1、2021年春学期高二年级期中考试高二数学试卷 2021.5一. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1 . 设复数满足，且 ，则可以是 （ ）A. B. C. D. 2. 函数在区间上的平均变化率为 （ ）A. 1 B. 2 C. D. 3. 设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 （ ） A. B. C. D. 4. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.右图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”.其中正方形内部为“赵爽弦图”，正方形外部四个阴影部分的三角形称为“风叶”.现从该“风叶
2、”的8个顶点中任取2个顶点，则2个顶点取自同一片“风叶”的概率为 （ ） A. B. C. D. 5. 若随机变量，若，则 （ ）A. B. C. D. 6. 埃及金字塔之谜是人类历史上最大的迷，它的神奇远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有一组神秘的数字，因为，,所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现：，若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数，剩下的三个数字构成另外一个三位数，若，则所有可能的有序实数组的个数为 （ ）A. 60B. 48C. 96D. 1207. 已知函（为自然对数的底数）在上有两个零点，则m的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 8. 若且，且，且，
3、则 （ ） A. B. C. D. 二. 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（ ）A. 是函数的极值点B. 是函数的最小值点C. 在区间上单调递增D. 在处切线的斜率小于零10. 袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论，其中所有正确结论的序号是 （ ）A. 从中任取3球，恰有一个白球的概率是B. 从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为C. 现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再
4、次取到红球的概率为D. 从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为11. ，则 （ ）A. 展开式中所有项的二项式系数和为B. 展开式中所有奇次项系数和为C. 展开式中所有偶次项系数和为 D. 12. 为了解目前宜兴市高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀则下列说法正确的是 （ ）参考数据：随机变量，则，A. 该校学生体育成绩的方差为10 B. 该校学生体育成绩的期望为70C. 该校学生体育成绩的及格率不到 D. 该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当三. 填空题：本题共4小题，每小题5分，
5、共20分13. 已知，则 . 14. 请你写出与函数的图像在原点处具有相同切线的一个三次函数 .15. 用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”， 则在组成的三位数中，“凹数”的个数为 .16. 已知函数的极小值大于零，则实数的取值范围是 .三. 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题10分）设.已知.（1）求n的值；（2）设，其中，求的值. 18.（本小题12分）在，复平面上表示的点在直线上，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，
6、并作答.已知复数，_，若.（1）求复数；（2）若，求的最小值注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 19.（本小题12分）一家面包店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图（如图所示）.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量的分布列，期望.20.（本小题12分）已知函数，其中（1）若函数的极大值为，求实数的值；（2）若曲线在点处的切线与轴的交点为，求的最小值. 21.（本小题12分）某
7、公司有四辆汽车，其中车的车牌尾号为，两辆车的车牌尾号为，车的车牌尾号为，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车，已知两辆汽车每天出车的概率为，两辆汽车每天出车的概率为，且四辆汽车是否出车是相互独立的. 该公司所在地区汽车限行规定如下：汽车车牌尾号车辆限行日0和5星期一1和6星期二2和7星期三3和8星期四4和9星期五（1）求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率；（2）设表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求的分布列和数学期望. 22.（本小题12分）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若为函数的两个极值点，证明：.参考答案 联系人：一、单项选择题题号12345678答案CCD
8、AABDB二、多项选择题题号9101112答案ACABDABDBC三、填空题13、15 14、（答案不唯一） 15、 16、四、解答题17、（1）因为，所以，2分因为，所以，解得5分（2）由（1）知，7分解法一：因为，所以，从而10分解法二：因为，所以因此10分18、解：方案一：选条件，因为所以，2分由于，所以，解得6分所以，从而， 8分复数在复平面内对应点的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆10分所以的最小值为12分方案二：选条件，因为，所以，在复平面上表示的点为，2分依题意可知，得，6分所以，从而， 8分复数在复平面内对应点的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆10分所以的最小值为 12分方案三
9、：选条件，因为，所以，2分由，得，6分所以，从而，8分复数在复平面内对应点的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆10分所以的最小值为12分19. 解（1）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，表示事件“3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”因此3分5分（2）的可能取值为.6分（注：无列举不得分）， ，.8分的分布列为：0123因为，.10分所以期望方差.12分20、解：（1）由题意，函数，可得，令得1分列表：00增极大值减极小值增极大值4分（列表2分）解得.5分（2）有（1）知，可得，所以切线方程为：，即令，可得，即，则6分令，可得令，可得
10、，令，可得所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，（列表同样得分）.10分所以当时，函数取得最小值，最小值为12分21、解（1）记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件，则：该公司在星期四最多有一辆汽车出车. 所以答：该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率为.4分（2）由题意，的可能取值为0, 1, 2, 3, 45分；01234 答：的期望为12分22、（1）由题意，对于一元二次方程，当，即时，恒成立，即当时，恒成立，所以在上单调递增.1分当，即或时，方程的解为（i）若时，则，所以在上单调递增2分（ii）当时，令，00递增极大值递减极小值递增4分综上：当时，在上单调递增当时，在上单调递增，在单调递减6分（2）由（1）可知，时有两个极值点，且，不妨设要证，即证，即.10分设，在恒成立，则在单调递减，所以，原式得证.12分
