1、考点规范练23解三角形一、基础巩固1.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=2,A=60,则c等于()A.12B.1C.3D.2答案:B解析:由已知及余弦定理,得3=4+c2-22c12,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.2.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acosA=bcosB,则ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形答案:D解析:acosA=bcosB,sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,A=B或2A+2B=180,即A=B或A+B=90,ABC为等腰三角
2、形或直角三角形.故选D.3.在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a=1,ccos A+acosC=2bcos B,ABC的面积S=3,则b等于()A.13B.4C.3D.15答案:A解析:由题意可得,2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,sinB0,cosB=12.B(0,),B=3.又S=12acsinB=121c32=3,c=4.b2=a2+c2-2accosB=1+16-21412=13,b=13.4.(2021陕西西安中学模拟)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:在C处(点C在水平地面下方,
3、O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射,水平地面上两个观察点A,B两地相距100米,BAC=60,其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为OAC=15,A地测得最高点H的仰角为HAO=30,则该仪器的垂直弹射高度CH为()米.A.210(6+2)B.1406C.2102D.20(6-2)答案:B解析:设AC=x,则BC=x-40,在ABC中,由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2ACABcosBAC,即(x-40)2=x2+1002-100x,解得x=420.在ACH中,AC=420,CAH=15+30=45,CHA=90-30=60,由正弦定理,得
4、CHsinCAH=ACsinCHA,即CHsin45=420sin60,解得CH=1406.5.(2021云南红河三模)如图所示,若网格中小正方形的边长均为1,ABC的三个顶点均在小正方形的顶点处,则ABC外接圆的面积为()A.1309B.659C.6518D.6536答案:C解析:设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.由题图可知a=3,b=10,c=13,由余弦定理,得cosC=10+9-13610=1010,从而sinC=31010.设ABC外接圆的半径为R,由正弦定理,得2R=csinC=1331010=1303,解得R=1306,故ABC外接圆的面积S=R2=13036=65
5、18.6.设ABC的三个内角A,B,C成等差数列,sin A,sinB,sinC成等比数列,则这个三角形的形状是()A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案:D解析:ABC的三个内角A,B,C成等差数列,B=3.sinA,sinB,sinC成等比数列,sin2B=sinAsinC.由正弦定理得b2=ac.在ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos3,ac=a2+c2-ac,(a-c)2=0,a=c,ABC为等边三角形.7.在ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,则tan B等于()A.5B.25C.45D.85答案:C解析:由余弦定理得,AB2=AC
6、2+BC2-2ACBCcosC=16+9-24323=9,即AB=3.由余弦定理的推论知cosB=AB2+BC2-AC22ABBC=9+9-16233=19,又cos2B+sin2B=1,且B(0,),解得sinB=459,故tanB=sinBcosB=45.故选C.8.(多选)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=23,c=3,A+3C=,则下列结论正确的是()A.cosC=33B.sin B=23C.a=3D.SABC=2答案:AD解析:由A+3C=,得B=2C.根据正弦定理bsinB=csinC,得23sinC=32sinCcosC,又sinC0,故cosC=33.因为C
7、(0,),所以sinC=63,sinB=sin2C=2sinCcosC=223.由c2=a2+b2-2abcosC,化简得到a2-4a+3=0,解得a=3或a=1.若a=3,则A=C=4,B=2,不满足题意,故a=1.SABC=12absinC=1212363=2.9.如图,为了测量两山顶D,C间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,在A位置时,观察点D的俯角为75,观察点C的俯角为30;在B位置时,观察点D的俯角为45,观察点C的俯角为60,且AB=3 km,则C,D之间的距离为km.答案:5解析:在ABD中,BAD=75,ABD=45,ADB=60.由正弦定理可得ABsinADB=A
8、DsinABD,即3sin60=ADsin45,得AD=3sin45sin60=2km.由题意得ABC=120,BAC=BCA=30,则BC=AB=3km,于是AC=3km.在ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2ACADcosDAC=5,即CD=5km.10.(2021辽宁大连一模)如图,AB是底部不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).(1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告;注:测量报告中包括你使用的工具,测量方法的文字说明与图
9、形说明,所使用的字母和符号均需要解释说明,并给出你最后的计算公式.(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑物实际高度有误差,请你针对误差情况进行说明.解:(1)选用测角仪和米尺.测量方法如下:选择一条水平基线HG(如图),使H,G,B三点共线;在G,H两点分别用测角仪测得A的仰角为,用米尺测量得CD=a,测角仪的高为h.经计算建筑物的高度AB=asinsinsin(-)+h或写成atantantan-tan+h.(2)测量工具问题;两次测量时位置的间距差;用身高代替测角仪的高度.二、综合应用11.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c
10、,若2a-cb=cosCcosB,b=4,则ABC的面积的最大值为()A.43B.23C.2D.3答案:A解析:在ABC中,2a-cb=cosCcosB,(2a-c)cosB=bcosC.由正弦定理,得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.则2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.sinA0,cosB=12,即B=3.由余弦定理可得16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac2ac-ac=ac,故ac16,当且仅当a=c时,取等号,因此,ABC的面积S=12acsinB=34ac43,故选A.12.(2021河南郑州二模)在ABC
11、中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC=90,ABC的平分线交AC于点D.若a+4c的最小值为9,则BD=.答案:2解析:如图,ABC的平分线交AC于点D,所以ABD=CBD=45,所以SABC=12acsin90=12cBDsin45+12aBDsin45,可得2ac=2cBD+2aBD,可得2BD(a+c)2ac=1,所以a+4c=(a+4c)2(a+c)2acBD,所以a+4c=22BDac+5+4ca22BD5+2ac4ca=922BD=9,当且仅当a=2c时取等号,所以BD=2.13.某学校高一同学参加社会实践活动,应用所学知识测量一个四边形公园的面积,如图所示,测得公园的
12、四边边长分别为AB=1 km,BC=3 km,CD=AD=2 km,A=120,则公园的面积为 km2.当地政府规划建一条圆形的公路,使得整个公园都在圆形公路的里面,则这条公路的总长度的最小值为km.(备注:把公路看成一条曲线,公路宽度不计)答案:232213解析:连接BD(图略),由余弦定理可知BD2=AB2+AD2-2ABADcosA=1+4-212cos120=7,所以cosC=CD2+CB2-BD22CDCB=4+9-7223=12,则C=60,则四边形ABCD的面积等于SABD+SBDC=12ABADsinA+12CDCBsinC=1212sin120+1223sin60=23.由A
13、+C=180,得四边形ABCD存在外接圆,即为ABD的外接圆.设外接圆半径为R,则由正弦定理可知BDsinA=7sin120=2R,则R=213,所以当公路恰为四边形的外接圆时其长度最小,最小值为2213=2213.14.已知在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinAcosA=sinB+sinCcosB+cosC.(1)若ABC还同时满足下列四个条件中的三个:a=7,b=10,c=8,ABC的面积S=103,请指出这三个条件,并说明理由;(2)若a=3,求ABC周长L的取值范围.解:因为sinAcosA=sinB+sinCcosB+cosC,所以sinAcosB+sinAcosC
14、=cosAsinB+cosAsinC,sinAcosB-cosAsinB=cosAsinC-sinAcosC,所以sin(A-B)=sin(C-A),因为A,B,C(0,),所以A-B=C-A,即2A=B+C,所以A=3.(1)ABC还同时满足条件,理由如下:若ABC同时满足条件,则由正弦定理,得sinB=bsinAa=5371,这不可能,所以ABC不能同时满足条件,所以ABC同时满足条件.因为ABC的面积S=12bcsinA=12b832=103,所以b=5,与矛盾,所以ABC同时满足条件.(2)在ABC中,由正弦定理,得bsinB=csinC=asinA=23,因为C=23-B,所以b=2
15、3sinB,c=23sin23-B,所以L=a+b+c=23sinB+sin23-B+3=632sinB+12cosB+3=6sinB+6+3.因为B0,23,所以B+66,56,sinB+612,1,所以ABC周长L的取值范围为(6,9.三、探究创新15.(多选)在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,若3a=2csin A,且0Cc,所以cosB=1-sin2B=1-4849=17,故B错误;若sinA=2cosBsinC,则根据正弦定理可得a=2ccosB,因为3a=2csinA,即a=233csinA,即有233csinA=2ccosB,所以sinA=3cosB.因为A+B
16、=-C=23,则A=23-B,所以sin23-B=3cosB,整理得32cosB+12sinB=3cosB,即12sinB=32cosB,解得tanB=3,故B=3,则A=3.因为A=B=C=3,所以ABC是等边三角形,故C正确;若ABC的面积是23,即12absinC=23,解得a=2,由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=4+16-22412=12,即c=23.设ABC的外接圆半径是R,由正弦定理可得2R=csinC=2332=4,则该三角形外接圆半径为2,故D错误.16.如图,在四边形ABCD中,ABAD,DC=2,在下面给出的三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并加以解答.3AB=4BC,sinACB=23;tanBAC+6=3;2BCcosACB=2AC-3AB.(1)求DAC;(2)求ADC面积的最大值.解:若选:(1)在ABC中,由正弦定理,得ABsinACB=BCsinBAC,3AB=4BC,sinACB=23,sinBAC=12.ABAD,则0BAC0,cosBAC=32.BAC(0,),BAC=6.又ABAD,BAD=2,DAC=3.(2)在ADC中,DC=2,由余弦定理可得DC2=4=AC2+AD2-ACADACAD,即ACAD4,则SADC=12ACADsinDAC12432=3,当且仅当AC=AD时取“=”.故ADC面积的最大值为3.
