1、第二讲 证明不等式的基本方法二 综合法与分析法1根据不等式性质，掌握运用综合法与分析法证明不等式的方法2要学会分析综合的综合应用1综合法一般地，从_出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法综合法又叫顺推证法或由因导果法已知条件2分析法证明命题时，从_出发，逐步寻求使它成立的_，直至所需条件为_(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法要证的结论充分条件已知条件或一个明显成立的事实1如何理解分析法寻找的是充分条件？提示：用分析法证明，叙述格式是固定的，常用“要证A只
2、需证B”表示，说明只要B成立，就一定有A成立，所以B必须是A的充分条件才行2若 n 为正整数，则 2 n1与 2 n 1n的大小关系是_解析：要比较 2 n1与 2 n 1n的大小，只需比较(2 n1)2 与2 n 1n2 的大小，即 4n4 与 4n41n的大小因为 n 为正整数，所以 4n41n4n4.故 2 n12 n 1n.答案：2 n12 n 1n3若 acb0，则abcbca cab 的值的符号为_解析：abc bca cab abc b2bcaca2ababc abcababababc2acbcabcababccbcabcabbcacabc.因为acb0，所以abc0，ab0，b
3、c0，ac0.所以原式小于0.答案：负1用综合法证明不等式的逻辑关系AB1B2BnB.由已知逐步推演不等式成立的必要条件，从而得结论2用分析法证明不等式的逻辑关系BB1B2BnA.由结论步步寻求不等式成立的充分条件，从而到已知3综合法与分析法比较方法证明的起始步骤求证过程求证目标证题方向综合法基本不等式或已经证明过的不等式实施一系列的推出或等价变换要求证的结论由因导果分析法要求证的不等式寻求结论成立的充分条件，并证明这个充分条件成立所需条件全部成立执果索因特别提醒：分析法证题的论述较为繁琐，要特别注意证题格式要规范，用分析法证明：“AB”的推证过程，简写如下形式，BB1B2BnA.其书写格式为
4、：要证明 B 为真，只需证明 B1 为真从而又只需证明这只需证明 A 为真，而已知 A 为真，故 B 为真用综合法证明不等式已知 a，b，cR，且互不相等，abc1.求证：a b c1a1b1c.思路点拨：注意不等式左、右两端的差异，思考如何脱去左端根号或如何去掉右端的分母，即 a1bc121b1c，而1abc.证明：证法一：a，b，cR，且互不相等，abc1，a b c1bc1ac1ab121b1c 121a1c 121a1b 1a1b1c.证法二：a，b，cR，且互不相等，abc1，1a1b1cbcacabbcac2acab2abbc2 abc2 a2bc ab2c a b c.【授之以渔
5、】综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左、右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键(2)综合法证明不等式所依赖的已知不等式主要有如下几个：a20(aR)；(ab)20(a，bR)，其变形有 a2b22ab，ab22ab，a2b212(ab)2；若 a，b 为正实数，则ab2 ab，特别baab2；a2b2c2abbcca.1已知 a，b，c0，求证：a3b3c313(a2b2c2)(abc)证明：a2b22ab，(a2b2)(ab)2ab(ab)a3b3a2bab22ab(ab)2a2
6、b2ab2.a3b3a2bab2.同理：b3c3b2cbc2，a3c3a2cac2.将以上三式相加得2(a3b3c3)a2bab2b2cbc2a2cac2.3(a3b3c3)(a3a2ba2c)(b3b2ab2c)(c3c2ac2b)(abc)(a2b2c2)a3b3c313(a2b2c2)(abc)用分析法证明不等式设 a0，b0,2cab.求证：c c2abac c2ab.思路点拨：此不等式结构复杂，用“比较法”“综合法”都不好“切入”解决，可尝试分析法证明：要证 c c2abac c2ab成立，只要证 c2abac c2ab，即证|ac|c2ab，也就是证(ac)2c2ab，只要证 a2
7、2acab，即证 a2ab2ac.a0，也就是要证 ab2c，显然成立故不等式 c c2abac c2ab成立【授之以渔】分析法证明不等式，就是“执果索因”，从要证的不等式出发，不断用充分条件代替前面的不等式，直至使不等式成立的条件已具备，就可判定原不等式成立当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法获得解决，这种方法对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效2若 abc，且 abc0.求证：b2aca 3.证明：abc0，abc，a0，c0.要证 b2aca 3成立，只要证 b2ac 3a，即证 b2ac3a2，也就是证(ac)2ac3a2，即证(ac)(2ac)0，ac0,2ac(ac)a
8、ba0，(ac)(2ac)0 成立故原不等式成立 已知abc0，求证：abbcca0.思路点拨：本题既可用分析法又可用综合法，可尝试用两种方法求解综合法、分析法的综合应用证明：证法一：综合法abc0，(abc)20.展开得 abbccaa2b2c22，abbcca0.证法二：分析法 要证 abbcca0，abc0，只要证 abbcca(abc)2.即证 a2b2c2abbcca0，亦即证12ab2bc2ca2 0，而这是显然成立的，由于以上相应各步均可逆，原不等式成立证法三：abc0，cab.abbccaab(ba)cab(ab)2a2b2abab223b24 0.abbcca0.【授之以渔】
9、通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之，亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析法与综合法，两面夹击，相辅相成，达到解决欲证不等式的目的3已知 a，b，c 均为正实数，且 abbcca1，求证：(1)abc 3；(2)abcbaccab 3(a b c)证明：(1)要证明 abc 3，a，b，c 为正实数，只需证明(abc)23，即证明 a2b2c22ab2bc2ac3.又 abbcac1，只需证明 a2b2c2abbcac.上式可由
10、 abbccaa2b22b2c22c2a22a2b2c2 证得，原不等式成立(2)abcbaccababcabc，又由(1)已证 abc 3，原不等式只需证明1abc a b c，即证明 a bcb acc ababbcca.而 abc abac abac2，bac abbc2，cabacbc2，a bcb acc ababbcca 成立原不等式成立规范解答系列(三)利用综合法、分析法证明不等式【典例】(12 分)ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，其角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，求证：(ab)1(bc)13(abc)1.条件分析由ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列
11、，可以求出角 B 的值【规范解答】要证(ab)1(bc)13(abc)1 成立，即证 1ab 1bc3abc成立，即证abcab abcbc 3，4 分即abab cab abcbcbc3，即证 cab abc1，又需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，即 c2a2b2ac.8 分又ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，所以 B3.10 分由余弦定理得 cos Ba2c2b22ac12，所以 a2c2b2ac.所以原命题成立.12 分【失分警示】【防范措施】1.正确应用证明格式应用分析法证明时，必须有文字说明，不能写“因为”，而要用“欲证”“只需证”“即证”等词，如本例中的“要证”“
12、即证”“又需证”等词语2熟练掌握有关知识一些不等式的题目常和函数、三角、数列等知识交汇命题，所以应熟练掌握有关知识，解题时才能得心应手，如本例中与等差数列、余弦定理等知识相结合命题【跟踪训练】已知 a，b 都是正实数，且 ab2.求证：a2a1 b2b11.证明：证法一：因为 a，b 都是正实数，所以原不等式等价于 a2(b1)b2(a1)(a1)(b1)即 a2ba2ab2b2abab1，等价于a2b2ab(ab)abab1，将 ab2 代入，只需要证明 a2b22ab(ab)24ab3，即 ab1.而由已知 ab22 ab，可得 ab1 成立，所以原不等式成立证法二：因为 a，b 都是正实数，所以a2a1a14 a，b2b1b14 b.以上两式相加得 a2a1a14 b2b1b14 ab.因为 ab2，所以 a2a1 b2b11.点击进入WORD链接谢谢观看！
