1、第3节不等关系与不等式考试要求理解不等式的概念，掌握不等式的性质.知 识 梳 理1.两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)作商法2.不等式的性质(1)对称性：abba；(2)传递性：ab，bcac；(3)可加性：abacbc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nN，n1)；(6)可开方：ab0(nN，n2).常用结论与微点提醒1.在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变.2.有关分式的性质(1)若ab0，m0，则(bm0).(2)若ab0，且ab1，则ab.()(
2、4)0axb或axb01，但ay，则下列不等式成立的是()A.1 B.2x0 D.x2y2解析由xy，得xy，所以2x0，q0，前n项和为Sn，则与的大小关系为_.(2)(一题多解)若a，b，c，则()A.abc B.cbaC.cab D.bac解析(1)当q1时，3，5，所以0且q1时，0，所以.综上可知.(2)法一易知a，b，c都是正数，log8164b；log6251 0241，所以bc.即cb0，得0xe；由f(x)e.f(x)在(0，e)为增函数，在(e，)为减函数.f(3)f(4)f(5)，即abc.答案(1)、0，b0且ab，(ab)20，ab0，(a3b3)(a2bab2)0，
3、即a3b3a2bab2.(2)由题意知p0，q0，则ab，若ab0，则1，ab0，则1；若0ab，则01，ab0，则1；若ab，则1.综上，pq，故选A.答案(1)(2)A考点二不等式的性质【例2】 (1)(多选题)设ba0，cR，则下列不等式中正确的是()A.ab B.ccC. D.ac2bc2(2)(组合选择题)若0，给出下列不等式：；|a|b0；ab；ln a2ln b2.其中正确的不等式是()A. B. C. D.解析(1)因为yx在(0，)上是增函数，所以ab.因为yc在(0，)上是减函数，所以cc.因为0，所以.当c0时，ac2bc2，所以D不成立，故选ABC.(2)法一因为0，故
4、可取a1，b2.显然|a|b1210，所以错误；因为ln a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 40，所以错误.综上所述，可排除A，B，D.法二由0，可知ba0.中，因为ab0，ab0，所以0，0.故有，即正确；中，因为ba0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故错误；中，因为ba0，又0，则0，所以ab，故正确；中，因为ba0，根据yx2在(，0)上为减函数，可得b2a20，而yln x在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2ln a2，故错误.由以上分析，知正确.答案(1)ABC(2)C规律方法解决此类题目常用的三种方法：(1)直接利用不等式的性质逐个验证；(2)利用特殊值
5、法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.【训练2】 (1)(2020南师大附中调研)已知a，b，c满足cba，且ac0，则下列选项中一定成立的是()A.abac B.c(ba)0C.cb4ab4 D.ac(ac)0(2)(2019徐州一中月考)下列命题中正确的是()A.若ab，cR，则acbcB.若ab，cd，则C.若ab，cd，则acbdD.若ab0，ab，则解析(1)因为a，b，c满足cba，且ac0，所以c0a.对于A，因为bc，a0，所
6、以abac，故A正确；对于B，因为ba，c0，所以ba0，c0，所以c(ba)0，故B不正确；对于C，因为ca，b40，所以cb4ab4，故C不正确；对于D，因为ac0，ac0，所以ac(ac)0，故D不正确，故选A.(2)A中，当c0时不成立，c0时也不成立，故A不正确.B中，当c0dba时，0，故B不正确.C中，因为ab，(c)(d)，不满足不等式的同向相加性，故C不正确.D中，因为ab0，所以a，b同号，所以当ab时，故D正确.故选D.答案(1)A(2)D考点三不等式及其性质的应用多维探究角度1不等式在实际问题中的应用【例31】 (2017北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时
7、满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数.若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_.该小组人数的最小值为_.解析令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，且2zxyz，若教师人数为4，则4yx8，当x7时，y取得最大值6.当z1时，1zyx2，不满足条件；当z2时，2zyx4，不满足条件；当z3时，3zyx6，y4，x5，满足条件.所以该小组人数的最小值为34512.答案612角度2利用不等式的性质求代数式的取值范围典例迁移【例32】 (经典母题)已知1x4，2y3，则xy的取值范围是_，3x2y的取值范围是_.解析因
8、为1x4，2y3，所以3y2，所以4xy2.由1x4，2y3，得33x12，42y6，所以13x2y18.答案(4，2)(1，18)【迁移1】 将本例条件改为“1xy3”，求xy的取值范围.解因为1x3，1y3，所以3y1，4xy4.又因为xy，所以xy0，由得4xy0，故xy的取值范围是(4，0).【迁移2】 将本例条件改为“已知1xy4，2xy3”，求3x2y的取值范围.解设3x2y(xy)(xy)，即3x2y()x()y，于是解得3x2y(xy)(xy).1xy4，2xy3，(xy)2，5(xy)，(xy)(xy).故3x2y的取值范围是.规律方法1.解决有关不等关系的实际问题，应抓住关
9、键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型.2.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.【训练3】 (1)已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：甲乙维生素A(单位/kg)600700维生素B(单位/kg)800400设用甲、乙两种食物各x kg、y kg配成至多100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和62 000单位维生
10、素B，则x，y应满足的所有不等关系为_.(2)(2019青岛测试)已知实数a(1，3)，b，则的取值范围是_.解析(1)x，y所满足的关系为即(2)依题意可得48，又1a3，所以424.答案(1)(2)(4，24)A级基础巩固一、选择题1.限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式为()A.v40 km/hC.v40 km/h D.v40 km/h解析由汽车的速度v不超过40 km/h，即小于等于40 km/h，即v40 km/h，故选D.答案D2.(多选题)下列四个条件，能推出成立的有()A.b0a B.0abC.a0b D.ab0解
11、析运用倒数性质，由ab，ab0可得，B、D正确.又正数大于负数，A正确，C错误，故选A，B，D.答案ABD3.若a，b都是实数，则“0”是“a2b20”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析0aba2b2，但由a2b20 0.故选A.答案A4.若ab0，则下列不等式中一定成立的是()A.ab B.C.ab D.解析取a2，b1，排除B与D；另外，函数f(x)x是(0，)上的增函数，但函数g(x)x在(0，1上单调递减，在1，)上单调递增，所以，当ab0时，f(a)f(b)必定成立，即abab，但g(a)g(b)未必成立，故选A.答案A5.已知a1
12、(0，1)，a2(0，1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是()A.MNC.MN D.不确定解析MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21(a11)(a21)，又a1(0，1)，a2(0，1)，a110，a210，即MN0，MN.答案B6.(一题多解)(2019全国卷)若ab，则()A.ln(ab)0 B.3a0 D.|a|b|解析法一由函数yln x的图象(图略)知，当0ab1时，ln(ab)b时，3a3b，故B不正确；因为函数yx3在R上单调递增，所以当ab时，a3b3，即a3b30，故C正确；当ba0时，|a|b|，故D不正确.故选C.法二当a0.3，b0.4时，ln(
13、ab)3b，|a|b|，故排除A，B，D.故选C.答案C7.(2020山东齐鲁名校联考)已知0aN B.MNC.MN D.不能确定解析0a0，1b0，1ab0.MN0，MN，故选A.答案A8.已知函数f(x)x3ax2bxc.且0f(1)f(2)f(3)3，则()A.c3 B.3c6C.69解析由f(1)f(2)f(3)得解得则f(x)x36x211xc，由0f(1)3，得01611c3，即6”“”或“”).解析分母有理化有2，显然2，所以.答案0，bcad0，则0；若ab0，0，则bcad0；若bcad0，0，则ab0.其中正确的命题是_(填序号).解析ab0，bcad0，0，正确；ab0，
14、又0，即0，bcad0，正确；bcad0，又0，即0，ab0，正确.故都正确.答案12.若0ab，且ab1，则将a，b，2ab，a2b2从小到大排列为_.解析0ab且ab1，ab1且2a1，a2ba2a(1a)2a22a2.即a2ab1，即a2b2.b1，(a2b2)b(1b)2b2b2b23b1(2b1)(b1)0.答案a2aba2b2n2，所以mn4；结合定义及pq2，可得或即qaab，则实数b的取值范围是_.解析因为ab2aab，所以a0，当a0时，b21b，即解得b1；当a0时，b21bc，则的取值范围是_.解析因为f(1)0，所以abc0，所以b(ac).又abc，所以a(ac)c，且a0，c，即11.所以解得2b2；2a2b1；.能够使以上三个不等式同时成立的一个条件是_(答案不唯一，写出一个即可).解析使三个不等式同时成立的一个条件是ab0，当ab0时，显然成立，对于，()2()222b2()，ab0，2()0，所以()2()20，即.答案ab0(答案不唯一)
