1、第二讲 参数方程 本讲小结专题一 参数方程与普通方程的互化参数方程是用第三个变量(即参数)，分别表示曲线上任一点M的坐标x、y的另一种曲线方程的形式，它体现了x，y之间的一种关系，这种关系借助中间桥梁参数有些参数具有物理或几何意义，在解决问题时，要注意参数的取值范围在参数方程与普通方程的互化中，要注意参数方程与普通方程应是等价的，即它们所表示的应是同一条曲线【例1】(2012广东高考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为xt，y t(t为参数)和x 2cos，y 2sin(为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为_.解析：把C2的方程化成普通方程为x2y22，t2(t)22.
2、t1或t2(舍去)两曲线的交点坐标为(1,1)答案：(1,1)专题二 圆的参数方程及其应用圆的参数方程xx0rcos，yy0rsin(为参数)表示中心在(x0，y0)，半径为r的圆，它是近几年高考的热点和重点【例2】已知圆的极坐标方程为242 cos 4 60.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点P(x，y)在该圆上，求xy的最大值和最小值解：(1)由24 2cos4 60得，24cos 4sin 60，即x2y24x4y60为所求由圆的标准方程(x2)2(y2)22，令x2 2cos，y2 2sin，得圆的参数方程为x2 2cos，y2 2sin(为参
3、数)(2)由上述可知，xy4 2(cos sin)42sin4，故xy的最大值为6，最小值为2.专题三 直线的参数方程及其应用1利用直线的参数方程xx0tcos，yy0tsin(t为参数)中参数的几何意义，在解决直线与曲线交点问题时，可以方便地求出相应的距离2直线的参数方程有不同的形式，可以允许参数t没有明显的几何意义，在直线与圆锥曲线的问题中，利用参数方程有时可以简化计算【例3】已知直线l过点P(2,0)，斜率为 43，直线l和抛物线y22x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求：(1)P、M两点间的距离|PM|；(2)线段AB的长|AB|.解：(1)直线l过点P(2,0)，斜率为43，
4、设直线的倾斜角为，tan 43，sin 45，cos 35，直线l的参数方程为x235t，y45t(t为参数)(*)直线l和抛物线相交，将直线的参数方程(*)代入抛物线方程y22x中，整理得8t215t500，(15)248(50)0.设这个二次方程的两个根分别为t1、t2，由根与系数的关系，得t1t2158，t1t2254，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得|PM|t1t221516.(2)|AB|t2t1|t1t224t1t25873.专题四 圆锥曲线的参数方程及其应用曲线的参数方程通过参数反映坐标变量x，y之间的关系其中的参数一般具有相应的几何意义或物理意义一般地，解决与圆、椭圆
5、、双曲线、抛物线上的点有关的问题时，常将这些点的坐标设成参数形式，这样可以减少变量的个数，简化解题过程；又因为二次曲线的参数方程的参数多采用角(抛物线除外)，根据三角函数的值域便于解决一些求值问题【例4】椭圆 x216 y24 1上有P，Q两点，O为椭圆中心，OP，OQ的斜率分别为kOP,kOQ，且kOPkOQ14.(1)求|OP|2|OQ|2的值；(2)求线段PQ中点的轨迹方程解：(1)设P(4cos 1,2sin 1)，Q(4cos 2,2sin 2)kOPkOQ14，2sin 14cos 12sin 24cos 214.cos(12)0.12k2(kZ)sin21cos22，cos21s
6、in22.|OP|2|OQ|216cos214sin2116cos224sin2220，即|OP|2|OQ|220.(2)设PQ的中点为(x，y)，则x2cos 1cos 2，ysin 1sin 2.x24y2(cos 1cos 2)2(sin 1sin 2)222cos(12)2.PQ中点的轨迹方程为x28y221.专题五 极坐标、参数方程与普通方程的综合应用纵观历年来高考试题，极坐标、参数方程与普通方程的综合试题是高考热点与重点，掌握好极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化是解题的关键点【例 5】(2016高考全国丙卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线C1 的参数方程为x 3cos，
7、ysin(为参数)以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 sin42 2.(1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；(2)设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标解：(1)C1 的普通方程为x23y21，C2 的直角坐标方程为 xy40.(2)由题意，可设点 P 的直角坐标为(3cos，sin)因为 C2 是直线，所以|PQ|的最小值即为 P 到 C2 的距离 d()的最小值，d()|3cos sin 4|2 2sin32，当且仅当 2k6(kZ)时，d()取得最小值，最小值为2，此时 P 的
8、直角坐标为32，12.【考情分析】通过对近几年新课标区高考试题的分析可见，高考对本讲知识的考查，主要是以参数方程为工具，考查直线与圆或与圆锥曲线的有关的问题【真题体验】1(2014安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是xt1，yt3(t为参数)，圆C的极坐标方程是4cos，则直线l被圆C截得的弦长为()A 14B2 14C 2D2 2解析：将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解直线l的参数方程xt1，yt3(t为参数)化为直角坐标方程是yx4，圆C的极坐标方程4cos 化为直角坐标方程是x2y24x0.圆
9、C的圆心(2,0)到直线xy40的距离为d222.又圆C的半径r2，因此直线l被圆C截得的弦长为2 r2d22 2.故选D.答案：D2(2014湖北高考)已知曲线 C1 的参数方程是x t，y 3t3(t为参数)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程是 2，则 C1 与 C2 交点的直角坐标为_解析：先将参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，然后联立方程组，解方程组即得交点坐标将曲线 C1 的参数方程化为普通方程为 y 33 x(x0)，将曲线 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程为 x2y24，联立y 33 xx0，x2y24，解得x 3，y1.故曲线 C
10、1 与 C2 交点的直角坐标为(3，1)答案：(3，1)3(2014湖南高考)在平面直角坐标系中，倾斜角为4的直线 l 与曲线 C：x2cos，y1sin(为参数)交于 A，B 两点，且|AB|2.以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线 l 的极坐标方程是_解 析：将 参 数 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 求 解 曲 线x2cos，y1sin(为参数)，消去参数得(x2)2(y1)21.由于|AB|2.因此|AB|为圆的直径故直线过圆的圆心(2,1)所以直线 l 的方程为 y1x2，即 xy10，化为极坐标方程为 cos sin 1，即(cos sin)1.答
11、案：(cos sin)14(2014江苏高考，节选)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为x1 22 t，y2 22 t(t 为参数)，直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长解：将直线 l 的参数方程x1 22 t，y2 22 t代入抛物线方程y24x，得2 22 t 241 22 t，解得 t10，t28 2.所以 AB|t1t2|8 2.5(2016高考全国甲卷)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；(2)直线 l 的参数方程是xtcos，
12、ytsin(t 为参数)，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|10，求 l 的斜率解：(1)由 xcos，ysin 可得圆 C 的极坐标方程为 212cos 110.(2)(方法 1)由直线 l 的参数方程xtcos，ytsin(t 为参数)，消去参数得 yxtan.设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 kxy0.由圆 C 的方程(x6)2y225 知，圆心坐标为(6,0)，半径为 5.又|AB|10，由垂径定理及点到直线的距离公式得|6k|1k2251022，即 36k21k2904，整理得 k253，解得 k 153，即 l 的斜率为 153.(方法 2)在(1)中建立的极坐
13、标系中，直线 l 的极坐标方程为(R)设 A，B 所对应的极径分别为 1，2，将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 212cos 110，于是 1212cos，1211.|AB|12|122412 144cos244.由|AB|10得 cos238，tan 153.所以 l 的斜率为 153 或 153.6(2017全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方 程 为x3cos，ysin(为 参 数)，直 线 l 的 参 数 方 程 为xa4t，y1t(t 为参数)(1)若 a1，求 C 与 l 的交点坐标；(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a.解：(1)曲线 C 的普通方程为x29y21.当 a1 时，直线 l 的普通方程为 x4y30.由x4y30，x29y21，解得x3，y0或x2125，y2425.从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0)，2125，2425.(2)直线 l 的普通方程为 x4ya40，故 C 上的点(3cos，sin)到 l 的距离为 d|3cos 4sin a4|17.当 a4 时，d 的最大值为a917.由题设得a917 17，所以 a8；当 a4 时，d 的最大值为a117.由题设得a117 17，所以 a16.综上，a8 或 a16.谢谢观看！
