1、专题18一次函数中的待定系数法求解析式1、如图直线ykx+k交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,且AB2(1)求k的值;(2)点P从A出发,以每秒1个单位的速度沿射线AB运动,过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q,连接OP,设PQO的面积为S,点P运动时间为t,求S与t的函数关系式,并直接写出t的取值范围;(3)在(2)的条件下,当P在AB的延长线上,若OQ+AB(BQOP),求此时直线PQ的解析式解:(1)对于直线ykx+k,令y0,可得x1,A(1,0),OA1,AB2,OB,k(2)如图,tanBAO,BAO60,PQAB,APQ90,AQP30,AQ2AP2t,当0t时,SOQPy(
2、12t)tt2+t当t时,SOQPy(2t1)tt2t(3)OQ+AB(BQOP),2t1+2(),2t+1,4t2+4t+17t27t+7,3t211t+60,解得t3或(舍弃),P(,),Q(5,0),设直线PQ的解析式为ykx+b,则有,解得,直线PQ的解析式为yx+2、如图,在平面直角坐标系中,直线yx+b与x、y轴分别相交于点A、B,与直线yx+2交于点D(3,m),直线yx+2交x轴于点C,交y轴于点E(1)若点P是y轴上一动点,连接PC、PD,求当|PCPD|取最大值时,P点的坐标(2)在(1)问的条件下,将COE沿x轴平移,在平移的过程中,直线CE交直线AB于点M,则当PMA是
3、等腰三角形时,求BM的长解:(1)当x3时,m3+25,D(3,5),把D(3,5)代入yx+b中,3+b5,b8,yx+8,当y0时,x+20,x2,C(2,0),如图1,取C关于y轴的对称点C(2,0),P1是y轴上一点,连接P1C、P1C、P1D,则P1CP1C,|P1DP1C|P1DP1C|CD,当P与C、D共线时,|PCPD|有最大值是CD,设直线CD的解析式为:ykx+b,把C(2,0)和D(3,5)代入得:,解得:,直线CD的解析式为:y5x10,P(0,10);(2)分三种情况:当APAM时,如图2,由(1)知:OP10,由勾股定理得:AP2,AB8,BMAB+AM8+2;同理
4、得:BM128;当APPM时,如图3,过P作PNAB于N,BNP90,NBP45,BNP是等腰直角三角形,PB18,BN9,AB8,AN98,APPM,PNAM,AM2AN2,BM8+210;当AMPM时,如图4,过P作PNAB于N,AN,PN9,设MNx,则PMANx+,由勾股定理得:PN2+MN2PM2,解得:x40,BMAB+AN+MN8+4049;综上,当PMA是等腰三角形时,BM的长是8+2或28或10或493、如图,已知一次函数y3x+3与y轴交于A,与x轴交于点B,直线AC与正半轴交于点C,且ACBC(1)求直线AC的解析式(2)点D为线段AC上一点,点E为线段CD的中点,过点E
5、作x轴的平行线交直线AB于点F,连接DF并延长交x轴于点G,求证;ADBG(3)在(2)的条件下,若AFD2BAO,求点D坐标解:(1)当x0时,y3,A(0,3)令y0得:3x+30,解得:x1,B(1,0)设OCx,则ACBCx+1在RtAOC中,由勾股定理可知:OA2+OC2AC2,即32+x2(x+1)2,解得:x4,C(4,0)设直线AC的解析式为ykx+b,则 ,解得:,直线AC的解析式为yx+3(2)如图1所示:过点D作DHx轴,则HDFBGFHDEFCG,E为CD的中点,F为DG的中点FGDF在BGF和HDF中,BGFHDF(ASA)HDBGACBC,CABABCHDCG,AH
6、DABC,HADAHDADDH,ADBG(3)如图2所示:连接AG,过点C作CHAB,垂足为H,过D作DMx轴于M,在RtABO中,依据勾股定理可知AB,CBCA,CHAB,AHAB,BCA2ACHRtBCH中,依据勾股定理可知CH,BAO+ABOABO+BCH,BAOBCHACH,BCA2BAO又AFD2BAO,AFDBCA又FADBAC,FADCAB,AFDF又GFFD,GAD为直角三角形OGOCOA2,OGG(,0)ADBGRtAOC中,OA3,OC4,AC5,DMOA,即,OM1,当x1时,yx+3+3,D(1,)4、如图,直线yx+8与x轴、y轴分别交于点A和点B,M是OB的上的一点
7、,若将ABM沿M折叠,点B恰好落在x轴上的点B处(1)求A、B两点的坐标;(2)求直线AM的表达式;(3)在x轴上是否存在点P,使得以点P、M、B为顶点的三角形是等腰三角形,若存在,请直接写出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由解:(1)当x0时,y8,B(0,8),当y0时,x+80,x6,A(6,0);(2)在RtAOB中,AOB90,OA6,OB8,AB10,由折叠得:ABAB10,OB1064,设OMa,则BMBM8a,由勾股定理得:a2+42(8a)2,a3,M(0,3),设AM:ykx+b,则,解得:,直线AM的解析式为:yx+3;(3)在x轴上存在点P,使得以点P、M、B为顶点的
8、三角形是等腰二角形,如图M(0,3),B(4,0),BM5,当PBBM时,P1(9,0),P2(1,0);当BMPM时,P3(4,0),当PBPM时,作BM的垂直平分线,交x轴于P4,交BM与Q,易证得P4BQMBO,则,即,P4B,OP44,P4(,0),综上,P点的坐标为(9,0)或(1,0)或(4,0)或(,0)5、如图,在平面直角坐标系中,一次函数ykx+3的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,点A的坐标为(2,0)(1)求k的值;(2)已知点Q在第四象限,且到两坐标轴距离相等,若AOB的面积是AOQ面积的2倍,求点Q的坐标解:(1)点A(2,0)在一次函数ykx+3上,02k+3,得k
9、1.5,即k的值是1.5;(2)k1.5,一次函数解析式为y1.5x+3,当x0时,y3,即点B的坐标为(2,0),OB3,点A(2,0),OA2,AOB的面积是3,又AOB的面积是AOQ面积的2倍,AOQ的面积是1.5,设点Q的坐标为(a,a),1.5,得a1.5,点Q的坐标为(1.5,1.5)6、如图,一次函数y1x+b的图象与x轴y轴分别交于点A,点B,函数y1x+b,与y2x的图象交于第二象限的点C,且点C横坐标为3(1)求b的值;(2)当0y1y2时,直接写出x的取值范围;(3)在直线y2x上有一动点P,过点P作x轴的平行线交直线y1x+b于点Q,当PQOC时,求点P的坐标解:(1)
10、将x3代入y2x,可得C(3,4),再将C点代入y1x+b,b7;(2)7x3;(3)点P为直线y2x上一动点,设P(a,a),PQx轴,Q(a7,a),PQ|a+7|,C(3,4),OC5,PQOC14,|a+7|14,a3或a9,P(3,4)或P(9,12)7、如图,在平面直角坐标系中,直线ykx+b与x轴交于点A(5,0),与y轴交于点B;直线yx+6过点B和点C,且ACx轴点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴向点O运动,同时点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AC向点C运动,当点M到达点O时,点M、N同时停止运动,设点M运动的时间为t(秒),连接MN(1)求直线ykx+
11、b的函数表达式及点C的坐标;(2)当MNx轴时,求t的值;(3)MN与AB交于点D,连接CD,在点M、N运动过程中,线段CD的长度是否变化?如果变化,请直接写出线段CD长度变化的范围;如果不变化,请直接写出线段CD的长度解:(1)ACx轴,点A(5,0),点C的横坐标为5,对于yx+6,当x5时,y5+610,对于x0,y6,点C的坐标为(5,10),点B的坐标为(0,6),直线ykx+b与x轴交于点A(5,0),与y轴交于点B(0,6),则,解得,直线ykx+b的函数表达式为yx+6,综上所述,直线ykx+b的函数表达式为yx+6,点C的坐标为(5,10);(2)由题意得,BM2t,AN3t
12、,OM62t,OMAN,MNx轴,四边形MOAN为平行四边形,OMAN,62t3t,解得,t,当MNx轴时,t;(3)线段CD的长度不变化,理由如下:过点D作EFx轴,交OB于E,交AC于F,EFx轴,BMAN,AOE90,四边形EOAF为矩形,EFOA5,EOFA,BMAN,BDMADN,EF5,DE2,DF3,BMAN,BDEADF,OB6,EOFA,CFACFA,CD8、如图,直线y2x+8分别交x轴,y轴于点A,B,直线yx+3交y轴于点C,两直线相交于点D(1)求点D的坐标;(2)如图2,过点A作AEy轴交直线yx+3于点E,连接AC,BE求证:四边形ACBE是菱形;(3)如图3,在
13、(2)的条件下,点F在线段BC上,点G在线段AB上,连接CG,FG,当CGFG,且CGFABC时,求点G的坐标解:(1)根据题意可得:,解得:点D坐标(2,4)(2)直线y2x+8分别交x轴,y轴于点A,B,点B(0,8),点A(4,0),直线yx+3交y轴于点C,点C(0,3),AEy轴交直线yx+3于点E,点E(4,5)点B(0,8),点A(4,0),点C(0,3),点E(4,5),BC5,AE5,AC5,BE5,BCAEACBE,四边形ACBE是菱形;(3)BCAC,ABCCAB,CGFABC,AGFABC+BFGAGC+CGFAGCBFG,且FGCG,ABCCAB,ACGBGF(AAS)BGAC5,设点G(a,2a+8),(2a+88)2+(a0)252,a,点G在线段AB上a,点G(,82)9、如图1,在平面直角坐标系xOy中,点A(2,0),点B(4,3)(1)求直线AB的函数表达式;(2)点P是线段AB上的一点,当SAOP:SAOB2:3时,求点P的坐标;(3)如图2,在(2)的条件下,将线段AB绕点A顺时针旋转120,点B落在点C处,连结CP,求APC的面积,并直接写出点C的坐标解:(1)设直线AB的函数表达式为ykx+b,点A(2,0),点B(4,3),解得:,直线AB的函数表达式为yx+1;(2)过B作BEx轴于E,过P作PDx轴于D,