1，1，2)，则a与b的夹角为()A0 B45C90 D180解析：选C.已知a(0，2，1)，b(1，1，2)，则ab0，从而得出a与b的夹角为90.5若向量(1，0，z)与向量(2，1，0)的夹角的余弦值为，则z等于()A0 B1C1 D2解析：选A.由题知，1 ，所以z0.6在平行六面体ABCDABCD中，若x2y3z，则xyz等于()A1 B.C. D.解析：选B.如图，所以x1，2y1，3z1，所以x1，y，z，因此xyz1.7点P是棱长为1
3、的正方体ABCDA1B1C1D1内一点，且满足，则点P到棱AB的距离为()A. B.C. D.解析：选A.如图所示，过P作PQ平面ABCD于Q，过Q作QEAB于E，作QFAD于F.连接AQ、PE.因为，所以PQ，EQ，所以点P到棱AB的距离为PE，故选A.8正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点M是棱AB上异于点A的一定点，点P是平面ABCD内的一动点，且点P到直线A1D1的距离的平方比到点M的距离的平方大4，则点P的轨迹形状为()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析：选D.建立如图所示的空间直角坐标系，设M(2，a，0)，a(0，2且为常数，P(x，y，0)，过P点作PNAD交AD于点N
4、，过点N作QNAD交A1D1于点Q，易知PQA1D1，则点P到直线A1D1的距离为|PQ|，|PM|，依题意，有|PQ|2|PM|24，即y(x2)2，故选D.9已知A(1，0，0)，B(0，1，1)，O(0，0，0)，与的夹角为120，则的值为()A B.C D解析：选C.(1，0，0)，(0，1，1)，(1，)，()10()(1)12，|，|，由题意知：cos 120.解得2.因为0，所以0，所以.10.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为()A. B.C. D.解析：选B.建立如图所示的坐标系，连接A1D，则D(0
5、，0，0)，A1(1，0，1)，O(，1)，C1(0，1，1)易知平面ABC1D1的一个法向量n(1，0，1)，与之同向的单位向量为n0(，0，)，所以d|n0|.11.如图所示，在四面体PABC中，PC面ABC，ABBCCAPC，那么二面角BAPC的余弦值为()A. B.C D.解析：选C.如图所示，作BDAP于D，作CEAP于E.设AB1，则易得CE，EP，PAPB，可以求得BD，ED，因为，所以2222222，所以，设与所成的角为，所以cos ，故选C.12.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上
6、，要使CE平面B1DE，则AE()Aa或2a BaC2a D不确定解析：选A.如图，以点B为坐标原点，建立空间直角坐标系，则点B1(0，0，3a)，C(0，a，0)，设点E(a，0，h)，由已知CEB1E，所以0.因为(a，a，h)，(a，0，h3a)，所以2a2h23ah0.解之，得ha或2a，所以AEa或2a.二、填空题：本题共4小题，每小题5分13若平面的一个法向量为u1(3，y，2)，平面的一个法向量为u2(6，2，z)，且，则yz_解析：因为，所以u1u2.所以.所以y1，z4.所以yz3.答案：314若a(2，3，5)，b(3，1，4)，则|a2b|_解析：因为a2b(8，5，13
7、)，所以|a2b| .答案：15.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则_(用a、b、c表示)解析：在AA1M中，又因为()(ab)，所以(ab)c，(abc)答案：(abc)16如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC.E是PC的中点，则EB与底面ABCD所成角的正弦值为_解析：因为PD平面ABCD，所以以D为原点，建立如图所示的坐标系，不妨设PDDC2，所以D(0，0，0)，P(0，0，2)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，E(0，1，1)所以平面ABCD的一个法向量n(0，0，2)，(2，
8、1，1)，所以cosn，.设所求的EB与平面ABCD所成的角为，所以n，所以sin .答案：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)如图，P为平行四边形ABCD外的一点，O为平行四边形ABCD对角线的交点求证：4.证明：因为，将以上四式相加得4.因为O为平行四边形ABCD的中心，所以0，0，所以4.18(本小题满分12分)如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是棱CC1上的一点，CPm，试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正弦值为 .解：如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0
9、，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，所以(1，1，m)，(1，1，0)，又0，0，所以是平面BDD1B1的一个法向量设AP与平面BDD1B1所成的角为，则sin cos()，所以m.19(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值解：(1)如图，由已知ADBC，故DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角因为AD平面PDC，所以ADPD.在RtPDA中，由已知，得AP，故cos DAP
10、.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.(2)因为AD平面PDC，直线PD平面PDC，所以ADPD.又因为BCAD，所以PDBC，又PDPB，所以PD平面PBC.(3)过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角因为PD平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以DFP为直线DF和平面PBC所成的角由于ADBC，DFAB，故BFAD1，由已知，得CFBCBF2.又ADDC，故BCDC，在RtDCF中，可得DF2，在RtDPF中，可得sinDFP.所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.20(本小题满分12分)如图，在梯形ABC
11、D中，ABCD，ADDCCB1，ABC60，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，CF1.(1)求证：BC平面ACFE；(2)点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为(90)，试求cos 的取值范围解：(1)证明：在梯形ABCD中，因为ABCD，ADDCCB1，ABC60，所以AB2.所以AC2AB2BC22ABBCcos 603，所以AB2AC2BC2，所以BCAC.因为平面ACFE平面ABCD，平面ACFE平面ABCDAC，BC平面ABCD，所以BC平面ACFE.(2)由(1)知可建立分别以直线CA、CB、CF为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如图所示
12、，令FM(0)，则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，M(，0，1)，所以(，1，0)，(，1，1)设n1(x，y，z)为平面MAB的一个法向量，由得取x1，则n1(1，)，因为n2(1，0，0)是平面FCB的一个法向量，所以cos ，因为0，所以当0时，cos 有最小值，当时，cos 有最大值，所以cos 的取值范围为.21(本小题满分12分)如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合当CF1时，求证：EFA1C；设二面角CAFE的大小为，求tan 的最小值解：证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A，B，C，A1，E，F.于是，.则0440，故EFA1C.设CF，平面AEF的一个法向量为m，则由得F.，于是由m，m可得即取m.又由直三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为n，于是由为锐角可得cos ，sin ，所以tan .由00)，则(1，t)设平面PBC的法向量m(x，y，z)，则m0，m0.所以令y，则x3，z.所以m.同理，平面PDC的法向量n.因为平面PBC平面PDC，所以mn0，即60，解得t.所以PA.
