1、北师大版八年级数学上册第一章勾股定理难点解析 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、我图古代数学著作九章算术中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（
2、注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺 ）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面则这根芦苇的长度是（）A5尺B10尺C12尺D13尺2、如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上若再选择一个格点C，使ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（）A2B4C5D63、如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足为D，AF平分CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC=3，AB=5，则CE的长为（）ABCD4、下面图形能够验证勾股定理的有
3、（）个A4个B3个C2个D1个5、如图，在RtABC中，ACB90， AB5，AC3，点D是BC上一动点，连接AD，将ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当DEB是直角时，DF的长为（）A5B3CD6、勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A直角三角形的面积B最大正方形的面积C较小两个正方形重叠部分的面积D最大正方形与直角三角形的面积和7、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当
4、它把绳子的下端拉开4 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A7 mB7.5 mC8 mD9 m8、如图，矩形中，的平分线交于点E，垂足为F，连接下列结论：；若，则其中正确的结论有（）A2个B3个C4个D5个9、如图，将ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么ABC中BC边上的高是（）ABCD10、在ABC中，那么ABC是（）A等腰三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰直角三角形第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，矩形ABCD中，AD6，AB8点E为边DC上的一个动点，ADE与ADE关于直线
5、AE对称，当CDE为直角三角形时，DE的长为_2、一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC6米，水的深度（AB）为_米3、如图，在四边形ABCD中，那么四边形ABCD的面积是_4、如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了_米5、如图，在RtABC中，ABC90，AB3，AC5，点E在BC上，将ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B处，则BE的长为_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、超速行驶是引发
6、交通事故的主要原因上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得APO60，BPO45，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？2、如图，在ABC和DEB中，ACBE，C90，ABDE，点D为BC的中点， （1）求证：ABCDEB （2）连结AE，若BC4，直接写出AE的长3、如图，已知半径为5的M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分OAM，AOCO6(1)判断M与x轴的位置关系，并说明理由；(2)求AB的长；
7、(3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式4、如图，点是内一点，把绕点顺时针旋转得到，且，.（1）判断的形状，并说明理由；（2）求的度数.5、如图，在四边形中，于，（1）求证：；（2）若，求四边形的面积-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】依题意，芦苇的长度为直角三角形的斜边，水深为一直角边，另一直角边为5尺，由勾股定理即可列出方程，进而得到答案【详解】解：设水深x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺，依题意，由勾股定理，得：，解得，所以芦苇的长度为13尺故选D【考点】本题考查勾股定理的应用，将题目描述问题转化成直角三角形求边长的问题是解题的关键2、D【解析】【分析】分三种
8、情况讨论，当A=90，或B=90，或C=90时，分别画出符合条件的图形，即可解答【详解】解：分三种情况讨论，当A=90，或B=90，或C=90如图 符合条件的格点C的个数是6个故选：D【考点】本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键3、A【解析】【分析】根据三角形的内角和定理得出CAF+CFA=90，FAD+AED=90，根据角平分线和对顶角相等得出CEF=CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案【详解】过点F作FGAB于点G，ACB=90，CDAB，CDA=90，CAF+CFA=90，FAD+
9、AED=90，AF平分CAB，CAF=FAD，CFA=AED=CEF，CE=CF，AF平分CAB，ACF=AGF=90，FC=FG，B=B，FGB=ACB=90，BFGBAC，AC=3，AB=5，ACB=90，BC=4，FC=FG，解得：FC=，即CE的长为故选A【考点】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出CEF=CFE4、A【解析】【分析】分别计算图形的面积进行证明即可【详解】解：A、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；B、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；C、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；D、由可得，
10、故该项的图形能够验证勾股定理；故选：A【考点】此题考查了图形与勾股定理的推导，熟记勾股定理的计算公式及各种图形面积的计算方法是解题的关键5、C【解析】【分析】如图，由题意知，可知三点共线，与重合，在中，由勾股定理得，求的值，设，在中，由勾股定理得，计算求解即可【详解】解：如图，是直角由题意知，三点共线与重合在中，由勾股定理得设，在中，由勾股定理得即解得的长为故选C【考点】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识解题的关键在于明确三点共线，与重合6、C【解析】【分析】根据勾股定理得到c2=a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可【详解】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短
11、直角边为a，由勾股定理得，c2=a2+b2，阴影部分的面积=c2-b2-a（c-b）=a2-ac+ab=a（a+b-c），较小两个正方形重叠部分的长=a-（c-b），宽=a，则较小两个正方形重叠部分底面积=a（a+b-c），知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选C【考点】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c27、B【解析】【分析】根据题意，画出图形，设旗杆AB=x米，则AC=（x+1）米，在RtABC中，根据勾股定理的方程（x+1）2=x2+42，解方程求得x的值即可.【详解】如图所示：设旗杆AB=x米，
12、则AC=（x+1）米，在RtABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+1）2=x2+42，解得：x=7.5故选B【考点】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的基本思路是是画出示意图，利用勾股定理列方程求解8、D【解析】【分析】根据AE平分DAE，可得， 从而得到AB=BE，进而得到，可得正确；然后证明ABEAFD，可得AB=BE=AF=FD，从而得到AED=CED，故正确；再证得DEFDEC，可得正确；再根据ABFDCF，可得BF=CF，故正确；过点F作FGBC于点G，可得，从而得到，进而得到，可得正确；即可求解【详解】解：在矩形中，BAD=ADC=ABC=90，AD=BC，ADBC，AE平分D
13、AE，ADBC，DAE=AEB=45，AEB=BAE=45，AB=BE，AE=AD，故正确；在ABE和AFD中，BAE=DAE，ABE=AFD，AE=AD，ABEAFD（AAS），BE=DF，AB=BE=AF=FD，AED=CED，故正确；DAE=45，DFAE，ADF=45，CDF=45，EDF=ADE-ADF=22.5，CDE=FDE=22.5，AEB=45，AED=67.5，CED=67.5，AED=CED，DE=DE，DEFDEC，DF=CD，DECF，故正确；AB=CD，BAE=CDF=45，AF=DF，ABFDCF，BF=CF，故正确；如图，过点F作FGBC于点G，FGAB，EFG
14、=BAE=45，EFG=FEG，FG=GE，DEFDEC，CE=EF，BF=CF，BG=CG，AB=1，解得：，故正确；正确的有5个故选：D【考点】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键9、A【解析】【详解】先用勾股定理耱出三角形的三边，再根据勾股定理的逆定理判断出ABC是直角三角形，最后设BC边上的高为h，利用三角形面积公式建立方程即可得出答案.解：由勾股定理得：， ，即ABC是直角三角形，设BC边上的高为h，则，.故选A.点睛：本题主要考查勾股理及其逆定理.借助网格利用勾股定理求边长，并用勾股定理的逆定理
15、来判断三角形是否是直角三角形是解题的关键.10、D【解析】【分析】根据等腰三角形的判定和勾股定理逆定理得出三角形的形状即可【详解】a：b：c=1：1：，三角形ABC是等腰三角形设三边长为a,a,，三角形ABC是直角三角形综上所述：ABC是等腰直角三角形故选D【考点】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理逆定理此题关键是利用勾股定理的逆定理解答二、填空题1、3或6【解析】【分析】分两种情况分别求解，（1）当CED90时，如图（1），根据轴对称的性质得AEDAED45，得DEAD6；（2）当EDA90时，如图（2），根据轴对称的性质得ADED，ADAD，DEDE，得A、D、C在同一直线上，根据勾股定
16、理得AC10，设DEDEx，则ECCDDE8x，根据勾股定理得，DE2DC2EC2，代入相关的值，计算即可【详解】解：当CED90时，如图（1），CED90，根据轴对称的性质得AEDAED9045，D90，ADE是等腰直角三角形，DEAD6；（2）当EDA90时，如图（2），根据轴对称的性质得ADED90，ADAD，DEDE，CDE为直角三角形，即CDE90，ADECDE180，A、D、C在同一直线上，根据勾股定理得，CD1064，设DEDEx，则ECCDDE8x，在RtDEC中，DE2DC2EC2，即x216(8x)2，解得x3，即DE3；综上所述：DE的长为3或6；故答案为：3或6【考点】
17、本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质的综合应用，分情况讨论，作出图形是解题关键2、8【解析】【分析】先设水深x米，则AB=x，则有BD=AD+AB=x+2，由题条件有BD=BC=x+2，又根据芦节直立水面可知BDAC，则在直角ABC中，利用勾股定理即可求出x【详解】解：设水深x米，则AB=x，则有：BD=AD+AB=x+2，即有：BD=BC=x+2，根据芦节直立水面，可知BDAC，且AC=6，则在直角ABC中：，即：，解得x=8，即水深8米，故答案为8【考点】本题考查了勾股定理的应用，从现实图形中抽象出勾股定理这一模型是解答本题的关键3、+2
18、4【解析】【分析】连结BD，可求出BD=6，再根据勾股定理逆定理，得出BDC是直角三角形，两个三角形面积相加即可【详解】解：连结BD，BD=6，BD2=36，CD2=64，BC2=100，BD2+CD2=BC2，BDC=90，SABD=，SBDC=，四边形ABCD的面积是= SABD+ SBDC=+24故答案为：+24【考点】本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型4、9【解析】【分析】在RtABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长【详解】在RtAB
19、C中：CAB90，BC17米，AC8米，AB15（米），CD10（米），AD6（米），BDABAD1569（米），答：船向岸边移动了9米，故答案为：9【考点】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图领会数形结合的思想的应用5、【解析】【分析】首先根据勾股定理求出BC的长，根据折叠性质，可得=AB=3，=BE，B=90，然后设BE=，根据勾股定理，列出，求解即可【详解】解：ABC90，AB3，AC5，在RtABC中，将ABC沿AE折叠，=AB=3，=BE，B=90，则，设BE=,EC=4-,，在Rt中，由勾股定理得：，即，解得，BE故答案为【考点】本
20、题主要考查了翻折变换的性质及勾股定理的应用；解题的关键是准确找出图形中隐含的相等关系三、解答题1、此车超过每小时80千米的限制速度【解析】【分析】首先，根据在直角三角形BPO中，BPO=45，可得到BO=PO=100m，再根据在直角三角形APO中，APO=60，运用三角函数值，可得到AO=100，根据AB=AO-BO可求得AB的长；再结合速度的计算方法，求出车的速度，然后将车的速度与80千米/时进行比较，即可得到结论.【详解】解：在RtAPO中，APO60，则PAO30.AP2OP200 m，AO100(m)在RtBOP中，BPO45，则BOOP100 m.ABAOBO10010073(m)从
21、A到B小车行驶的速度为73324.3(m/s)87.48 km/h80 km/h.此车超过每小时80千米的限制速度【考点】本题考查了解直角三角形的应用，从复杂的实际问题中整理出直角三角形并求解是解决此类题目的关键2、（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据平行可得DBE90，再由HL定理证明直角三角形全等即可；（2）构造，利用矩形性质和勾股定理即可求出AE长【详解】（1）ACBE，CDBE180DBE180C 1809090ABC和DEB都是直角三角形点D为BC的中点，ACDBABDE，RtABCRtDEB（HL） （2）过程如下：连接AE、过A点作AHBE，C90，DBE90，AH=B
22、C=4， ，在中，【考点】本题主要考查了直角三角形全等的判定和勾股定理解三角形，解题关键是构造直角三角形，利用用平行线间的距离处处相等得线段AH=BC，从而利用勾股定理求AE3、 (1)M与x轴相切，理由见解析(2)6(3)【解析】【分析】（1）连接CM，证CMx即可得出结论；（2）过点M作MNAB于N，证四边形OCMN是矩形，得MN=OC，ON=OM=5，设AN=x，则OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，利用勾股定理求出x值，即可求得AN值，再由垂径定理得AB=2AN即可求解；（3）连接BC，CM，过点D作DPCM于P，得直角三角形BCD，由（2）知：AB=6，OA=2，OC=
23、4，所以OB=8，C（4，0），在RtBOC中，BOC=90，由勾股定理，求得BC=，在RtBCD中，BCD=90，由勾股定理，即可求得CD，在RtCPD和在RtMPD中，由勾股定理，求得CP=2，PD=4，从而得出点D坐标，然后用待定系数法求出直线CD解析式即可(1)解：M与x轴相切，理由如下：连接CM，如图，MC=MA，MCA=MAC，AC平分OAM，MAC=OAC，MCA=OAC，OAC+ACO=90，MCO=MCA+ACO=OAC+ACO=90，MC是M的半径，点C在x轴上，M与x轴相切；(2)解：如图，过点M作MNAB于N，由（1）知，MCO=90，MNAB于N，MNO=90，AB=
24、2AN，CON=90，CMN=90，四边形OCMN是矩形，MN=OC，ON=CM=5，OA+OC=6，设AN=x，OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，在RtMNA中，MNA=90，由勾股定理，得x2+(1+x)2=52，解得：x1=3，x2=-4（不符合题意，舍去），AN=3，AB=2AN=6；(3)解：如图，连接BC，CM，过点D作DPCM于P，由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，OB=8，C（4，0）在RtBOC中，BOC=90，由勾股定理，得BC=，BD是M的直径，BCD=90，BD=10，在RtBCD中，BCD=90，由勾股定理，得CD=，即CD2=20，在RtCP
25、D中，由勾股定理，得PD2=CD2-CP2=20-CP2，在RtMPD中，由勾股定理，得PD2=MD2-MP2=MD2-（MC-CP）2=52-（5-CP）2=10CP-CP2，20-CP2=10CP-CP2，CP=2，PD2=20-CP2=20-4=16，PD=4，即D点横坐标为OC+PD=4+4=8，D（8,-2），设直线CD解析式为y=kx+b，把C（4,0），D（8,-2）代入，得，解得：，直线CD的解析式为：【考点】本题考查直线与圆相切的判定，勾股定理，圆周角定理的推论，垂径定理，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握直线与圆相切的判定、待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键4、
26、（1）是直角三角形，理由见解析；（2）150.【解析】【分析】（1）求出DE，CE，CD长，根据勾股逆定理可知的形状；（2）由等边三角形角的性质和全等三角形角的性质可知的度数【详解】解：（1）是直角三角形理由如下：绕点顺时针旋转得到，是等边三角形，又，是直角三角形.（2）由（1）得，是等边三角形，.【考点】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的证明和性质、等边三角形的性质和判定、勾股逆定理，熟练应用等边三角形的性质求线段长及角度是解题的关键.5、（1）详见解析；（2）S四边形ABCD=56【解析】【分析】（1）由等角的余角相等可得DAC=ABE，再根据题意可得RtBAERtADC，即可证；（2）根据勾股定理算出AC，由全等可得BE=AC，再算出ACD的面积和ABC的面积相加即可【详解】解：（1）BEAC，ABE+BAE=90，BAD=90，BAE+DAC=90，DAC=ABE，又AB=AD，BEA=ACD，RtBAERtADC(AAS)，BE=AC（2）AB=AD=10，CD=6，ACD=90，RtBAERtADC，BE=AC=8，【考点】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形面积，关键在于牢记基础知识并灵活使用
